Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе

Занятие по теме «Некоторые свойства сочетаний и треугольник Паскаля» следует провести в коллективной работе. Учащиеся и учитель должны совместно решать интересующие вопросы. Вначале необходимо привести некоторые свойства сочетаний. Их доказательства приводить не стоит, но это задание можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы дома. После введения каждого свойства необходимо рассмотреть пример на его применение. Все изученные свойства в дальнейшем должны быть применены при изучении треугольника Паскаля. Заполнение таблицы значений при различных значениях n и k учащимся следует выполнить самостоятельно. Изучение свойств треугольника Паскаля следует провести совместно с учениками. Если после рассмотрения всех вопросов останется время, то желательно рассмотреть задачи на закрепление изученной темы. В конце занятия учащихся следует предупредить, что следующее занятия будет итоговым, и им необходимо подготовится к нему, повторив все изученные темы.

Содержание занятия №3 «Некоторые свойства сочетаний и треугольник Паскаля».

Числа обладают целым рядом замечательных свойств.

Свойство 1:

, ,

=1

Свойство 2: , где

Пример 1.

Пример 2. Не производя вычислений, выберите равные из следующих чисел:

Свойство 3:

Пример 3. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причём порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен?

Решение: Преподаватель может не спросить ни одного из 11 учащихся, что является одним из вариантов. Этому случаю соответствует . Преподаватель может опросить только одного из учащихся. Таких вариантов . Если преподаватель будет опрашивать двух учащихся, то число вариантов опроса равно . Для опроса трёх учащихся существует вариантов и т.д. Наконец, могут быть опрошены все учащиеся. Число вариантов в этом случае равно . Тогда по правилу сложения число всех возможных вариантов опроса равно . С другой стороны, для каждого из учащихся существует две возможности: он будет опрошен или не опрошен на данном занятии. Т.е. .

Свойство 4:

=

Для изучения данного свойства сочетаний предварительно необходимо составить трехэлементные подмножества множества М={а, б, в, г, д}. Затем выбрать из множества М любой элемент, например, «а» и разобьем все подмножества на два класса: не содержащие «а» и содержащие «а».

I класс:    {б, в, г},       {б, в, д},      {б, г, д},      {в, г, д}

II класс:    {а, б, в}, {а, б, г}, {а, б, д}, {а, в, г}, {а, в, д}, {а, г, д}.

Первый класс состоит из всевозможных сочетаний без повторений по три элемента из следующих четырех: б, в, г, д. Таких сочетаний . Каждое подмножество второго класса состоит из элемента «а» и двух элементов, выбираемых из множества следующих элементов: б, в, г, д. Очевидно, число таких подмножеств равно .

Подмножества I и II классов исчерпывают все трехэлементные подмножества множества М, что означает:

.

Аналогичными рассуждениями получите равенство:

 - рекуррентное соотношение, связывающее числа сочетаний. Это равенство лежит в основе построения так называемого треугольника Паскаля, позволяющего быстро вычислять числа сочетаний    для небольших значений   n.

Следует предложить учащимся самостоятельно заполнить таблицу значений при различных значениях n и k от 0 до 10.

Таблица 1.2.2.1

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	225	210	120	45	10	1

 

Значения n и k не останавливаются на 10, они могут быть абсолютно любыми.

Совместно с учащимися необходимо обратить внимание на свойства чисел таблицы. Первые и последние элементы любой строки равны 1, так как . Любой другой элемент таблицы 2 согласно свойству сочетаний №4 равен сумме двух элементов предшествующей строки: стоящего непосредственно над ним и стоящего над ним слева.

Часто числа располагают в таблице иначе, так, что каждый элемент таблицы равен сумме двух чисел предшествующей строки, стоящих непосредственно над ним слева и справа. Тогда таблица принимает форму равнобедренного треугольника.

Рисунок 1.2.2.6

Исследованием свойств такой треугольной таблицы и применениями ее занимался выдающийся ученый Франции Блез Паскаль (1623 —1662). Хотя задолго до Паскаля этот треугольник встречался в работах итальянских и арабских математиков.

Отметим некоторые из свойства треугольника Паскаля.

1. Сумма чисел n-той строки равна 2n. Ранее рассмотрено свойство №3
2. Числа каждой строки треугольника, равноудаленные от ее концов, равны между собой. Обоснованием этого свойства служит равенство .
3. Члены любой строки треугольника Паскаля до середины строки возрастают, а затем убывают.

Задания:

1. Сколько различных делителей, включая 1, имеет число а)2∙3∙5∙7∙11; б) 195?
2. Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 7, 11, 9, 3, 5?
3. Пользуясь треугольником Паскаля, найдите числа

 

Методические рекомендации  к проведению занятия №4.

Целью четвертого занятия является отработка навыков решения простых комбинаторных задач. Форма проведения занятия: игра «Своя игра».

Правила игры:

Учащихся необходимо разбить на равносильные команды. Одна из команд выбирает ячейку с вопросом. На размышления предоставляется 1 минута. Право отвечать предоставляется команде, которая первой поднимет руку. В случае правильного ответа они зарабатывает то количество очков, которое соответствует выбранной ячейке. Если ответ не правильный, то возможность ответить на вопрос переходит к команде противников. При правильном ответе противники продолжают игру до тех пор, пока они не дадут не правильный ответ.

Побеждает команда набравшая большее количество очков.

Содержание занятия №4 «Своя игра».

Учащимся предлагаются следующие разделы

Таблица 1.2.2.2

Правило суммы	100	200	300	400	500
Правило произведения	100	200	300	400	500
Размещения	100	200	300	400	500
Перестановки	100	200	300	400	500
Сочетания	100	200	300	400	500

Задания:

Правило суммы 100: Сформулируйте правило сложения.

Ответ: Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами.

Правило суммы 200: Запишите формулу правила суммы если множества не пересекаются и пересекаются.

Ответ: A∩B=Ø =>

 n(А∪В)=n(А)+n(В)-n(А∩В).

Правило суммы 300: От Октябрьской площади до цирка можно проехать через Северную и Южную дамбы. В первом случае количество дорог равно 4, а во втором — 3. Сколькими способами можно добраться от Октябрьской площади до цирка?

Решение. Очевидно, число разных путей от Октябрьской площади до цирка равно  4+3=7.

Правило суммы 400: Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?

Решение

Каждый пожал руку каждому, то есть каждый человек сделал 5 рукопожатий. Но общее количество рукопожатий получается по правилу суммы: n1 + n2 + ... + n6 = 6 × 5 = 30. Учтём теперь то, что каждое рукопожатие мы посчитали дважды, и получим в результате 15 рукопожатий.

Правило суммы 500: Сколько чисел в первой сотне, не делящихся ни на 2, ни на 3?

Решение: Легче вычислить сначала количество чисел первой сотни, делящихся на 2 или на 3. Каждое второе число в натуральном ряде делится на 2, каждое третье— на 3. Поэтому в первой сотне есть 50 чисел, делящихся на 2, и 33 числа (неполное частное от деления 100 на 3), делящихся на 3. Но среди первых и вторых имеются числа, делящиеся и на 2, и на 3, т. е. делящиеся на 6. На 6 делится каждое шестое число в натуральном ряде. Если 100 разделить на 6, то неполное частное будет равняться 16, т. е. 16 чисел в первой сотне делится на 6. Итак, количество чисел в первой сотне, делящихся на 2 или на 3, равно 50 + 33 – 16 = 67. Все остальные не делятся ни на 2, ни на 3. Этих чисел 100 – 67 = 33.

 Правило произведения 100: Сформулировать правило умножения.

Ответ: Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b выбрать n способами, то пару (a, b) можно выбрать mn способами.

Правило произведения 200: Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом или самолетом; из Чайковского до Ижевска — теплоходом или автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Пермь—Чайковский—Ижевск?

Решение: Число разных путей из Перми до Ижевска равно 4•2=8, так как, выбрав любой из четырех возможных способов путешествия из Перми до Чайковского, имеем 2 возможных способа путешествия из Чайковского до Ижевска.

Правило произведения 300: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,  если цифры в записи числа могут повторяться.

Решение: Для первой цифры имеем 5 возможностей (1,2,3,4,5), для каждой из следующих цифр — 6 возможностей (0,1,2,3,4,5). Следовательно, общее количество чисел равно 5•6•6•6=1080.

Правило произведения 400: Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5;

Решение: На первое место можно поставить любую цифру, кроме нуля, т. е. имеется пять способов ее выбора. Для любого способа выбора первой цифры на второе место может претендовать любая из данных шести цифр. Продолжая и т. д., по правилу умножения будем иметь 5 · 63 = 1080 четырехзначных чисел.

Правило произведения 500: Сколько есть пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

 Решение: Всего пятизначных чисел 90 000, из них 5555=3125 чисел состоят из нечетных цифр. Поэтому количество требуемых чисел равно 86875.

Размещения 100: Что называется размещением без повторений? Запишите формулу для нахождения.

Ответ: Упорядоченные выборки без возвращения из n элементов по m.  

Размещения 200: Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому возможно

Размещения 300: Что называется размещением с повторениями? Запишите формулу для нахождения.

Ответ: упорядоченная выборка m элементов из n возможных.

Размещения 400: Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между четырьмя детьми.

Решение: Каждый способ раздела является отображением множества конфет в множество детей. Число таких отображений равно

Размещения 500: Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?