Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе

Следующий параграф «Экспериментальные данные и вероятности событий», в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.

6. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений».

В этом учебнике как приложение к главе 1 «Простейшие функции. Квадратные корни» даётся материал о множествах и операциях над ними.

Затем в дополнении к главе 4 «Системы рациональных уравнений» изложен материал о вероятности события (даётся определение вероятности, а также невероятных и достоверных событий), перестановках, размещениях и сочетаниях (даны определения и примеры).

1.2 Технология элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

1.2.1 Пояснительная записка

Данный элективный курс разработан в рамках предпрофильной подготовки для ориентации учебно-воспитательного процесса на удовлетворение потребностей учащихся в углублении их знаний, умений и навыков по математике и готовит обучающихся к переходу в старшем звене на профильный уровень обучения. Он предназначен для учащихся 9 класса обучающихся по учебнику Макарычева и рассчитан на 14 часов.

Цели и задачи курса:

• Способствовать подготовки учащихся к вступительному экзамену по математике;
• Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции;
• Развитие интереса школьников к предмету;
• Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный вывод;
• Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

В процессе изучения курса учащиеся должны:

• Получить знания о комбинаторике и основных элементах теории вероятностей;
• Овладеть умениями решать задачи практического характера.

В ходе изучения курса деятельность учащихся будет включать в себя:

• Участие в дискуссиях;
• Работа в группах по решению конкретной задачи;
• Индивидуальная, самостоятельная работа;
• Исследовательская деятельность.    

Формы контроля.

• Индивидуальное домашнее задание;
• Выступление с докладами;
• Защита исследовательской работы.

Ожидаемые результаты.

В результате изучения данного курса учащиеся должны:

• Знать основные понятия теории вероятностей и комбинаторики;
• Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами;
• Уметь интерпретировать полученные результаты;
• Уметь обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства;
• Уметь находить информацию по интересующей теме;
• Уметь выступать перед публикой.

 

 

Таблица 1.2.1.1 - Примерное распределение аудиторной нагрузки по темам (14часов)

Раздел	Тема занятия	Количество часов
1	2	3
Элементы комбинаторики	1.Комбинаторные задачи. Перебор  всех возможных вариантов. Правила произведения и суммы.	2
	2.Перестановки, размещения, сочетания.	2
	3.Некоторые свойства сочетаний и треугольник Паскаля.	1
	4.«Своя игра» (итоговое).	1
Всего		6
Элементы теории вероятностей	1. События. Виды случайных событий. Эксперименты и их исходы.	1
	2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.	1
	3.Частота события. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.	2
	4.Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.	2
	5.Парадоксы теории вероятностей (итоговое).	2
Всего		8

 

 

1.2.2 Технология проведения занятий элективного курса

Методические рекомендации  к проведению занятия №1.

Форма проведения первого занятия по теме «Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов. Правила произведения и суммы» комбинированная. Первый час занятия следует провести в форме беседы. Необходимо дать понятие о таком разделе математики, как комбинаторика, познакомить учащихся с типами комбинаторных задач  и привести примеры нескольких комбинаторных задач для привития интереса к данному разделу. Следует указать примеры задач, где учитывается порядок элементов в комбинации и не учитывается. Закрепление знаний по первой части занятия следует осуществить через решение задач направленных на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка. Второй час необходимо посветить формированию знаний о правилах суммы и произведения. Объяснение темы следует провести в форме беседы. Требуется ввести правило суммы и произведения, сформулировать их на языке множеств и ввести эти же правила в случае пересекающихся множеств. Закрепление знаний следует осуществить через самостоятельную работу учеников с последующей коллективной проверкой.

Перед озвучиванием домашнего задания учащихся нужно разбить на 3 равносильные группы. Затем каждой группе дается одна из тем: перестановки (без повторений и с повторениями), размещения (без повторений и с повторениями), сочетания (без повторений и с повторениями). На следующем занятие каждая группа должна рассказать свою тему остальным группам с использованием презентации по единой схеме: определение → вывод формулы (доказательство) → пример.

Содержание занятия №1. «Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов. Правила произведения и суммы».

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому- химику при рассмотрении различных возможных типов связи атомов в молекулах, биологу при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору вычислительных машин, агроному, рассматривающему различные возможные способы посевов на нескольких участках, диспетчеру при составлении графика движения.

Различают следующие типы комбинаторных задач:

• Задачи, в которых требуется перечислить все решения.

Пример:

Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

• Задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию.

Пример:

Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

• Задачи, в которых требуется подсчитать число решений.

Пример:

Сколькими способами можно расположить в электрической цепи 7 различных приборов?

Процесс навыков подсчета комбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:

• подсчет методом непосредственного перебора;
• подсчет с использованием комбинаторных принципов;
• подсчет с использованием формул комбинаторики.

Каждый из этих этапов готовит почву для формирования навыков следующих этапов. Поэтому на начальном этапе с учащимися нужно обязательно рассмотреть бесформульные методы.

Перебор всех возможных вариантов

Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыков систематического перебора.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Тут же необходимо пояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, где учитывается порядок элементов в комбинации.

Пример 2. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Следующая система задач направлена на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка. При работе учащиеся должны дать ответ на вопрос упорядоченная выборка или нет?

Задачи:

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.

2. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

3. Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов? Существенен ли порядок?

4. В магазине продают кепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их.

Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).

На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø =>

Может случиться также что множества А и В пересекаются, то ест содержат общие элементы.

В объединение двух множеств входят элементы каждый из которых входит или в множество А, или в множество В. Нетрудно догадаться, что элементы которые входят в состав и А, и В, будут отмечены единожды. Из этих утверждений делаем вывод что объединение двух множеств составляет разницу от суммы элементов каждого множества и количества общих элементов, или: