Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей продиктовано самой жизнью. Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека. Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех.

Изучение комбинаторики и теории вероятностей влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее идеи, метода и результаты не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи. Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются более сложным закономерностям, невозможно полноценно работать в физике, химии, биологии, управлять производственными процессами. А, следовательно, данная тема актуальна и нуждается в рассмотрении.

На различных олимпиадах задания предполагающие нахождение вероятности встречаются часто. Так же всем учащимся девятого класса предстоит сдавать экзамен по математике, а среди предлагаемых заданий имеются такие, в которых необходимо найти вероятность некоторого события. Решением данной проблемы может служить создание элективного курса по изучению элементов комбинаторики и теории вероятностей. Курс должен сформировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся, как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных.

Цель исследования моей курсовой работы: проанализировать содержание учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики, теории вероятностей», разработка элективного курса  «Элементы комбинаторики и теории вероятности». Программа курса своим содержанием сможет привлечь тех учащихся, которым интересна математика и её приложения и которым захочется глубже и основательнее подготовится к сдаче экзаменов.

Объектом изучения являются элементы комбинаторики и теории вероятностей, а предметом методика изучения этих тем в школьном курсе.

Курсовая работа состоит из одной главы, которая подразделяется на два пункта: «Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики и теории вероятностей»» и «Технология элективного курса». Последний пункт подразделяется ещё на два подпункта: «Пояснительная записка» и «Содержание занятий элективного курса». В пункте «Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики и теории вероятностей»» рассматриваются учебные пособия различных авторов. Говоря о каждом учебнике, рассматривается структура изложения по данной теме. Пункт «Технология элективного курса» содержит пояснительную записку к элективному курсу «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», в которой излагаются цели и задачи курса, формы работы, формы контроля, ожидаемые результаты, примерное распределение аудиторной нагрузки по темам. После рассматривается каждое занятие в отдельности. Вначале дается методическая рекомендация к занятию, а после содержание самого занятия.

 

1 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

1.1  Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики и теории вероятностей»

Концепция введения комбинаторики, теории вероятностей и статистики, предложенная авторами учебников и учебных пособий несколько различна. Авторы разных пособий по разному подходят к изучению теории вероятности: в одних учебниках на первый план выдвигаются вероятностные понятия, в других - статистические, в третьих - все понятия рассматриваются отдельно, не прибегая к перемешению.

1. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев «Вероятность и статистика».

Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности. Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводятся статистическое определение вероятности, а затем и классическое.

В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.

В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.

2. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев «Алгебра для 8 класса», «Алгебра для 9 класса», «Алгебра и математический анализ 11 класс» под редакцией С. И. Шварцбурд.

В 8 классе дана большая глава «Элементы теории множеств».

В 9 классе есть глава «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Эта глава состоит из двух параграфов. В §1 «Основные понятия комбинаторики» рассказывается о правилах суммы и произведения, а также о размещениях, перестановках и сочетаниях. Во §2 «Понятие вероятности события» говорится о частоте и вероятности (даётся статистическое определение вероятности события), затем об опытах с конечным числом равновозможных исходов, затем речь идёт об исходах и событиях, потом о подсчёте вероятностей в опытах с равновозможными исходами (классический подход), и заканчивается глава параграфом операции над событиями и алгебраические действия с вероятностями.

В 11 классе изучаются 2 главы: «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятностей». Глава «Элементы комбинаторики» содержит 3 параграфа. В §1 «Множества, кортежи, отображения» рассматриваются множества и операции над ними, отображения множеств, разбиение множеств на подмножества, кортежи, декартово произведение множеств. В §2 «Основные законы комбинаторики» изучение правил суммы и произведения вводятся на языке теории множеств. В §3 «Основные формулы комбинаторики» рассматриваются размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Глава «Элементы теории вероятностей» содержит два параграфа. В §1 «Вычисление вероятностей» изучается вероятность событий, алгебра событий, теоремы сложения. В §2 «Независимые испытания» уделяется внимание геометрической вероятности, условной вероятности, независимым случайным событиям, формуле Бернулли и закону больших чисел.

Материал изложен глубоко и предназначен для учащихся в классах с углубленным изучением математики.

3. «Математика 5 класс», «Математика 6 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ш. Шарыгина; «Математика 7 класс», «Математика 8 класс», «Математика 9 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева.

5 класс  начинается с комбинаторики, где  на конкретных задачах и примерах  рассматривается решение комбинаторных  задач методом перебора возможных  вариантов. Этот метод иллюстрируется  с помощью построения дерева  возможных вариантов. Примеры и  задачи очень простые, позволяющие  на этапе знакомства с комбинаторными  задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных  вариантов.

В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.

В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни

6 класс  начинается с повторения таблиц  и диаграмм. Повторяют уже изученные  столбчатые диаграммы и более  подробно рассматривают круговые (для представления соотношения  между частями целого).

Далее идут два параграфа по комбинаторике: «Логика перебора» и «Правило умножения». Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

Завершается учебник главой «Вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий.

7 класс  начинается с рассмотрения основных  статистических характеристик: среднее  арифметическое, мода, размах, опять  же с множеством примеров из  жизни. В одном из параграфов  снова обращаемся к решению  комбинаторных задач, которые решаются  с помощью рассуждений. Рассматриваются  перестановки. И заключительная  глава продолжает рассматривать  вероятность и частоту случайных  событий.

В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика - медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом. Рассматриваются геометрические вероятности.

В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. Рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления результатов - полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

В учебнике рассматриваются три примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г  «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9». В 7 классе учащиеся знакомятся с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах). Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

В 8 классе изучается следующий материал: статистические исследования, рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами.

Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Здесь есть два параграфа:

§1. «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

• Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.
• Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.
• Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.
• Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

§2. «Начальные сведения из теории вероятностей».

Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.

5. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс»; А.Г. Мордкович «Алгебра» (Часть 1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Часть 2. Задачник для 9 класса общеобразовательных учреждений).

В 5 классе последняя глава «Введение в вероятность» содержит два параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

9 класс: §1 посвящён множествам и операциям над ними. Следующий параграф посвящён комбинаторике. Начинается он с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки.

§3 посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана).

В §4 говорится о простейших вероятностных задачах. Даются определения вероятности, случайного, достоверного и невозможного события.

Вводится классическое определение вероятности.