История и развитие интегрального исчисления

 

Глава II. Ньютон и Лейбниц.  
 
     Лейбниц и его последователи - братья Бернулли, Лопиталь и другие - трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин: если А — конечная величина, а a — бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+ a =А . 
 
Дифференциальное исчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений, оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точный результат, надо было исходить из ошибочного утверждения. Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечных малых дифференциалов:

</.

 
§2.1. Рождение противоречий

Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах  механики и понятии предела. Но ему  не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков, присущих дифференциальному  исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон, как и Лейбниц, применял принцип  отбрасывания бесконечно малых. 
 
Такая непоследовательность позволила назвать дифференциальное исчисление Лейбница–Ньютона мистическим. Этим в первую очередь подчеркивалось, что Лейбниц и Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые величины метафизически, сразу полагая их существующими, без выяснения их возникновения и развития и без анализа природы их специфических свойств. 
     Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п. 
Другая попытка была предпринята в конце XVIII века. Известный немецкий математик Вессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве “полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy . 
Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века. 
 
     Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века - Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени. 
Поясним сказанное одним примером. 
         Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла. Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции: 
где F ` (x)=f(x) . 
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов. Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы). 
Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства. 
 
          С момента установления правил дифференцирования всех элементарных функций в начале XVIII века, началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления. 
 
Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница, естественно, не способствовало.

 

§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме

    Определение простого определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых величинах, от которого математики XVIII века стремились освободить математический анализ. Это обстоятельство также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. 
Это хорошо подтверждается тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Он не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм, но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы не представлялось возможным, потому что этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, то есть, с точки зрения Эйлера, были нулями. 
          Быстро пробежимся по основным вехам эйлеровской биографии. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но потому что учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле лишь в 1701 г.. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом. Начальное образование будущему учёному дал отец, учившийся некогда математике у Якоба Бернулли. Отец готовил старшего сына к духовной карьере, но, несмотря на это, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого. 
   Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в Базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 
20 октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Мечта отца о том, что бы Эйлер стал священником сбывалась. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына направили молодого учёного по иному пути. 
 
    Он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И естественно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли, который посоветовал юноше читать математические мемуары, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать прочитанное. В доме своего учителя Эйлер подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии). 
 
         Эйлер просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – и справился самостоятельно, в то время, как группа признанных академиков просила на эту работу три месяца. Перенапряжение не прошло бесследно: Эйлер заболел и потерял зрение на правый глаз. Но талантливый учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, - философски заметил он. 
 
До этого Эйлера знал лишь узкий круг учёных. Мировую славу ему принесло двухтомное сочинение “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”, изданное в 1736 г, где Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. “Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью”, - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге. Леонард Эйлер начал прокладывать аналитический путь развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений, который требовал дух времени. 
          Концепция Ньютона и до последней четверти XVIII века сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции, математики знали и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. 
Положение изменилось лишь в последней четверти XVIII и, особенно, в начале XIX века. 
          С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало продолжения развития понятия и употребления определенного интеграла, особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.). 
К этому времени великие идеи Ньютона и Лейбница были только-только опубликованы, и современный математический анализ только начал создавался. Эти идеи породили мощные методы, которые стали применять во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути, по которым должно развиваться новое исчисление.

=e, где е 2,7-число Эйлера

 

 

III. Проблема двойных и тройных интегралов

§3.1.Исследование методов двойных и тройных  интегралов

 Эта эпоха математического творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер - одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми трактатами, которые объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в цельную науку. В них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и до нашего времени. 
 
 Исследование методов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычисление этих интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла - при помощи неопределенного, невероятно трудно, поэтому математики сохранили концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы. 
    Таким образом, поиск методов вычисления новых видов определенного интеграла показал, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Ставился вопрос не только о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его применении. Как говорилось ранее, чтобы всё это сделать, появилась необходимость преодолеть, обобщить, развить традиционное, каким было признано Эйлерово, толкование функции и понятия предела. 
Коши - решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. 
Возник естественный вопрос о возможности существования пределов интегральных сумм, имеющих бесконечно малые слагаемые. Так в первой четверти XIX века, избегаемое ранее, понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и для сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций.

§3.2.Основополагающий результат Коши

Основополагающих результатов  добился в развитии этого вопроса  Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить  понятие о непрерывности и  прерывности функций”. Здесь же Коши дал определение непрерывности  функции, которое более чем ясно подтвердило ясность этого его утверждения. 
 Новая постановка задач обоснования математического анализа дала понять, что вопрос не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. 
 Но, чтобы этого добиться, необходимо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать новую общую теорию пределов. 
Исследование разрывных функций, а также сравнение их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. 
Получается, что предел не всегда является конечным значением переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно стремится. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт не является противоречием или парадоксом.

Вторую ограничительную  тенденцию в принятой ранее трактовке  понятия предела также преодолел  Коши. Он признал, что переменная может  приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь - принимая порой значения, равные её пределу. Эта формулировка придала теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

 

§3.3. Роль интегрального  исчисления в будущей профессии

   Все более широкое применение математики в науке и практике предъявляет повышенные требования к математической подготовке молодежи. Важность этого еще была зафиксирована в 1719 году. Молодая петровская армия нуждалась в офицерах, знающих законодательство и армейскую специфику. Вводились новые должности - военных аудиторов, прокуроров. Так родился 11 апреля 1719 года указ императора России Петра I об образовании специального учебного заведения военных юристов. Юриспруденция использует методы высшей математики во всем многообразии. Предметом высшей математики в юриспруденции, исходя из сказанного выше, является совокупность правонарушений (ведь именно их совокупность и взаимосвязь изучает высшая математика в профессии юриста).  Существенно упрощает задачу и сокращает время интегральное исчисление для юристов при вычислении степени неравенства в распределении доходов, начислении пенсии, экономических спорах и т.д. Во всем, куда бы мы ни оглянулись, есть цифры. Казалось бы, такой простой шаг, как покупка продуктов, а ведь если произойдет правонарушение, то грамотный юрист должен все просчитать. Он должен знать, как это сделать быстро и максимально точно. Математика учит нас мыслить логично, ясно и точно. 
Заключение 

Математики до сих пор  следуют пути, намеченному Огюстеном  Луи Коши, но лишь с теми усовершенствованиями, которые внёс во второй половине XIX века К. Вейерштрасс. 
Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, подведя итог многовековому развитию интегрального исчисления.

Трудно представить, как  жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика. С числами и цифрами приходится иметь дело всем. Вряд ли кто-то станет отрицать необходимость математических знаний. Ведь математика учит человека думать, анализировать, развивает логическое мышление, память. Математические знания нужны человеку любой профессии. Без математики строитель не сможет построить дом, летчик - поднять в воздух самолет, машинист не поведет поезд. Кроме этого, благодаря математике появилось много других новых наук и профессий, появились вычислительные машины, компьютеры.

Очень важно знать математику в наше время. Ведь  математика основа точных наук. Без них невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение.

И я бы хотела закончить  словами Великого русского ученого М. В. Ломоносова: "Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит” 
Список использованной литературы:

 

1. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ССУЗов/Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко .-3-е изд., стереотип.-М.: Дрофа, 2008.-395с.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов/ Н.В.Богомолов.-5-ое изд., стер.-М.: Высшая школа., 2008.-495 с.
3. Пирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие для студентов ССУЗов/ У.Г. Пирумов.-4-е изд., испр. –М. : Дрофа, 2008.-224с.
4. Высшая математика для экономистов:учебник для студентов ВУЗов/ под редакцией Н.Ш. Кремера.-3-е изд.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.-479 с.-(Серия « Золотой фонд российских учебников»)
5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для средних специальных учебных заведений/И.Д. Пехлецкий. -5 изд., стер.-М.: Академия, 2009г.-421с
6. Опорный конспект по алгебре и началам анализа /под редакцией  преподавателя ФГОУ СПО ЧЮТ Кондратьевой Е.А.-Ч.: ЧЮТ, 2009 г. –56с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение  

Интегральное исчисление появилось во времена античного  периода развития математической науки  и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял  собой набор правил, разработанных  Евдоксом Книдским. По этим правилам, по которым вычисляли площадей и  объёмы           Евдокос Книдский

   

Леонард Эйлер использовал понятие  об интегральной сумме. Он не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих  интегральных сумм, но рассматривать  определенный интеграл как предел интегральной суммы не представлялось возможным, потому что этом случае все слагаемые  интегральной суммы становились  бесконечно малыми, то есть, с точки  зрения Эйлера, были нулями. =e, где е 2,7-число Эйлера

 

Ньютон первый построил  дифференциальное и интегральное  исчисления, он назвал его методом  флюксий. Это дало возможность  решать самые разнообразные, математические  и физические, задачи. До Ньютона  многие функции определяли только  геометрически, и к ним невозможно  было применять алгебру или  новое исчисление флюксий. Ньютон  нашел новый общий метод аналитического  представления функции - он ввел  в математику и начал систематически  применять бесконечные ряды. Метод флюксий применяется  здесь к большому числу геометрических вопросов (задачи на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и  др.); здесь же выражается в элементарных функциях ряд интегралов от функций, содержащих квадратный корень из квадратичного  трёхчлена. Большое внимание уделено  в "Методе флюксий" интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, причём основную роль играет представление  решения в виде бесконечного степенного ряда.  Пример:                                                    (3x2 - 2ax + ay)dx = (3y2 + ax)dy. Уравнение записывается в  виде :   d(x3 - ax2 - y 3 - axy) = 0   откуда вытекает наличие решения : x3 - ax2 - y 3 - axy = 0.