История и развитие интегрального исчисления

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………….….3

Глава I .История развития интегрального исчисления……………………...5

§1.1. Геометрический смысл неопределенного интеграла………………….6

§1.2. Неопределенный интеграл……………………………………………...7

§1.3. Символьный метод, операторы………………………………………….7

Глава II. Ньютон и Лейбниц ………………………………………………….8

§2.1. Рождения противоречий………………………………………………...9

§2.2. Эйлер. Понятие об интегральной сумме……………………………...10

Глава III. Проблема двойных и тройных интегралов………………………12

§3.1. Исследование методов  двойных и тройных интегралов……………..12

§3.2. Основополагающий результат  Коши………………………………….13

§1.3. Роль интегрального исчисления в будущей профессии юриста…….14

Заключение………………………………………………………………......16

Список использованной литературы……………………………………..18

Приложения………………………………………………………………….19 
Введение

      Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. 
Метод исчерпывания - начало интегрального исчисления. 
   Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). По этим правилам, по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед. 
Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C 1 , C 2 , …, C n , … такая, что.Предполагалось также известным такое B , что для любого целого N можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию: 
Где величина d – константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее: 
          Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью А 1 , А 2 , …, А n , …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления.

   Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания - о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа. 
Все возрастающие запросы практики и других наук в конце XVII и в XVIII веке побудили ученых максимально расширить область и методы исследований математики. На первое место выдвинулись понятия бесконечности, движения, функциональной зависимости. Они стали основой новых методов математики.    
Глава I. История развития интегрального исчисление 
        

         Основанные на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером, в конце XVII века были разработаны основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применение к решению прикладных задач.

         Известна следующая забавная история. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Для подготовки к ней ему нужно было приобрести несколько бочек виноградного вина. При их покупке Кеплер был удивлен тем, как продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увлёкся этой интереснейшей математической задачей - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над ней, Кеплер вывел формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Кеплеру для каждого из изучаемых тел создавал новые, нередко очень хитроумные методы, что оказалось крайне неудобно. Позднее именно попытка найти общие, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

  Не найти другого учёного, исследования которого оказали бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден в своей книге “Пробуждающаяся наука” написал: “Каждый естествоиспытатель, безусловно, согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным  наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. Что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно

Из биографии Исаака Ньютона  известно, что он родился в 1643 году, посещал сначала сельскую школу, а в двенадцать лет его отправили  учиться в ближайший город. Директор школы обратил внимание на способного мальчика и настоял, чтобы мать Ньютона  отправила сына учиться в Кембриджский университет. Ньютона приняли университет  как бедного студента, обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.

Жизнь связала Ньютона  с молодым блестящим учёным Исааком  Барроу, который занимал тогда  Кафедру математики в Кембридже. Он заинтересовался талантливым  молодым человеком и скоро  стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет  уступил своему великому ученику  кафедру математики. К этому времени  Ньютон получил уже степени бакалавра  и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием  математического аппарата, с помощью  которого можно было бы исследовать  и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления, он назвал его методом  флюксий. Это дало возможность решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона  многие функции определяли только геометрически, и к ним невозможно было применять  алгебру или новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий  метод аналитического представления  функции - он ввел в математику и  начал систематически применять  бесконечные ряды.

Любое число «a» можно представить в виде: где N - целая часть, а a 1 , a 2 , ... a n , ... могут принимать одно из значений от 0 до 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любую функцию от x , например , , можно представить как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x :,  
где a 1 , a 2 , ... a n , ...- коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером служит известная нам геометрическая прогрессия:

Такое представление функции  с помощью ряда очень удобно. С  помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”. 
К аналогичным идеям, одновременно с Ньютоном, пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц. 
 
   Познакомимся с его биографией. Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он любил подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля, Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет, где старательно изучал право и философию. Он очень много читал, его любимыми книгами были книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы. Колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел, как ни странно, самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц, обиженный отказом ученого совета университета присвоить ему, степень доктора прав покинул Лейпциг. Отказ объяснили тем, что Лейбниц был... слишком молод! 
Так для молодого учёного началась жизнь, полная напряженного труда и далёких бесконечных путешествий. Нетрудно представить, как неудобно было путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц старался никогда не терять время даром. Много удачных мыслей родилось в его талантливой голове именно во время этих продолжительных поездок. 
Лейбниц обладал исключительной способностью быстро понимать в задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, он убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях, но этим символическим формулам. Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от любой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других, заменяя общие слова четко определенными символами. 
 
   Лейбниц мечтал, что если вдруг между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах, а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: “Начнем вычислять” - примутся за расчеты. 
Лейбниц одновременно с Ньютоном, как уже отмечалось, и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений.

Теория приобрела силу только после того, как Лейбницем  было доказано, что дифференцирование  и интегрирование - взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон, но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода. 
          Так любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического метода.

 

§1.1. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

    Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

Аналогично можно построить  график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х² + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

§1.1.Неопределенный интеграл.

 Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x²/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x²/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Метод подстановки

  Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

 функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

∫ f(x)dx =∫ f(f (t))f' (t)dt.

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'_x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).

Таким образом,

∫ f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C. Так как ∫ f(x)dx = F(x)+C

Интегрирование по частям :

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu.    

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ x^k ln^mx dx, ∫x^k sin bx dx, ∫ x^k cos bx dx, ∫x^k e ^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Пример.1

∫(х-4)*sin3xdx│u=x-4,du=dx dv-sin3xdxv=∫sin3xdx=- cos3x│-cos3x+∫cos3xdx=-xcos3x=+sin3x+C

Пример.2

Найти ∫ arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда ∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как 
∫x dx/(x²+1) = 1/2 ∫ d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример.3

Вычислить ∫ e^x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^x dx, v = ∫ sin x dx= - cos x → ∫ e^x sin x dx = - e^x cos x + ∫ e^x cos x dx. Интеграл ∫ e^x cos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx Þ du=e^xdx, v=sin x. Имеем: 
∫ e^x cos x dx = e^x sin x - ∫ e^x sin x dx. Получили соотношение ∫ e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x - ∫ e^x sin x dx, откуда 2 ∫ e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x + С.

 

 

§1.2. Символьный метод,  операторы

    В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d() и интегрирования действуют на функции, “перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число, а можно выносить за знак оператора. Одинаковые операторы можно выносить за скобку. 
Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением: где a и b - числа. 
Однако в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.  
Операторы, которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов, которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математике является хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией. 
Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ) : 
То, что основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и также взаимно обратны, как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение, аналогичное обозначению a -1 числа, обратного a , причём произведение a Ч a -1 =1. Обозначая операторы или наоборот: 
и понимая под их произведением последовательное их применение, имеем, т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.