Функції обмеженої варіації

монотонно зростаюча  і обмежена в силу властивості 5. Нерівність

випливає із самого визначення повної варіації функції.

Достатність для випадку кінцевого проміжку випливає з нерівності

а для нескінченного  — отримуємо граничним переходом.

Дуже важливою є інша форма критерію:

7. Для того щоб функція  мала на проміжку обмежену варіацію, необхідно й достатньо, щоб вона подавалася на цьому проміжку у вигляді різниці двох монотонно зростаючих і обмежених функцій:

                                                  (10)

Необхідність. У силу властивості 6, для функції  з обмеженою зміною існує монотонно зростаюча й обмежена мажоранта . Покладемо

так що (10) виконується. Залишається переконатися в монотонності функції  але при

за визначенням мажоранти.

Достатність випливає з того, що при наявності рівності (10) функція

буде мажорантою, або

Із приводу теореми 7 зробимо додаткове зауваження.

Так як функції і обмежені, те шляхом додавання до них однієї й тієї ж сталої завжди можна досягти того, щоб вони стал додатніми. Аналогічно, додаючи до функцій і яку-небудь зростаючу, але обмежену функцію (наприклад, ), прийдемо до розкладання виду (10), де обидві функції будуть вже строго зростаючими.

Установлена в 7 можливість зведення функцій з обмеженою зміною до монотонних функцій не повинна створювати в ілюзій відносно «простоти» приведення функцій з обмеженою зміною: адже нескінченно варіююча функція

також допускає подання  її у вигляді різниці двох монотонних функцій.

Проте, саме у зв'язку з виставою (10), деякі властивості монотонних функцій переносяться й на функції з обмеженою варіацією. Так, якщо згадати, що для монотонної обмеженої функції при будь-якому існують односторонні границі

 то, застосовуючи цю властивість до кожної з функцій і , будемо мати властивість 8.

8. Для функції з обмеженою варіацією на проміжку у будь-якій точці цього проміжку існують кінцеві односторонні границі.

5. Неперервні функції з обмеженою варіацією.

9. Нехай на проміжку задана функція з обмеженою варіацією. Якщо у деякій точці неперервна, то в цій же точці неперервна і функція

Припустимо, що і доведемо, що неперервна у точці справа. Для цього візьмемо довільне , розіб’ємо проміжок точками

 

на частини так, щоб

Спираючись на неперервність функції , можна припустити при цьому, що уже настільки близький до , що виконується нерівність

 (при необхідності, можна було б вставити ще одну точку ділення, при цьому сума лише збільшиться). Тоді з (12)випливає, що

тоді

і

Звідси 

отже, враховуючи довільність  вибору ,

Аналогічно доводиться, що (при )

тобто що неперервна зліва.

З доведеної теореми випливає такий наслідок:

10. Неперервну функцію обмеженої варіації можна подати у вигляді різниці двох неперервних  зростаючих функцій.

Насправді, якщо повернутися до доведення властивості 7 (зокрема необхідності) і в якості монотонної мажоранти взяти саме функцію

неперервну в силу 9, то й отримаємо необхідне розкладання.

На закінчення покажемо, що для неперервної функції у визначенні повної варіації:

supremum можна замінити границею як і у випадку, коли повна варіація скінченна, так і у випадку, коли вона нескінченна.

11. Нехай функція неперервна на проміжку . Розклавши цей проміжок на частини точками

і склавши суму

будемо мати

                                           (13)

 

де .

Як ми вже відзначали, сума не зменшується від додавання нової точки поділу **. З іншого боку, якщо ця нова точка належить проміжку між і , то збільшення суми , що виникає з появою цієї точки, не перевершує подвоєної варіації функції на проміжку .

Помітивши це, візьмемо яке-небудь число

і знайдемо суму * таку, що

                 

Нехай ця сума відповідає наступному способу поділу:

Виберемо тепер таке , що

як тільки (в силу рівномірної неперервності функції ). Доведемо, що для будь-якого способу поділу, якому відповідає , буде

                      (15)

Насправді, маючи такий спосіб поділу (I), складемо новий спосіб (II), що виходить із (I) додаванням усіх точок . Якщо способу (II) відповідає сума , то

                                                (16)

З іншого боку, спосіб (II) отримуємо із (I) шляхом m-кратного додавання по одній точці. Так як кожне додавання призводить до збільшення суми , менш ніж на , то

Звідси, а також із (16) і (14), випливає, що

Отже, при виконується (15); але, оскільки завжди

то дійсно має місце (13), що й треба було довести.

6. Спрямні криві.

 Поняття функції з обмеженою варіацією застосовується при дослідженні спрямлюваності кривої лінії, у зв'язку з чим дане поняття й було вперше введене Жорданом.

Нехай крива ( ) задана параметричними рівняннями

                                       (17)                        

де функції і неперервні. Припустимо при цьому, що крива не має точок поділу.

Обравши за вершини вписаної в криву ламаної точки кривої, що відповідають значенням параметра

                                           (18)

отримаємо таке значення периметра ламаної

Довжина розглянутої дуги кривої визначається як точна верхня грань множини всіх периметрів . Якщо ця грань скінченна, крива називається напрямною.

7. Теорема Жордана.

Для спрямлювальності кривої (17) необхідно і достатньо, щоб функції і мали обмежену варіацію на проміжку .

Необхідність. Якщо крива напрямна і має довжину , то на будь-якому підпроміжку (18) проміжка маємо

звідки, у силу очевидної нерівності

випливає, що

так що функція , дійсно, має обмежену варіацію. Аналогічний висновок застосовний і до функції .

Достатність. Припустимо, що обидві функції і мають обмежену варіацію. Через очевидну  нерівність

можна стверджувати, що всі числа обмежені зверху, наприклад, числом

А звідси, за доведеним вище, слідує спрямлювальність кривої ( ).

Додамо ще два важливі зауваження.

З вище доведеного слідує, що вся довжина кривій (17) задовольняє нерівності

Розглядаючи  дугу , що відповідає проміжку зміни параметра, використаємо дану нерівність на проміжку , де, . Тоді

Так як при нескінченно малому обидві варіації справа, а з ними і , також нескінченно малі, то ми приходимо до висновку: для неперервної спрямлювальної кривої дуга є неперервною функцією параметра.

Так як ця функція монотонно зростає від 0 до довжини кривої, то, яке б не було натуральне число , дану криву можна подати розділеною на частин довжини . Якщо площина покрита сіткою квадратів зі стороною , то кожна зі згаданих частин не може зустріти більше чотирьох таких квадратів. Таким чином, сума площ усіх квадратів, що зустрічають нашу криву, у всякому разі не перевищує і може бути зроблена як завгодно малою: крива має площу рівну нуль.

Наслідок: область, обмежена спрямлювальною кривою (або декількома такими кривими), має площу.

 

 

Висновок

Отже, в даній курсовій роботі було розглянуто важливий клас функцій – функції обмеженої варіації.

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом. Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був запроваджений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є 2π-періодичних функцій класу збігаються в кожній точці дійсної осі. Однак у подальшому функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стільтєса.

Розглянуто класи функцій обмеженої варіації, властивості, було подано змістовне їхнє означення, критерій для розпізнавання таких функцій. Досліджувались неперервні функції обмеженої варіації, а також монотонні функції, спрямні криві, а також теорема Жордана для спрямлювальних кривих.

Функції з обмеженою  зміною використовуються в теорії інтеграла Стільтєса,теорії тригонометричних рядів, у геометрії і мають дуже важливе значення при розв’язанні різних задач математичного аналізу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Александров П.С., Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 3 изд., М. — Л. — 1938.
2. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение. — 1979. — С. 128.
3. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. – М.: ГТТИ. –  С. 1934.
4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука. – 1974.             

5.       Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том III/ - СПб.: Лань. —  1997. —  С. 672.

6.       Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного. Учебное пособие для пединститутов. Изд-во 2-е. —  М.: Учпедгиз. — 1961.