Функції обмеженої варіації

 

Сумський державний педагогічний університет ім. А. С. Макаренка

Кафедра математики

 

 

 

КУРСОВА РОБОТА

з математичного аналізу 

 

 

 

на тему: «Функції обмеженої варіації»

 

 

Студента 3 курсу 432 групи

напряму підготовки 0402 фізико-математичних наук

Спеціальності 6.040200 Математика*

Суденка Олександра Миколайовича

Керівник: кандидат фізико-математичних наук,    доцент

Погребний Валерій Данилович

Національна шкала ___________________________

Кількість балів: ________ Оцінка: ECTS _________

Члени комісії: __________   ____________________

                                  (підпис)                       (прізвище та ініціали)

                                 __________   ____________________

                                  (підпис)                       (прізвище та ініціали)

 

 

 

 

м. Суми – 2011 р. 
План

ВСТУП…………………………………………………………………………..…3

1. Визначення функції обмеженої варіації……………………………………....4

2. Класи функцій обмеженої варіації…………………………………………….6

3. Властивості функцій обмеженої варіації…………………………………..…9

4. Критерії для функцій обмеженої варіації……………………………………12

5. Неперервні функції обмеженої варіації……………………………………...14

6. Спрямні криві………….....……………...…………………………………....18

7. Теорема Жордана……………………………………………………………...19 ВИСНОВОК………………………………………………………………...……21

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………….22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Варіація функції, одна з найважливіших характеристик функції дійсної змінної. Нехай функція f (x) задана на деякому відрізку [a, b]; її зміною, або повною варіацією, на цьому відрізку називається верхня грань сум

 при будь-якому розбитті

відрізка [a, b] на скінченне число частин. Геометрично зміна неперервної функції f (x) являє собою довжину проекції кривій на вісь ординат, враховуючи кратність покриття (теорема Банаха). Варіацію функції f (x) на відрізку [а, b] прийнято позначати символом

.

Якщо варіація функції звичайна, тоді така функція називається функцією з обмеженою зміною (функцією з кінцевою зміною, або функцією обмеженої варіації). Функції з обмеженою зміною були визначені й уперше вивчалися К. Жорданом (1881).  Багато важливих функцій належать до функцій з обмеженою зміною, наприклад, монотонні функції, задані на відрізку, функції з кінцевим числом максимумів і мінімумів, функції, що задовольняють рівняння Ліпшица. Будь-яка функція з обмеженою зміною на відрізку [а, b] має не більш ніж скінченну множину точок розриву, і в тому числі першого роду, інтегровна по Ріману і є різницею двох неспадних функцій (К. Жордан). Межа збіжної послідовності функцій з рівностепеневими обмеженими змінами є функція з обмеженою зміною. Функції з обмеженою варіацією мають майже всюди кінцеву похідну, яка інтегровна по Лебегу (теорема А. Лебела).

 

 

1. Функції обмеженої варіації.

Функцій, що будуть розглядатися в даній курсовій роботі були введені Жорданом (С. Jordan). Цей клас функцій відіграє основну роль у багатьох питаннях математичного аналізу.

Нехай функція  визначена в деякому кінцевому проміжку де . Розкладемо цей проміжок на частини довільним чином  за допомогою точок ділення:

 

З абсолютних величин  приростів функції, що відповідають окремим частковим проміжкам, складемо суму:

 

                         (1)

 
Запитання полягає в тому, чи буде множина чисел, що відповідає різним способам поділу відрізку на частини, обмеженою зверху.

Якщо суми (1) в їх сукупності обмежені зверху, то говорять, що функція на проміжку має обмежену варіацію. При цьому точну верхню грань цих сум називають повною варіацією функції на вказаному проміжку і позначають символом:

Можна використовувати  це поняття і у випадку функції необмеженої варіації, але тоді повна варіація буде рівною .

Відповідно до визначення точної верхньої грані, в обох випадках, вибираючи проміжки, що належать , можна досягнути довільного наближення суми   до повної варіації . Іншими словами, можна вибрати таку послідовність відрізків, що повна варіація була границею для послідовності відповідних сум .

Інколи ставиться запитання  про обмеженість варіації функції на нескінченному проміжку, наприклад, на проміжку . Функція має обмежену варіацію на проміжку , якщо вона є функцією обмеженої варіації на будь-якому проміжку , і повні варіації обмежені в їх сукупності. В усіх випадках ми маємо на увазі, що

                                        (2)

Відзначимо, що в цих  визначеннях ніякої ролі не відіграє питання про безперервність функції .

Прикладом функції з  обмеженою зміною в кінцевому  або нескінченному проміжку   може бути  будь-яка обмежена монотонна функція. Якщо проміжок кінцевий, то це відразу випливає з того, що

так що й  . Для проміжку , очевидно

розуміючи під  , як звичайно, .

Дамо тепер приклад  безперервної функції, яка, однак, не буде функцією з обмеженою зміною. Покладемо

і розглянемо, наприклад, проміжок [0, 1]. Якщо за точки ділення цього проміжку прийняти точки

то, легко переконатися

2. Класи функцій з обмеженою зміною.

 Ми вже згадували про те, що монотонна функція має обмежену варіацію. Можна в такий спосіб розширити цей клас функцій:

1. Якщо функція , задана в проміжку , так, що цей проміжок може бути розкладений на кінцеве число частин

у кожній з яких монотонна *, то вона має на обмежену зміну.

Розбивши довільним чином проміжок на частини, складемо суму . Так як від приєднання кожної нової точки ділення сума може лише збільшитись **, то, приєднавши до точки ділення всі точки , ми отримаємо суму . Якщо виділити із суми ті доданки, які належать проміжку , то позначаючи їх суму , будемо мати

так що

Так як довільна сума не перевершує цього числа, то воно і буде повною зміною функції.

2. Якщо функція  на проміжку задовольняє умову

де  ,  і — будь-які точки проміжку *, то вона має обмежену зміну, причому

Це випливає з нерівності

Зокрема,

3. Функція  буде на проміжку функцією з обмеженою варіацією, якщо вона має на ньому обмежену похідну: (де ).

Справді, за теоремою про середній у цьому випадку

так що виконана умова  Ліпшица (3).

На підставі цього зауваження можна, наприклад, стверджувати про обмеженість варіації функції

на будь-якому кінцевому проміжку, тому що похідна цієї функції

обмежена.

Великий клас функцій з обмеженою зміною:

4. Якщо на кінцевому (або навіть на нескінченному) проміжку подати у вигляді інтеграла зі змінною верхньою межею:

                                                (4)

де  передбачається абсолютно інтегрувальною * на цьому проміжку, то має на ньому обмежену варіацію. При цьому

Нехай — кінцевий проміжок; тоді

звідки й випливає наше твердження.

Якщо ж мова йде  про нескінченний проміжок , то  достатньо відмітити, що

Зауваження. Можна довести, що як і у випадку кінцевого, так і у випадку нескінченного проміжку насправді має місце

точна рівність

Якщо ж функція на проміжку інтегрувальна, але не абсолютно, та повна варіація нескінченна. Ми не будемо зупинятися на цьому, але пояснимо лише останню частину зауваження прикладами.

Нехай

Тоді, наприклад, для 

але ми показали, що інтеграл цей — не абсолютно збіжний. Аналогічно розкладемо проміжок [0, 2] точками

для відповідної суми  , буде

 

звідки й випливає, що

 

Аналогічно цьому легко  показати, що функція 

на проміжку має необмежену варіацію.

3. Властивості функцій з обмеженою зміною.

Проміжок  ,на якому розглядаються всі функції, вважається кінцевим.

1. Будь-яка функція з обмеженою зміною обмежена.

Насправді, при  маємо

звідки 

2. Сума, різниця й добуток двох функцій і з обмеженою варіацією також є функціями з обмеженою зміною.

Нехай Тоді

і підсумовуючись по значкові ,

звідки випливає

Покладемо тепер  і нехай

 [див. вл. 1]. Очевидно, що

звідки вже легко  одержати, що

3. Якщо і — функції з обмеженою зміною і

то і  — функція з обмеженою варіацією.

За допомогою властивості 2, досить довести обмеженість зміни функції Маємо

так що

4. Нехай функція  визначена в проміжку і . Якщо функція має обмежену варіацію на проміжку , то вона має обмежену зміну й

на кожному із проміжків  і , і навпаки. При цьому

                                (5)

Нехай має обмежену зміну на . Розкладемо на частини кожний із проміжків і :

            (6)

цим буде розбитий на частини й ввесь проміжок . Складемо суми окремо для проміжків і :

відповідна сума для проміжку   буде

Таким чином 

і, отже, кожна із сум і порізну обмежена, тобто функція виявляється з обмеженою зміною на проміжках і . Вибираючи частини (6) так, щоб суми і , прямували до відповідної повної варіації, то отримаємо

                                 (7)

Припустимо тепер, що   має обмежену варіацію на кожному із проміжків і . Зробимо довільне розбиття проміжку на частини. Якщо точка с не входить до складу точок розбиття, то ми її додатково введем, тому сума лише збільшиться. Зберігаючи позначення, будемо мати

Звідси відразу випливає обмеженість варіації на проміжку і нерівність:

                                  (8)

Нарешті, з (7) і (8) випливає (5).

З доведеної теореми, зокрема, випливає:

5. Якщо на проміжку  функція має обмежену зміну, то для повна варіація

буде монотонно зростаючою (і обмеженою) функцією від .

Дійсно, якщо то

так що

                                (9)

 

(тому що за визначенню повної варіації воно не може бути від’ємним числом).

Тепер стає зрозумілим, що визначення повної варіації на нескінченному проміжку вираз (2) може бути поданий в наступній формі:

                                     (2*)

4. Критерії для функцій з обмеженою зміною.

 Нехай функція визначена на кінцевому або нескінченному проміжку .

6. Для того щоб функція  мала на проміжку обмежену варіацію, необхідно і достатньо, щоб на цьому проміжку існувала монотонно зростаюча і обмежена функція , така, що в будь-якій частині ,

 проміжку  приріст функції за абсолютною величиною не перевищував відповідного приросту функції :

Функцію , яка володіє цією властивістю,будемо називати мажорантою для функції . 

Необхідність випливає з того, що для функції з обмеженою варіацією роль мажоранти може відіграти, наприклад, функція