Елементи теорії кореляції

Отже, згідно з МНК  оцінки параметрів а0 та а1 визначаються за формулами (2.9).

Неважко помітити, що a1 можна  обчислити за формулою

                            

де Sxy = cov(x,y) = — ∑ (xi -x)(yi -y) — вибірковий кореляційний момент випадкових величин XiY;S2x=-∑ (xi - x)2 вибіркова  дисперсія X; Sx = yJS2 — стандартне відхилення X. Тоді

                              

де rxy - вибірковий коефіцієнт кореляції; S - стандартне відхилення Y. Отже, коефіцієнт регресії пропорційний коефіцієнту кореляції, а коефіцієнти  пропорційності використовують для зіставлення різних величин Хі Y.

Таким чином, якщо коефіцієнт кореляції rxy уже розрахований, то за формулою (2.11) неважко знайти коефіцієнт a1 парної регресії.

Якщо окрім рівняння регресії Y на X (Y = a0 + a1X) для тих самих  емпіричних даних знайдено рівняння регресії X на Y

(X = b0 + b1Y), то добуток  коефіцієнтів a1 та b1 дорівнює rx2y:

                            

Зазначимо, що коефіцієнти b0 і b1 обчислюються за формулами, аналогічними формулам (2.9):

                               

Властивості оцінок параметрів

Отримані результати, зокрема формули (2.9) і (2.12), дають  змогу зробити ряд висновків.

1. Оцінки МНК є функціями  від вибірки.

2. Оцінки МНК є точковими  оцінками теоретичних коефіцієнтів  регресії.

3. Відповідно до другої  формули співвідношення (2.9) емпірична пряма регресії обов'язково проходить через точку ( х, у ).

4. Емпіричне рівняння  регресії побудоване в такий  спосіб, що сума відхилень 'Ущ, а також середнє значення відхилення  дорівнюють нулю (показати самостійно).

5. Випадкові відхилення иі некорельовані зі спостереженими значеннями уі залежної змінної Y.

Для підтвердження цього  висновку необхідно показати, що кова-ріація між Y і и дорівнює нулю, тобто Syu = 0.

6. Випадкові відхилення  иі некорельовані зі спостереженими  значеннями х{ незалежної змінної X і з оціненими за лінійною регре-сійною моделлю значеннями залежної змінної Y.

Щоб підтвердити даний  висновок, необхідно показати, що коварі-ація між X і и дорівнює нулю, тобто Sm = 0, S~ = 0.

Зауважимо, що в класичній  лінійній економетричній моделі змінна и розглядається як випадкова змінна з нульовим математичним сподіванням і сталою дисперсією. Оскільки и охоплює вплив багатьох неврахованих факторів, які можна вважати незалежними, то на підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей роблять висновок, що ця випадкова величина підпорядкована нормальному закону розподілу (закону Гаусса).

Доведено (теорема Гаусса), що застосування методу найменших квадратів  можливе лише тоді, коли залишки  розподілені нормально з параметрами M(U) = 0.

 

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ2.

Практична реалізація теорії кореляції

2.1.Реалізація лінійної регресії на прикладі задач

Задача 1.

На базі статистичних даних – економічного показника  за 12 місяців:

T	X(T)
1	6,73
2	6,97
3	7,95
4	7,67
5	8,51
6	9
7	8,57
8	8,16
9	10,25
10	10,37
11	11,04
12	11,5

 

1)Побудувати модель тренду змінної , вибравши форму лінійної однофакторної регресії

2) Оцінити всі її параметри

3)Визначити зони надійності параметрів регресії при рівні значущості

4)Оцінити коефіцієнти кореляції   та детермінації

5)Оцінити прогноз для трьох місяців , ,

Розв’язок

1. Значення коефіцієнтів  регресії знаходимо за формулами 

Таким чином, рівняння лінії  регресії . Нижче наведено графік лінії регресії та точки які відповідають реальним статистичним даним.

2) Стандартну похибку рівняння знаходимо за формулою

Складемо таблицю значень  за формулою рівняння регресії

1	6,73	6,638	0,0085
2	6,97	7,048	0,0061
3	7,95	7,458	0,2421
4	7,67	7,868	0,0392
5	8,51	8,278	0,0538
6	9,00	8,688	0,0973
7	8,57	9,098	0,2788
8	8,16	9,508	1,8171
9	10,25	9,918	0,1102
10	10,37	10,328	0,0018
11	11,04	10,738	0,0912
12	11,50	11,148	0,1239

Дисперсія коефіцієнта  регресії

Дисперсія коефіцієнта  регресії

3) Ширину довірчих  інтервалів розраховуємо за формулою

Де  квантиль рівня 0.05 для числа ступенів свободи 12-2=10 розподілу Стьюдента

(Формули для розрахунків довірчих зон в методичних вказівках невірні)

Таким чином, довірчі  інтервали

Для :

Для :

4) Коефіцієнт детермінації  знаходимо за формулою

Коефіцієнт кореляції 

. Таким чином величини та сильно корельовані, тобто значення економічного показника знаходиться в сильній залежності від місяця

5. Прогноз для трьох  місяців оцінюємо на основі  побудованої лінії регресії

 

2.2.Реалізація застосування методу найменших квадратів на прикладах

Приклад1. Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та кількість.

         

Розв'язання. Для визначення параметрів розв’язуємо систему двох рівнянь з двома невідомими a та Ь.

                                 

Для функції пропозиції замість х беремо дані у рядку ціни, замість у — дані у рядку пропозиції.

Для функції попиту: замість х — дані у рядку ціни, замість у —дані у рядку попиту.

Проміжні дані для  функції пропозиції записуємо в  таблицю.

   

Проміжні дані для  функції попиту також записуємо  в таблицю.

    

Розв’язуємо дві системи рівнянь.

             

Одержуємо такі рівняння функцій пропозиції та попиту: у = 1,55л:+ 4,03; у = -2,77х + 9,56.

Оскільки рівноважна ціна та кількість визначається як координати точки перетину прямих попиту та пропозиції, то розв’язуємо ще одну систему лінійних рівнянь:

Одержимо: х = 1,28, у = 6,014.

Відповідь. Рівноважна ціна становить 1,28 гр. од., рівноважна кількість — 6,014 од.

Приклад2.Для аналізу залежності обсягу споживання У (у. о.) до-могосподарства від наявного прибутку X (у. о.) обрано вибірку обся-гу «=12 (щомісячно впродовж року), результати якої наведені в табл. 2.1. Необхідно визначити вид залежності; за МНК оцінити па-раметри рівняння регресії У і X; оцінити силу лінійної залежності між X і У; а також спрогнозувати споживання при прибутку X = 160.

 

За розміщенням точок  на кореляційному полі припускаємо, що залежність міжXі У лінійна: У = а0 + а1X; а0,а1 — оцінки невідомих параметрів моделі.

Для наочності розрахунків  за МНК складемо табл. 2.2.

Згідно з МНК маємо

             

Отже, рівняння парної лінійної регресії має вигляд Y = 3,699 + 0,9339X. Зобразимо  цю пряму регресії на кореляційному полі. За наведеним рівнянням розрахуємо у{, а також щ = уі - щ.

Для аналізу сили лінійної залежності обчислимо коефіцієнт ко-реляції:

              

Отримане значення коефіцієнта  кореляції дає змогу зробити  вис-новок про сильну (пряму) лінійну залежність між змінними X і У. Це також підтверджується розміщенням точок на кореляційному полі.

Прогнозоване споживання при доступному доході Х= 160 за даною  моделлю становить £(160) ≈ 153,12.

Побудоване рівняння регресії в будь-якому разі потребує певної інтерпретації та аналізу.

Інтерпретація, тобто  словесний опис отриманих результатів, необхідна для того, щоб побудована залежність набула якісного економічного змісту.

У нашому прикладі коефіцієнт щ може розглядатися як гранична схильність до споживання. Фактично він показує, на яку величину зміниться обсяг споживання, якщо доступний дохід збільшиться на одиницю. На графіку (рис. 2.3) коефіцієнт at визначає тангенс кута нахилу прямої регресії відносно додатного напрямку осі абсцис (пояснюючої змінної). Тому часто він називається кутовим коефіцієнтом.

Вільний член а0 рівняння регресії визначає прогнозоване значення Y при величині наявного прибутку X, що дорівнює нулю (тобто автономне  споживання). Однак тут необхідна  певна обережність. Важливо, наскільки  віддалені дані спостережень за пояснюючою змінною від осі ординат (залежної змінної), тому що навіть при вдалому виборі рівняння регресії для досліджуваного інтервалу немає гарантії, що вона залишиться такою самою й віддалік від вибірки. У нашому випадку значення а 0 =3,699 (у. о.). Цей факт можна пояснити для окремого домогосподарства (воно може витрачати накопичені або позичені кошти), однак для комплексу домогосподарств він втрачає сенс. У будь-якому разі значення коефіцієнта а0 визначає точку перетину прямої з віссю ординат і характеризує зсув лінії регресії вздовж осі Y.

Необхідно пам'ятати, що емпіричні коефіцієнти регресії а0 і щ є лише оцінками теоретичних  коефіцієнтів а0 та alt а саме рівняння відображає лише загальну тенденцію  в поведінці розглянутих змінних. Індивідуальні значення змінних з різних причин можуть відхилятися від модельних значень. У нашому прикладі ці відхилення виражені через значення и{, які є оцінками відповідних відхилень для генеральної сукупності.

Однак за певних умов рівняння регресії є незамінним і дуже якісним інструментом аналізу та прогнозування.

   2.3.  Застосування методу лінійної регресії на прикладі

 

Рівняння має  вигляд y = ax + b

Середні значення

 Дисперсія

 Середньоквадратичне  відхилення

 Коефіцієнт  кореляції

 Зв'язок між  ознакою Y чинником X  сильна i пряма

 Рівняння  регресії

 Коефіцієнт регресії (коефіцієнт еластичності)

k = a = 3.77

 Індекс кореляції  (емпіричне кореляційного відношення)

 где

s _y0 = 989.32 + 14.76 = 1004.08

 Отримана  величина свідчить про те, що  фактор x істотно впливає на y

 Коефіцієнт  детермінації

R ²= 0.99 ² = 0.99,тобто в 98.5081 % випадків зміни х призводять до зміни y. Іншими словами - точність підбору рівняння регресії – висока

Коефіцієнт  детермінації

x	y	x 2	y 2	x ∙ y	y(x)	(y-y cp) 2	(y-y(x))2	(x-x p) 2
2.00	4.33	4	18.75	8.66	6.36	143.54	4.11	6.98
2.50	9.50	6.25	90.25	23.75	8.24	46.39	1.59	4.59
3.00	9.12	9	83.17	27.36	10.12	51.71	1.01	2.7
3.50	13.01	12.25	169.26	45.54	12.01	10.89	1.01	1.31
4.00	13.12	16	172.13	52.48	13.89	10.18	0.59	0.41
4.50	16.05	20.25	257.6	72.23	15.77	0.07	0.08	0.02
5.00	18.43	25	339.66	92.15	17.66	4.49	0.6	0.13
5.50	18.52	30.25	342.99	101.86	19.54	4.88	1.04	0.73
6.00	20.18	36	407.23	121.08	21.42	14.97	1.54	1.84
6.50	24.15	42.25	583.22	156.98	23.3	61.45	0.71	3.45
7.00	25.25	49	637.56	176.75	25.19	79.91	0	5.56
7.50	26.74	56.25	715.03	200.55	27.07	108.77	0.11	8.16
8.00	29.95	64	897	239.6	28.95	186.03	0.99	11.27
		0	0	0	-1.17	266.04	1.38	21.56
65	228.35	370.5	4713.87	1318.98	228.35	989.32	14.76	68.71