Елементи теорії кореляції

В загальному вигляді  ГП_п можна записати:

 

                        .

 

Із цього  співвідношення одержимо нову економічну інтерпретацію параметра а₁ виробничої регресії Кобба-Дугласа. Якщо назвати середньою продуктивністю праці, то параметр а₁ є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю праці (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0< a₁ <1).

Граничним продуктом  праці називається додатковий продукт , отриманий у результаті додаткових затрат праці при незмінних затратах решти факторів виробництва.

Введемо формулу  обчислення додаткового продукту , отриманого в результаті відносно малих додаткових порцій вкладення праці:

 

                                     

 

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа ця формула  отримає вигляд

 

                                          

 

Граничною продуктивністю капіталу (ГП_к) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни капіталу на одиницю при незмінних значеннях решти факторів виробництва.

Розглянемо  ГП_к для виробничої регресії Кобба-Дугласа.

Якщо  назвати середньою продуктивністю капіталу, то параметр а₂ є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю капіталу (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0< a₁ <1).

Граничним продуктом  капіталу називається додатковий обсяг  продукту виробництва , отриманий у результаті додаткових вкладень капіталу при незмінних затратах решти факторів виробництва.

Граничний продукт  капіталу , отриманий у результаті додаткових вкладень відносно малої порції капіталу при незмінних значеннях працезатрат, визначається за формулою:

                                      

 

Для виробничих регресії Кобба-Дугласа додатковий продукт, отриманий за рахунок приросту капіталу при незмінних значеннях працезатрат, визначається за формулою

 

                                          

 

Граничний продукт  , отриманий у результаті додаткових вкладень відносно малими порціями працезатрат і капіталу , визначається за формулою:

 

                                   

 

Закон спадання граничної продуктивності праці

Розглянемо  виробничу регресію Кобба-Дугласа

 

                                      .

 

Оскільки Х₂ залишається незмінною величиною, то чисельник – постійна величина. Позначимо чисельник через с₁, де параметр а₁ Î (0,1). Оскільки  1-а₁ = а₂ то маємо

                                              ГП_п = .

Очевидно, що із зростанням затрат праці при незмінних  значеннях капіталу гранична продуктивність праці спадає (при  . Це і є закон спадання граничної продуктивності праці. Зобразити графічно.

Закон спадання граничної продуктивності капіталу.

Розглянемо  виробничу регресію Кобба-Дугласа

 

                                         .

 

Оскільки Х₁ залишається незмінною величиною, то чисельник – постійна величина. Позначимо чисельник через с₂, де параметр а₂ Î (0,1). Оскільки  1-а₂ = а₁ то маємо

                                                ГП_к = .

Очевидно, що із зростанням затрат праці при незмінних значеннях капіталу гранична продуктивність праці спадає (при . Це і є закон спадання граничної продуктивності праці. Зобразити графічно.

1.4. Моделі парної регресії та ix дослідження

Приклади парних зв'язків в економіці

Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих і стабільних зв'язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено залежності споживання від рівня доходу, попиту — від цін на товари, залежність між процентною ставкою та інвестиціями, обмінним курсом валюти та обсягом чистого експорту, між рівнями безробіття та інфляції, залежність обсягу виробництва від окремих факторів (розміру основних фондів, їх віку, підготовки персоналу тощо); залежність між продуктивністю праці та рівнем механізації, а також багато інших залежностей.

Здебільшого залежність між показниками можна відобразити  за допомогою лінійних співвідношень.

Наприклад, для моделювання  залежності індивідуального споживання С від наявного прибутку Y Кейнс  запропонував лінійне рівняння

                                       

де с₀ — величина автономного споживання; b — гранична схильність до споживання (0 < b< 1).

Однак припущення щодо лінійної залежності між певними показниками  економічного явища чи процесу може не підтверджуватися даними спостережень цих показників. І це природно, оскільки в деяких випадках залежність є суттєво нелінійною. Наприклад, залежність між рівнем безробіття х і рівнем інфляції у відображається так званою кривою Філіпса:

                                    

де a>0,b>0 - параметри моделі, а змінні x і y вимірюються у процентах.

При незмінній річній дисконтній (обліковій) ставці r і початковому  внеску a через x років у банку  наявна сума грошей обчислюватиметься  за формулою

                                     

де a, y - параметри моделі.

При маркетингових і  ринкових дослідженнях, при дослідженні  збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву  Гом-перця:

                                    

де параметри a та c можуть набувати будь-яких значень, а b перебу-ває в таких межах: 0 < b < 1.

Зв’язок між обсягом  виробленої продукції y та основними  виробничими ресурсами, а саме обсягом  витраченого капіталу C і обсягом  витрат праці L, також має нелінійний характер:

                                   

a, b, c,d — числові параметри; c, d > 0, a, b ≥ 0.

Нелінійні зв’язки, як правило, певними перетвореннями (заміною  змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або апроксимують (наближують) лінійними функціями.

Отже, модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпоширенішим (і найпростішим) видом залежності між економічними змінними. Крім того, побудоване лінійне рівняння може слугувати початковою точкою в разі складних (суттєво нелінійних) залежностей.

Лінійна модель з двома змінними

У загальному випадку парна лінійна регресія є лінійною функцією між залежною змінною Y і однією пояснюючою змінною X:

                                     

Співвідношення (2.1) називається  теоретичною лінійною регре-сійною моделлю; a0 і a1 - теоретичні параметри (теоретичні коефі-цієнти) регресії.

Зазначимо, що принциповою  в цьому разі є лінійність за парамет-рами a0 і a1 рівняння (2.1).

Щоб визначити значення теоретичних коефіцієнтів регресії, необ-хідно знати й використовувати  всі значення змінних X і Y генераль-ної  сукупності, що практично неможливо. Тому за вибіркою обмеже-ного обсягу будують так зване емпіричне рівняння регресії, у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефіцієнтів регресії:

                                      

a0 і a1 - оцінки невідомих  параметрів a0 і a1.

Через розбіжність статистичної бази для генеральної сукупності та вибірки оцінки a0 і a1 практично  завжди відрізняються від дійсних  значень коефіцієнтів a0 і a1, що призводить до розбіжності емпіричної та теоретичної  ліній регресії. Різні вибірки з однієї й тієї самої генеральної сукупності звичайно зумовлюють різні оцінки.

Можливе співвідношення між теоретичним і емпіричним рівнян-нями регресії схематично зображено  на рис. 2.1.

Задачі лінійного регресійного аналізу полягають у тому щоб  за на-явними статистичними даними (х(, у(), і = 1, 2,…, п, для змінних X і У:

а) отримати найкращі оцінки a0, a1 невідомих параметрів a0 і a1:

б) перевірити статистичні  гіпотези про параметри моделі;

в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зі статистичними даними (адекватність моделі даним спостережень).

Для відображення того факту  що кожне індивідуальне значення Уі відхиляється від відповідного умовного математичного сподіван-

ня, у модель уводять  випадковий доданок и:

                       

Отже, індивідуальні значення Уі подають у вигляді суми двох

компонент - систематичної (a0+a1х{) і випадкової (щ). Причина появи  останньої досить докладно розглядалася раніше. Таким чином, регресійне рівняння набуває вигляду

                                   

Завдання полягає в тому щоб за конкретною вибіркою (*,., Уі), і = 1, 2,..., и, знайти такі значення оцінок невідомих параметрів a0 і a1, щоб побудована лінія регресії була найкращою в певному розумінні серед усіх інших прямих. Іншими словами, побудована пряма має бути “найближчою” до точок спостережень за їх сукупністю.

Мірою якості знайдених  оцінок можуть бути визначені композиції відхилень щ, і = 1, 2,…, п. Наприклад, коефіцієнти a0 і a1 рівняння регресії можуть бути оцінені  за умови мінімізації однієї з  таких сум:

                 

 

Однак перша сума не може бути мірою якості знайдених оцінок через те, що існує безліч прямих (зокрема, Y = у ), для яких ∑Щ = 0.

Метод визначення оцінок коефіцієнтів за умови мінімізації  дру-гої суми називається методом  найменших модулів (МНМ).

Найпоширенішим і теоретично обґрунтованим є метод визначення коефіцієнтів, при якому мінімізується  третя сума. Він дістав на-зву  методу найменших квадратів (МНК).

Останній метод оцінювання параметрів найпростіший з обчислювальної точки зору. Крім того, оцінки коефіцієнтів регресії, знайдені за МНК при визначених передумовах, мають ряд оптимальних властивостей (незміщеність, ефективність, обгрунтованість).

Серед інших методів  визначення оцінок коефіцієнтів регресії ви-окремимо метод моментів (MM) і метод максимальної правдоподібності (ММП).

Характеристика  методу найменших квадратів [15, 135-138 ст.]

Для оцінювання невідомих  параметрів за результатами вимірювань використовують метод найменших  квадратів. За його допомогою спочатку визначають функціональну залежність представлення даних дослідження, а потім для цієї залежності добирають параметри. Для дослідних даних (рис. 1) за емпіричну формулу краще прийняти квадратичну у — ах² + Ьх + с Для дослідних даних (рис. 2) за емпіричну формулу краще прийняти гіперболічну: у - а + ЬІх. Наприклад, крива Філіпса для короткострокового періоду відображає гіперболічну залежність між темпами інфляції та рівнем безробіття.

Рис. 1     Рис. 2

 

За методом найменших  квадратів потрібно мінімізувати суму:

                                   

де Хр у_і — значення дослідних даних; у(х •) — значення функції, обчислене за емпіричною залежністю у точці д: ■; і— І, п.

Якщо залежність визначена  як лінійна, сума набуває вигляду:

                                   

Для квадратичної залежності:

                                

Мінімум функції досягається  у точці, в якій похідна суми за параметрами дорівнює нулю. Для лінійної залежності система рівнянь, утворена з похідних, набуває вигляду

                            

Для визначення параметрів розв’язуємо систему двох рівнянь  з двома невідомими a та b.

                             

Приклад. Дослідні дані про значення X та Y наведені у таблиці.

Аналіз дослідних даних  засвідчив, що за емпіричну залежність можна використати лінійну: y = ax + b. Визначимо за методом найменших квадратів значення а та b.

Проміжні результати запишемо в таблицю.

За обчисленими даними система лінійних рівнянь набуває  вигляду:

 

Розв’язавши її, одержимо a = -2,8; b = 14,46.Емпірична формула має вигляд: y = -2,8x + 14,46.

Нехай за вибіркою (х{, у{), і = 1,2,..., и, потрібно визначити оцін-ки а0 і а1 емпіричного рівняння регресії (2.2), тобто підібрати такі значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів  відхилень була мінімальною (рис. 2.2).

 

У цьому разі Ьї є квадратною функцією двох параметрів а₀ і=1

оскільки х(, у((і = 1, 2,..., и) — відомі дані спостережень:

               

Неважко помітити, що квадратична  функція Q неперервна, опук-ла та обмежена знизу (Q > 0), тобто має мінімум.

Необхідною умовою існування  мінімуму неперервно диференці-йованої  функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних:

                          

Поділивши обидва рівняння системи (2.8) на п, отримаємо

                    

           

У наступних формулах для спрощення знаки сум ( = ) записуватимемо без індексів, допускаючи, що додавання виконується від і=1 до і = п. Також для змінних з індексом і розумітимемо, що

і = 1, 2,..., и (якщо не зазначено  інше).