Дифференциальные уравнения

Ax+A+Bx=1

(A+B)x+A=1

(A+B)x+A=0·x+1

A+B=0     Þ      A=1

A=1                      B=-1

ln|x|-ln|x+1|=ln(y-1)+C      

ln|

|=ln(y-1)C                 

Пример 6: Решить уравнение y’-y=e .

Решение: Данное уравнение является линейным дифференциальным                                                         уравнением

          P(x)=-1 Q(x)=e  

Пусть y=UV, y’=U’V+UV’

Þ U’V+UV’-UV=e

       

U’V+U(V’-V)=e

        

V’-V=0

ln½V½=x

ln½V½=e

 
V=e

Отсюда получаем:

U’V=e

 

 

Пример 7:  Решить уравнение xy’+y=lnx+1

Решение: Данное уравнение является линейным дифференциальным                                                         уравнением первого порядка.

Пусть y=UV, y’=U’V+UV’

U’V+UV+

ln½V½=-ln½x½

V=

 

Используем формулу интегрирования по частям

Пусть U=lnx                 dV=dx

       dU=                V=x

U=xlnx-x+x=xlnx+C

Пример 8: Решить уравнение

Решение: Данное уравнение является линейным дифференциальным                                                         уравнением первого порядка.

P(x)=-

Q(x)=x

Пусть y=UV, y’=U’V+UV’

U’V+UV’-

1/3ln|x|=ln|x|

ln|V|=ln|x|³

V=x³

Отсюда получаем:

Пример 9:  Решить уравнение x²dx+ydy=0

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 10:  Решить уравнение

Решение: Данное уравнение является однородным дифференциальным                                                         уравнением первого порядка

P(x,y)=x³

Q(x,y)=-y(x²+y²) – однородные функции третьей степени ,т.к. (kx)³=k³x³ и                                           -ky((kx)²+(ky)²)=-k³y(x²+y²)

Пусть y=tx, dy=xdt+tdx

x³(xdt+tdx)-tx(x²+t²x²)dx=0

x

dt+x³tdx-tx³dx-t³x³dx=0

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 11: Решить уравнение (1+x²)y’-xy=2x

Решение:

(1+x²)dy=x(y+2)dx           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Эйлера

 

Мы рассмотрели простейшие типы дифференциальных уравнений 1^го порядка, решения которых выражаются с помощью неопределённых интегралов. Однако общего метода для нахождения точного решения произвольного дифференциального уравнения не существует. Поэтому важное значение приобретают приближённые методы решений дифференциальных уравнений. Мы познакомимся с простейшим из них, который называют методом Эйлера.

Определение: Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) определяет на плоскости так называемое поле направлений, т.е. в "_к точке плоскости, в h существует функция f(x,y), дифференциальное уравнение задаёт направление интегральной кривой уравнения, проходящей через эту точку.

Пусть требуется решить задачу Коши, т.е. на отрезке [x₀;x] найти решение дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y

Геометрически это означает, что  для дифференциального уравнения  y’=f(x,y) надо построить интегральную кривую y=y(x), проходящую через т.М₀(x₀;y₀).

Разделим отрезок [х0;х] на n равных частей и положим, что , где h- шаг изменения аргумента или шаг процесса. Допустим, что внутри элементарного  промежутка от х0 до х0+h функция у’ сохраняет постоянное значение f(х0,у0), т.е. y’=f(x0,y0).

Заменим интегральную кривую отрезком касательной в точке (х₀,у₀).

Тогда у₁-у₀»h·f(x₀,y₀), где у₁- значение искомой функции, h соответствует значению х₁=х₀+h.

Þ y₁»y₀+h·f(x₀,y₀)

Повторяя эту операцию, получим  последовательные значения функции:

Таким образом, можно  приблизительно построить интегральную кривую в виде ломаной с вершинами: M_i(x_i,y_i), где x_i+1=x_i+ x_i, y_i+1=y_i+h·f(x_i,y_i).

Этот метод называют методом  ломаных Эйлера или просто методом  Эйлера.

Пример 1:  Методом Эйлера на промежутке найти решение дифференциального уравнения y’=x+y, при начальном условии у(0)=1. Выбрать шаг h=0,1. Результаты занести в таблицу.

Решение: Находим последовательные значения аргумента:

х₀=0; х₁=0,1; х₂=0,2; х₃=0,3; х₄=0,4; х₅=0,5.

Вычислим  соответствующие значения искомой  функции:

Таким образом получаем таблицу:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
у	1	1,1	1,22	1,362	1,528	1,9431

Пример 2: Найти значение функции у, заданную дифференциальным уравнением , при начальном условии у(0)=1, шаг h=0.1. Найти первых 4 значения.

Решение:                        

 

X	0	0.1	0.2	0.3	0.4
Y	1	1.1	1.18	1.25	1.31

 

Пример 3:  Найти 3 значения функции у, определяемой уравнением y’=1+x+y², при начальных условиях у(0)=1, h=0.1, х₀=0, х₁=1, х₂=2.

Решение:

Пример 4: Найти 4 значения функции у, определяемой уравнением y’=x²+y³, у(0)=0, h=0,1

Решение:  х₀=0; х₁=0,1; х₂=0,2; х₃=0,3.

Пример 5: Найти 4 значения функции у, определяемой уравнением y’=y²+ ; у(2)=4; h=0,1      

Решение: х₀=2; x₁=2.1; x₂=2.2; x₃=2.3.

 

Дифференциальные  уравнения 2^го порядка

 

Дифференциальные уравнения 2^го порядка в общем случае записывают в виде

F(x,y,y’,y’’)=0       (1),

где у=у(х) искомая функция, y’=y’(x) и y’’=y’’(x)- ее производные 1^го и 2^го порядка.

Или  y’’=f(x,y,y’) (2), если это возможно.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция у=j(х,С₁,С₂), содержащая две произвольные постоянные С₁ и С₂, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения называется интегральной кривой.

Условия у(х₀)=у₀, y’(x₀)=y₀’ называют (3) начальными условиями.

Для любых начальных условий, принадлежащих  области определения функции f существует единственное решение уравнения вида (2), удовлетворяющее условиям (3).

Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка

 

В общем случае дифференциальные уравнения 2^го порядка не может быть решено в конечном виде.

Рассмотрим 3 типа дифференциальных уравнений 2^го порядка, которые решаются с помощью квадратур, т.е. интегрированием.

ТИП 1: Пусть y”=f(x)           (1)

Интегрируя обе части  равенства, получим 

Интегрируя ещё раз, окончательно имеем

где С₁ и С₂- произвольные постоянные.

Пример 1:  Найти общее решение уравнения y”=cos2x.

Решение:   

ТИП 2: Пусть y”=f(y)     (2)

Положим, что y’=р. Рассматривая р как функцию от у будем иметь

Þ уравнение (2) примет вид

- уравнение с разделяющимися  переменными.

Разделяя переменные, получим рdp=f(y)dy

Интегрируя уравнение, находим

Разделим переменные

Проинтегрируем 

Пример 2: Найти общее решение уравнения y”=y^-3

Решение:

Пусть p=y’Þ Þ

Т.к. имеем

Пусть

Отсюда                                           

ТИП 3: y”=f(y’)       (3)

Пусть y’=p Þ уравнение (3) имеет вид

Разделим переменные    

Интегрируем     

Определив из этого уравнения величину интегрируем вторично и найдем у.

Пример 3: Найти общее решение уравнения 2y’y”=1

Решение:

y”=

Пусть y’=p Þ y”=p’=   разделим переменные

 

      

 Случаи понижения порядка

 

Рассмотрим случаи, когда дифференциальные уравнения второго порядка y”=f(x, y, y¢) приводится к уравнениям первого порядка.

СЛУЧАЙ 1: Рассмотрим уравнение

-правая часть дифференциального  уравнения не содержит х.

Положим, что 

получим дифференциальное уравнение  вида

где роль независимой переменной играет у.

Найдём для р выражение  через у, получим уравнение с  разделяющимися переменными, решив которое получим у.

Пример1:  Решить уравнение

Решение:

Пусть уравнение примет вид

Т.к. то получим

 

 

СЛУЧАЙ 2: Рассмотрим уравнение -правая часть не содержит у.

Положим, что  где р- независимая переменная.

Найдем для р выражение через  х, получим уравнение с разделяющимися переменными, решив которое получим у.

Пример 1:  Решить уравнение xy”=2x-y’

Положим, что 

Полученное  уравнение однородное.

Пусть p=tx , dp=xdt+tdx

так как  получим

 

 

 

 

 

Линейные  однородные дифференциальные уравнения 2^го порядка

с постоянными  коэффициентами.

 

Определение: Линейным однородным дифференциальным уравнением 2^го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y”+py’+gy=0    (1),

где p, q - const.

Пусть y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x)- частные решения уравнения.

Определение: Два частных решения у₁(х) и у₂(х) уравнения (1) образуют фундаментальную систему решений, если для любого х

Определитель W(x) называют определителем Вронского или вронскианом.

ТЕОРЕМА:  Если два частных решения у₁(х) и у₂(х) линейного однородного дифференциального уравнения 2^го порядка с постоянными коэффициентами образуют фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид

y=C₁y₁₊C₂y₂,

где С₁ и С₂ -" const.

Выражение С₁y₁+C₂y₂ называется линейной комбинацией функций у₁(х) и у₂(х).

Решение линейных однородных уравнений.

1. Решить уравнение которое называют характеристическим уравнением исходного уравнения:

а) если оно имеет действительные корни l₁ и l₂ (l₁¹l₂), то общее решение имеет вид

где С₁, С₂ - некоторые числа.