Дифференциальные уравнения

А решение у= -х/2 получается из общего при С₁=0.

Пример 2:   Найти общее решение уравнения:

(х²-2у²)dx+2xydy=0

Решение:   В данном уравнении P(x,y)=x²-2y², Q(x,y)=2xy - однородные функции 2 степени Þ уравнение однородное:

Положим y=tx. Отсюда dy=tdx+xdt.

Подставляем эти выражения y и dy в уравнение:

(x²-2(tx)²)dx+2x(tx)(tdx+xdt)=0

x²dx-2t²x²dx+2x²t²dx+2x³tdt=0

x²dx+2x³tdt=0

x²(dx+2txdt)=0

dx+2txdt=0

1. Разделяем переменные:

2tdt=-dx/x  Û  2tdt+dx/x=0

2) Интегрируем почленно это уравнение:            

ò2tdt+òdx/x=C

t²+ln|x|=ln|C₁|

t²=ln|C₁/x|Ûln|e^t|²=ln|C₁/x|Ûe^t²=C₁/x

Возвращаемся к прежней переменной (t=y/x)

y²/ex²=C₁/x Û x=C₁×e^-y²/x²

Пример 3:   Найти частное решение уравнения:

2xyy’=x²+y²,если у=2 при х=1

Решение:                                                2xydy/dx=x²+y²

2xydy=(x²+y²)dx

2xydy-(x²+y²)dx=0

В данном уравнении Q(x,y)=2xy            однородные функции второго измерения

                                     P(x,y)=-(x²+y²)

 

 Þ уравнение однородное.

Пусть y=tx. Отсюда dy=tdx+xdt.

Подставляем значения у и dy в последнее уравнение:

2tdt=(1+t²)dx

2xtx(tdx+xdt)-(x²+(tx)²)dx=0

2x²t²dx+2tx³dt-x²dx-t²x²dx=0

x²t²dx+2tx³dt-x²dx=0

x²((t²-1)dx+2txdt)=0

2txdt=(1-t²)dx      

Разделим переменные:

2tdt/1-t²=dx/x

Интегрируя получим:

-ln|1-t²|=ln|x|-ln|C|

                                                           1/1-t²=x/C Û (1-t²)x=C- общее решение

                                                                 (1-y²/x²)x=C- общее решение  

Подставим в найденное общее решение  начальные условия:

(1-2²/1²)1=C Û C=-3

Итак, искомое частное решение  будет:

(1-y²/x²)x=-3 или x³-y²+3x²=0

Пример 4: Составить уравнение кривой, проходящей через т.А(1;0), если известно, что угловой коэффициент касательной в каждой его точке равен (2х+у)/2x.

Решение: На основании геометрического смысла производной

                          dy/dx=k, k- угловой коэффициент касательной.

т.е.        dy/dx=2x+y/2x Û 2xdy-(2x+y)dx=0   или   (2x+y)dx-2xdy=0

В полученном уравнении

         P(x,y)=(2x+y)       однородные функции

         Q(x,y)=-2x            первого измерения.

 Следовательно, уравнение однородно.

Пусть y=tx, откуда dy=tdx+xdt.

Тогда уравнение принимает вид:

(2x+tx0dx-2x(tdx+xdt)=0

2xdx=txdx-2xtdx-2x²dt=0

2xdx-xtdx-2x²dt=0

(2x-xt)dx-2x²dt=0

x((2-t)dx-2xdt)=0

(2-t)dx-2xdt=0

Разделим переменные:

dx/x=2dt/2-t

Интегрируя это уравнение, найдём:

ln|x|=-2ln|2-t|+lnC

x=C/(2-t)²

x(2-t)²=C

Возвращаясь к прежней функции у имеем:

x(2-y/x)²=C

x(2x-y)²/x²=C

(2x-y)²=Cx- общее решение.

Подставим координаты т.А в общее  решение:

(2×1-0)²=C×1Û C=4

Искомое уравнение кривой имеет  вид : (2x-y)²=4x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение:  Дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x,y) называется линейным, если его можно представить в виде

y’+P(x)y=Q(x),       (1)

где P(х),Q(х) некоторые функции переменной х.

Если Q(x)=0, то y’+P(x)y=0-линейное однородное уравнение.

Если Q(x)¹0, то уравнение называется линейным неоднородным.

Линейное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y¹UV, где одна из функций U,V подбирается определённым образом, а другая - неизвестная функция.

Итак, пусть y=UV. Откуда y’=U’V+UV’, тогда уравнение (1) преобразуется в уравнение

U’V+UV’+P(x)UV=Q(x)

или

   VdU/dx+U(dV/dx+P(x)V)=Q(x)     (2)

Пользуясь правилом произвольного  выбора одного из функций U и V, выбираем функцию V, как одно из решений уравнения

dV/dx+P(x)V=0

Разделив переменные в этом уравнении  находим

dV/V=-P(x)dx

Интегрируя обе части уравнения, получим:

òdV/V=-òP(x)dx

ln½V½=-òP(x)dx

ln½V½=lne^-òP(x)dx

V=e^-òP(x)dx

При таком выборе функции V уравнение (2) примет вид:

VdU/dx=Q(x)

e^-òP(x)dx×dU/dx=Q(x)

dU/dx=Q(x)/e^-òP(x)dx =Q(x)e^òP(x)dx

Интегрируя, находим

U=ò(Q(x)e^òP(x)dx )dx+C

И, наконец, т.к. y=UV, получаем

y=e^-òP(x)dx ×(S(Q(x)e^òP(x)dx )dx+C)       (3)

Таково общее решение линейного  дифференциального уравнения (1).

Пример 1:  Найти общее решение уравнения (1+х²)y’-xy=2x

Решение:  Приведём данное уравнение к виду (1), разделив обе части равенства на 1+х²¹0.

y’-xy/1+x²=2x/1+x²      (4)

Здесь P(x)=-x/1+x²- функция от х. Q(x)=2x/1+x²-функция от х.

Положим y=UV Þ y’=U’V+UV’

Подставим эти значения y и y’ в уравнение (4)

U’V+UV’-xUV/1+x²=2x/1+x²

Сгруппируем члены, содержащие, например V и вынесем V за скобку. (Тоже самое можно сделать относительно функции U. Получится запись аналогичная данной, в которой поменяются ролями функции U и V)

(U’V-xUV/1+x²)+UV’=2x/1+x²

UV’+V(U’-xU/1+x²)=2x/1+x²       (5)

Выберем функцию U так, чтобы выражение в скобках, обращалось в нуль, т.е. чтобы

U’-xU/1+x²=0         (6)

Тогда уравнение (5) примет вид:

UV’=2x/1+x²           (7)

Итак, исходное уравнение мы привели  к виду (7) заменой y=UV, где U- любое решение уравнения (6).

Решим уравнение (6), как уравнение  с разделяющими переменными.

U’-xU/1+x²=0

dU/dx=xU/1+x²

dU/U=xdx/1+x²

Интегрируя, получим:

ln½U½=½ln½1+x²½+C

Здесь если С=0

ln|U|=½ln|1+x²|- частное решение.

   (8)

Подставим это значение в уравнение (7)

 

 

dV/dx=2x/(1+x²)^3/2

 dV=2xdx/(1+x²)^3/2

 

         (9)

Подставляя (8) и (9) в функцию  y=UV, получим общее решение данного уравнения:

     или     

Пример 2:Найти частное решение уравнения xy’-y=x³, если y=1/2 при x=1

Решение: Запишем данное уравнение в виде

y’-y/x=x²           (P(x)=1/x, Q(x)=x²)

Положим, что y=UV, y’=U’V+UV’.Подставим значения y и y’ в последнее уравнение.

U’V+UV’-UV/x=x²

Сгруппируем члены, содержащие V и вынесем V за скобки:

UV’+V(U’-U/x)=x²       (10)

Найдем функцию и такую, что 

U’-U/x=0

dU/dx=U/x Û dU/U=dx/x

Интегрируя, получим:

òdU/U=òdx/xÛln|U|=ln|x|+C

Если С=0, то ln|U|=ln|x|-частное решение, т.е. U=x.

Подставим значение функции U=x в уравнение (10):

xV’=x²ÛxdV/dx=x²ÛdV=x²dx/xÛdV=xdx

Отсюда    

V=x²/2+C

Итак, общим решением данного уравнения  является функция

Y=x(x²/2+C0=x³/2+xC

Находим частное решение, которое  удовлетворяет начальному условию  у=1/2 при х=1:

½=1³/2+CÛx=0

т.е. искомым частным решением является функция 

y=x³/2

Пример 3: xy’-2y=2x⁴. Найти общее решение.

Решение: Перепишем уравнения в виде: y’-2y/x=2x³

Пусть y=UV . Отсюда y’=U’V+UV’.

Подставим значения y и y’ в последнее уравнение:

U’V+UV’-2UV/x=2x³

Сгруппируем члены содержащие U и вынесем U за скобки:

U’V+U(V’-2V/x)=2x³      (11)

Найд.м функцию V такую, что

V’-2V/x=0

DV/dx=2V/xÛdV/2V=dx/x

Интегрируя, получим:

1/2òdV/V=òdx/x

1/2ln|V|=ln|x|

ln|V|=2ln|x

ln|V|=ln|x²|

V=x²

Подставим значение функции V в уравнение (11), получим:

U’x²=2x³

U’=2x

dU/dx=2xÛdU=2xdx

Интегрируя, имеем:

U=x²+C

Общее решение выглядит так  y=x²(x²+C)=x⁴+x²C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные  уравнения первого порядка

 

Вопросы к  занятию:

1. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.
2. Что называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка.
3. Сформулируйте задачу Коши.
4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.
5. Дайте схему решения этого уравнения.
6. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
7. Дайте схему решения однородного дифференциального уравнения первого порядка.
8. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Пример 1: xyy’=1-x². Определите тип и решите дифференциальное уравнение.

Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

xydy/dx=1-x²

xydy=(1-x²0dx

ydy=1-x²/xdx

òydy=ò(1/x-x)dx

y²/2=ln|x|-x²/2+C

y²=lnx²-x²+2C

y²+x²=lnx²+2C

Пример 2: y’=y/x-1. Определите тип и решите дифференциальное уравнение.

Решение: Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пусть y=tx, dy=xdt+tdx.

Подставим эти выражения в данное уравнение.

dy/dx=y/x-1

xdt+tdx/dx=tx/x-1

xdt/dx+t=t-1

xdt/dx=-1

xdt=-dx

dt=-dx/x

òdt=-òdx/x

t=-ln|x|+C

Возвращаемся к переменной у.

t=y/xÞy/x=-ln|x|+C

y=-xlnx+Cx

Пример 3: (x²+y²)dx-2xydy=0. Определите тип и решите дифференциальное уравнение.

Решение: Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пусть y=tx, dy-tdx+xdt=0

Подставим эти выражения в данное уравнение.

(x²+t²x²)dx-2xtx(tdx+xdt)=0

x²(1+t²)dx-2x²t²(dx+xdt)=0

(1+t²)dx-2t²dx-2txdt=0

(1+t²-2t²)dx-2txdt=0

(1-t²)dx=2txdt

dx/x=2tdt/1-t²

òdx/x=2òtdt/1-t²

òtdt/1t²=ò =-ò = ln|z|+C=- ln|1-t2| +C

ln|x|=2(1/2)ln|1-t²|+C

ln|x|=ln(1-t²)+C

ln|x|=ln|1-t²|+lnC₁

  

Пример 4:  dx=xydy. Определите тип и решите дифференциальное уравнение.

Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

=               

                         

ln|x|=

ln|x|=lne

+lnC

x=e

Пример 5: Решите уравнение y-xy’=1+x y.

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными.        

y-xy’-x

y’=1.

y

=y’(x +x)

y

=

(y-1)dx=(x

+x)dy

                                                                                                   

(Вычислим интеграл  используя метод неопределенных коэффициентов)

Þ