Дифференциальные уравнения

Дифференциальные  уравнения.

 

Основные понятия.

 

     Во многих  вопросах геометрии, физики, механики, естествознания, техники и т.п.  играют  большую роль дифференциальные  уравнения. Решение различных  задач сводится к отысканию  неизвестной функции из уравнения,

содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные  этой функции. Такое уравнение и  называется дифференциальным.

Определение: Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее независимую переменную x, искомую функцию

y(x) и ее производные y’(x), y’’, … , y⁽ⁿ⁾

          Общий вид дифференциального  уравнения следующий:

          F(x ,y ,y’  , y’’, … ,y⁽ⁿ⁾ )=0       (1)

Пример:    2х+у’-3у=0

                  хуdx=(2х+1)dy        -это дифференциальные уравнения

                         у’’=2х

 

Определение: Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Пример:   ху’+у-2=0 – уравнение первого порядка.

                  у’’’+7у’-3у=0 – уравнение третьего  порядка.

Уравнение (1) является уравнением n^го  порядка, записанным в общем виде.

Определение: Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у=j(х), которая обращает данное уравнение в тождество.

Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение – значит найти все его решения в данной области.

График решения называют интегральной кривой.

Заметим, что основная задача интегрального  исчисления (отыскание функции у, производная n равна данной непрерывной функции f(х)) сводится к простейшему дифференциальному уравнению.

у’=f(х).

Общее решение этого уравнения  есть

y=òf(x)dx+ C,

где С- произвольная постоянная и под  интегралом понимается одна из первообразных  функции f(x).

Выбирая надлежащим образом const C, можно получить любое решение этого дифференциального уравнения.

При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример:      y’’=0-уравнение второго порядка.

                      y’’=(y’)’=0Þ y’=C₁. Проинтегрируем это равенство.

          y=òС₁dx+C₂=C₁x+C₂ Þ Решение содержит 2 постоянные, т.е. число постоянных равно порядку уравнения. Такое решение называют общим.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения n^го порядка называется функция

y=j(x, C₁, C₂,…, C_n),

которая зависит от n постоянных С₁, C₂, …, C_n, и удовлетворяет данному уравнению при любых значениях этих постоянных.

Если общее решение задано в  неявном виде

Ф(x, y, C₁, C₂, …, C_n)=0,

то его называют общим интегралом.

Определение:  Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при фиксированных значениях произволольных постоянных.

Пример: Пусть С₁=1   С₂=2, то y=X₁+1 и т.д.

Чтобы из бесконечного числа решений  дифференциального уравнения выделить одно частное решение, требуется  ввести начальные условия, т.е.

1. задать фиксированное значение аргумента x=x₀
2. задать соответствующее значение функции y=j(x₀)
3. задать соответствующие значения производных этой функции y₀’=y’(x₀), y₀’’=y’’(x₀)…

Задача нахождения частного решения  y=j(x), которая удовлетворяет начальным условиям, называется задачей Коши.

Геометрически общее решение дифференциального  уравнения представляет собой семейство  интегральных кривых, т.е. совокупность линий, которая соответствует различным  значениям const C, а частное решение определяет одну единственную интегральную кривую.

 

Дифференциальные  уравнения 1^го порядка.

 

В общем виде дифференциальное уравнение 1^го порядка записывают так:

F(x, y, y’)=0    (1)

т.е. дифференциальное уравнение 1^го порядка содержит лишь первую производную неизвестной функции у(х).

В простейших случаях это уравнение  может быть разрешено относительно производной у’:

y’=f(x, C)       (2)

Общим решением дифференциального  уравнения 1^го порядка называется функция y=j(x, C), которая содержит только одну const и удовлетворяет данному уравнению при любом фиксированном значении const C.

В случае дифференциального  уравнения 1^го порядка задача Коши ставится так: 

найти частное решение  y=j(x) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее условию y₀=j(x₀) при x=x_0.

Геометрически задача Коши формулируется так:

найти интегральную кривую дифференциального уравнения (1), проходящую через т.(x₀, y₀).

Иногда дифференциальное уравнение (1) 1^го порядка записывают в форме

dy/dx=f(x, y)

         или в форме

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

          где  P(x, y), Q(x, y)-известные функции.

Не существует общего метода интегрирования (решения) дифференциального уравнения 1^го порядка. Обычно рассматривают отдельные типы дифференциальных уравнений, имеющие свои особые способы решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения 1^го порядка с разделяющимися переменными.

 

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка y’= f(x ,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

y’ = f(x)×g(y)             (1)

или    

dy/dx = f(x)×g(y)

Пусть g(y)¹0, тогда уравнение (1) можно переписать так:

dy/g(y) = f(x)dx      (2)

-уравнение называется уравнением  с раздельными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (2), получим общее решение уравнения (1)

òdy/g(y) =òf(x)dx

Схема решения.

1) разделить переменные.

2)интегрируя уравнение с разделёнными переменными, найти общее решение данного уравнения.

3) найти частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям (если они заданы).

Пример 1:  Найти частное решение уравнения 2yy’=1-3x², если у=3 при х=1.

Решение:

1)разделим переменные:

2y×dy/dx=1-3x²

2ydy=(1-3x²)dx

2) интегрируем полученное уравнение:

ò2ydy=ò(1-3x²)dx

y² = x-x³ +с

3)Найдём частное решение: подставим  начальные условия х=1, у=3 в общее  решение и найдём с:

3²=1-1³+с

9=с

т.е. частное  решение выглядит так:

у²=х-х³+9 или х³+у²-х-9=0

Пример 2: xyy’+1=y

Решение:

1) разделим переменные          xydy/dx+1=y

xydy/dx=y-1

ydy/y-1=dx/x, y¹1, x¹0.

2) интегрируем полученное уравнение:

òydy/y-1=òdx/x

ò(y-1)+1/y-1×dy = òdx/x

ò dy +òdy/y-1=ò dx/x

y+ln½y-1½=ln½x½+c – общее решение.

Пусть y=lne ^y, C=ln|C1| Þ lne ^y +ln½y-1½=ln½x½+ln½C1½Þlne ^y(y-1)=lnxC1Þ e ^y(y-1)=C1x, C1¹0

При делении  мы предполагали что у¹1, х¹0.

Но у=1 является решением этого уравнения. В этом можно убедиться проверкой. Сняв в решении ограничение С1¹0мы получим, что е ^y(y-1)=C1x- общее решение уравнения (решение у=1-частное решение при С1=0)

Пример 3:  Найти общее решение дифференциального уравнения: (х²×у²-х²у)dy-xy²dx=0, x¹0

Решение:

1) Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом:

x²y(y-1)dy=xy²dx

y(y-1)dy/y²=xdx/x²

(y-1)dy/y=dx/x, y¹0

2) Проинтегрируем обе части последнего равенства:

ò(y-1)dy/y=òdx/x

òdy-òdy/y=òdx/x

y-ln½y½=ln½x½+C

Пусть y=lne ^y  , C=-lnC1, C1¹0 Þ lne ^y -ln½y½=ln½x½-ln½C1½

Потенцируя, получим:

e ^y/y=x/C1Û C1e^y =xy, C1¹0

В процессе решения мы предполагали, что у¹0. Но у=0 является решением данного уравнения. Сняв ограничение С1¹0 получим, что

C1e ^y =ху-общее решение данного уравнения.

(Решение у=0- частное решение при С1=0).

Пример 4:   Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру 100º, охлаждается в воздушной среде до температуры 60º в течении 20 минут. Найти время, за которое тело охладится до температуры 30º, если известно, что температура воздуха 20º, а скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.

Решение: обозначим время через t, температуру тела через U. Тогда скорость охлаждения тела будет равна производной dU/dt.

Разность между температурой тела и температурой воздуха равна (U-20).

По условию скорость охлаждения тела dU/dt пропорциональна разности (U-20), т.е. получаем дифференциальное уравнение:

dU/dt=k(U-20),

где к- коэффициент пропорциональности.

Это дифференциальное уравнение  первого порядка с разделяющими переменными.

1. Разделим переменные:

dU/U-20=kdt

2) Проинтегрируем:

òdU/U-20=òkdt

ln(U-20)=kt+C

Пусть kt=lne ^kt  , C=lnC1

Получаем                                           ln(U-20)=lne ^kt  +lnC1

U-20=C1e ^kt

                                                                    U=C1e ^kt  +20-общее решение уравнения.

Найдём частное решение, удовлетворяющее  условию

U=100º  t=0

U=60º  t=20

Имеем  100=С1е ^k×0  +20  Û   100=С1+20 Û     С1=80       Û    С1=80  Û     С1=80

               60=С1е ^k×20   +20         40=С1×е ^20k          40=80e ^20k        e ^20k=½       e^k=

т.е. частное  решение можно записать так: U=80(½)^t/20 +20.

В задаче требуется определить время, за которое тело охлаждается  до 30º.

Пусть U=30º Þ 30=80×(½)^t/20 +20

                            10=80·(½)^t/20

                           1/8= (½)^t/20

                         (½)³= (½)^t/20

                          t/20=3

                              t=60(мин)

Ответ: тело охлаждается до температуры 30º за 1 час.

Однородные  дифференциальные уравнения первого  порядка.

 

Понятие однородности дифференциального  уравнения первого порядка связано  с однородными функциями.

Определение: Функция g(x,y) называется однородной функцией степени n, если при любом к¹0 имеет место тождество g(kx,ky)=kn g(x,y)

Пример: g(x,y)=2x³-5xy²- однородная функция третьего измерения (степени 3), т.к. g(kx,ky)=2(kx)³-5(kx)(ky)²=2k³x³-5kx×k²y²=k³(2x³-5xy²)=k³g(x,y)

Определение:   Дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x,y)называется однородным, если его можно представить в виде

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,       (1)

где P(x,y) и Q(x,y)- однородные функции одинакового измерения.

Разделить переменные в этом уравнении  не представляется возможным.

Пример: x cosy/x dy + (x-y cosy/x)dx = 0

P(x,y)=x cosy/x

Q(x,y)=x-y cosy/x

Однородные дифференциальные уравнения  приводятся к дифференциальному  уравнению с разделяющимися переменными, подстановкой y=tx, где t=y/x или t=x/y - новая неизвестная функция.

Уравнение (1) преобразуется в уравнение  вида:

y’=f(y/x)

Схема решения.

1.Определить, является  ли уравнение однородным.

2. Выполнить замену переменной: y=tx  и dy=xdx+tdx

3. Подставить выражения из пункта 2 в уравнение.

4. Разделить переменные.

5. Интегрируя уравнение, найти  общее решение.

6. Возвратиться к первоначальной переменной.

Пример1:   Решить дифференциальное уравнение (x+y)dx+xdy=0

Решение:

       Здесь P(x,y)=x+y        однородные функции первой степениÞ уравнение однородное                               

                 Q(x,y)=x

Пусть y=tx.    Отсюда      dy=xdt+tdx                     

Подставим эти выражения в уравнение

(x+tx)dx+x(xdt+tdx)=0

(x+tx)dx+xtdx+x²dt=0

(x+2tx)dx+x²dt=0

x(1+2t)dx+x²dt=0

                                                                 (1+2t)dx+xdt=0       

разделяя переменные получим:

dt/1+2t=-dx/x

Проинтегрируем это уравнение:

òdt/1+2t=-òdx/x

ln½1+2t½/2= - ln½x½+C

ln½1+2t½= - 2ln½x½+lnC₁

ln½1+2t½= -ln½x½² +lnC₁

1+2t=C₁/x²

Возвращаемся к первоначальным переменным:

1+2у/х=С₁/х²

2у/х=С₁/х²-х

2у=С₁/х-х

у=С₁/2х-х/2

В процессе решения мы делили на функции  х и 1+2t.

Приравнивая их к нулю и получим  возможные решения.

       х=0                 x=0                     

      1+2t=0   Þ      t=-½ Þ y/x=-½   Þ y=-x/2

 

Обе функции являются решениями  данного уравнения (проверка).