Что изучает математика и почему она эффективна в естествознании и гуманитарных науках?

Имитационные модели представляют собой класс моделей, реализованных  в виде алгоритмов и программ для  ЭВМ, отражающих относительно сложные  зависимости, не поддающиеся аналитическому анализу. Этот способ моделирования  широко применяется для исследования проблем развития городов, регионов, экологических и других сложных систем .

Так, например, большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим  понятием сложная система. Наиболее распространено понимание системы  как совокупности элементов, находящихся  во взаимодействии и образующих некоторую  целостность, единство. Важным качеством  любой системы является эмерджентность — наличие таких свойств, которые  не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при  изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том, что почти не существует экономических объектов, которые  можно было бы рассматривать как  отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством  входящих в нее элементов, связями  между этими элементами, а также  взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной  системы. Она объединяет огромное число  элементов, отличается многообразием  внутренних связей и связей с другими  системами (природная среда, экономика  других стран и т. д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Сложность экономики иногда рассматривалась  как обоснование невозможности  ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно  объект любой природы и любой  сложности. И как раз сложные  объекты представляют наибольший интерес  для моделирования; именно здесь  моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими  способами исследования. Потенциальная  возможность математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы  математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Но арсенал применяемых в  гуманитарных науках математических средств  весьма обширен и многообразен —  различные методы математической статистики, теория игр, теория информации, аппарат  теории устойчивости, теория Марковских цепей, линейное программирование, факторный анализ, корреляционный анализ, теория графов, матричная алгебра и многое другое

Таким образом, математика прочно вошла  в процесс гуманитарных исследований, и любая гуманитарная наука может  подобрать набор конкретных математических методов для проведения исследований в своей области. 

3.3. Проблемы и перспективы.

Уже длительное время главным тормозом практического применения математического  моделирования в гуманитарных исследованиях  является наполнение разработанных  моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота  первичной информации, реальные возможности  ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию выдвигают новые  требования к системе информации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет  существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о  прошлом развитии и современном  состоянии объектов и о будущем  развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться  посредством моделирования.

Методы наблюдений и использования  результатов этих наблюдений разрабатываются  статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы наблюдений, связанные с моделированием процессов

Как известно многие процессы являются массовыми; они характеризуются  закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование  в гуманитарных исследованиях должно опираться на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается динамичностью  исследуемых процессов, изменчивостью  их параметров и структурных отношений. Вследствие этого процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток  новых данных. Поскольку наблюдения за процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много  времени, то при построении математических моделей требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений  исследуемых процессов и явлений  опирается на измерения. Точность измерений  в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов  количественного анализа посредством  моделирования. Поэтому необходимым  условием эффектного использования  математического моделирования  является совершенствование измерителей. Применение математического моделирования  заострило проблему измерений и  количественных сопоставлений различных  аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты  получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает  взаимодействие «первичных» и «вторичных»  измерителей. Любая модель опирается  на определенную систему измерителей (продукции, ресурсов, элементов и  т. д.). В то же время одним из важных результатов моделирования является получение новых (вторичных) измерителей  — экономически обоснованных цен  на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных  природных ресурсов, измерителей  общественной полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает  разрабатывать особую методику корректировки  первичных измерителей для хозяйственных  моделей.

С точки зрения «интересов» моделирования  в гуманитарных исследованиях в  настоящее время наиболее актуальными  проблемами совершенствования измерителей  являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических  разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей  социально-экономического развития, измерение

Математические методы позволяют  упорядочить систему информации, выявлять недостатки в имеющейся  информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и  применение математических моделей  указывают пути совершенствования  информации, ориентированной на решение  определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся  технические и программные средства информатики.

Интенсификация и повышение  точности расчетов. Формализация экономических  задач и применение ЭВМ многократно  ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные  обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве «ручной» технологии.

Углубление количественного анализа  проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются  возможности конкретного количественного  анализа; изучение многих факторов, оказывающих  влияние на процессы, количественная оценка последствий изменения условий  развития экономических объектов и  т. п.

Решение принципиально новых задач. Посредством математического моделирования  удается решать такие задачи, которые  иными средствами решить практически  невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля над функционированием сложных экономических объектов.

4. Математика в естествознании. 

4.1 Математика - источник представлений и концепций в естествознании.

Назначение математики состоит  в том, она вырабатывает для остальной  науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных  наук.

Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые  от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. Но поскольку  и отношения, выводимые математикой, особые (будучи отношениями отношений), то ей удается проникать в самые  глубокие характеристики мира и разговаривать  на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем. Поэтому, кстати сказать, математики скорее говорят не о законах (раскрывающих общие, существенные, повторяющиеся  и т.д. связи), а именно о структурах.

Эти глубинные проникновения в  природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может  количественно описать явление, но и главный источник представлений  и принципов, на основе которых зарождаются  новые теории". Близкие мысли  высказывает известный математик, академик Б. Гнеденко, также подчеркивая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы.

Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально  насыщенному содержанию), она тем  самым вырабатывает модели возможных  еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей  области исследования. Это стимулирует  научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности  математику характеризуют как склад  готовых костюмов, пошитых на все  живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные  природные ситуации. То есть это  своеобразный портной для разнообразных  вещественных образований, которые  могут быть вписаны в эти готовые  одежды. Характеризуя рассматриваемую  особенность отношений между  математикой и физикой, американский физик-теоретик венгерского происхождения  Е. Вигнер в режиме шутки произнес: "Физики - безответственные люди: они берут готовые математические уравнения и используют их, не зная, верны они или нет".

В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком  на исследование мира в его возможных  вариантах". Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Иначе сказать, физик  не может строить мир, противоречивый физически (и уж тем более - логически), математику же разрешены построения, противоречивые физически, лишь бы они  не страдали логическими противоречиями. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в  его потенциальных версиях. Это  и придает стимул воображению. Как  замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку. Стоит заметить лишь, что раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, если и поскольку он мыслит математически, то есть пытаясь дать, по выражению Г. Вейля, "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".

Здесь не должно сложиться впечатления  о возможности бескрайней фантазийной  деятельности ученого. Истина состоит  в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в  проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это способна определить и узаконить лишь математика, владеющая  искусством расчета на основе количественного  описания явлений. Другие науки знают  лишь, что нечто разрешено, но они  не умеют знать той черты, до которой  это разрешено, не умеют устанавливать  пределов возможного - той количественной меры, определяющей вариантность изменений. Скажем, биолог не располагает сведениями пределов возможного для жизни и  познает их в диапазоне лишь наблюдаемого.

Методологическое значение математики для других наук проявляется еще  в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить  аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области  реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где  конкретная наука останавливается (кончается ее компетенция), математика в силу ее количественного подхода  к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и  далекие, регионы природы.

Таковы некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако, сколь ни эффективна математическая наука, и на нее брошены некоторые  тени, а лучше сказать: эти тени - есть продолжение ее достоинств (при  неадекватном использовании последних).