Оптимизация производственной программы АПП и управление запасами ресурсов

       По  силосу                                         2,1Х1 <= 1450;

       По  комбикорму                                X1 + 0,54Х2 <=  950;

       По  зерну                                           0,6X2 <= 480;

       По  выпасу                                        X1 <= 680;

       По  трудовым ресурсам                   10,5X1 + 2,5Х2 <= 5120.

       Естественные  или тривиальные ограничения:

       Х1 >= 0;      Х2>=0.

       Прибыль получаемая от реализации одной коровы, составляет 40 у.е., а от индюков – 20 у.е. за десяток. В результате прибыль, получаемая от всей продукции, определяется выражением:

       F=40X1+20X2→max.

       Тогда математическая модель будет иметь  вид:

                                                   2,1Х1 <= 1450;

                                                   X1 + 0,54Х2 <= 950;

                                                   0,6X2 <= 480;

                                                        X1 <= 680;

                                                   10,5X1 + 2,5Х2 <= 5120.

                                                         Х1 >=0;      Х2>=0;

       F=40X1+20X2→max.

Приведем  задачу к канонической форме путем  введения дополнительных переменных:

       2,1X1 + X3 = 1450,

       1X1 + 0,54X2 + X4 = 950,

       0,6X2 + X5  = 480,

       1X1 + X6 = 680,

       10,5X1 +2,5X2 +X7 = 5120,

       X1 = 0,    X2 = 0;

       F - 40X1- 20X2 = 0.

       Эта задача линейного программирования с двумя переменными. Она может  быть решена графическим и аналитическим  методом.

       При решении задачи графическим методом  переходим от неравенств к равенствам:

       2,1X1 = 1450;

       X1 + 0,54X2 = 950;

       0,6X2 = 480;

       X1 = 680;

       10,5X1 + 2,5X2 = 5120.

       Это уравнение прямых линий, которые  могут быть легко построены по двум точкам.

       Первое  ограничение – вертикальная линия  при:

       X1 = 1450/2,1 = 690,4.

       Второе ограничение строим по двум точкам:

• X1 = 0;        X2 = 950/0,54 = 1759.2.
• X2 = 0;        X1 = 680/1 = 680.

       Третье  ограничение – горизонтальная линия  при:

       X2 = 480/0,6 = 800.

       Четвертое ограничение - вертикальная прямая при:

       X1=680.

       Пятое ограничение - линия, которая строится по двум точкам:

• X1 = 0;            X2 = 5120/2,5 = 2048;
• X2 = 0;          X1 = 5120/10,5 = 487,6.

       Тривиальные ограничения располагаются по осям.

       Каждое  ограничение - неравенство отсекает полуплоскость. Система ограничений  неравенств, если они совместны, образуют многоугольник допустимых решений. Оптимальное решение достигается в одной из вершин этого многоугольника. Для определения этой вершины необходимо построить линии уровня и перемещать ее в направлении градиента до крайней точки области допустимых решений.

       Целевая функция может быть также построена  по двум точкам.

       Придадим  значение F = 0:

       F = 40X1 + 20X2 = 0.

       Это также уравнение прямой линии.

       X1 = 0;               X2 = 0.

       X1 = 1;              X2 = -40/20 = -2.

       Градиент  целевой функции перпендикулярен линии уровня, и его координаты определяются частными производными по каждой переменной:

       gradF={dF/X1; dF/X2}={40; 20}.

Ее графическое  решение приведено на рисунке 2.1, а аналитическое решение в таблице 2.2

 

Рисунок 2.1 – Графическое решение задачи (первая итерация) 

Таблица 2.2 - Решение задачи аналитическим методом 
 

 
 

Графический метод более наглядный, а аналитический  более точный и позволяет количественно  определить остатки ресурсов.

    Приведем  задачу к канонической форме путем  введения дополнительных переменных:

    Силос                           2,1X1+X3=1450;

    Комбикорм                 X1+0,54X2+X4=950;

    Зерно                           0,6X2+X5=480;

    Выпас                          X1+X6=680;

    Трудовые  ресурсы      10,5X1+2,5X2+X7=5120;

     Прибыль                     F-40X1-20X2=0.

    Дополнительные  переменные определяются разностью  между правой и левой частями  ограничений - неравенств, т.е. разностью  между запасами и использованием соответствующих ресурсов. Иначе говоря, они характеризуют остатки ресурсов.

    Графическое решение данной задачи приведено  на рисунке 2.1

    Как видно из рисунка, в строке f_x вычисляются координаты соответствующей точки для построения графиков.

      Аналитическое решение представлено в таблице 2.

Это означает, что  при имеющихся запасах ресурсов максимальная прибыль, в размере 27885.71 у.е., может быть получена при производстве 297 КРС и 800  голов птиц.  Для уменьшения затрат, связанных с хранением запасов, их излишки следует продать или сдать в аренду. Это позволит направить освободившиеся денежные средства на закупку дефицитных ресурсов с целью увеличения выпуска продукции. Однако полностью излишки продавать нецелесообразно, так как в этом случае эти ресурсы в свою очередь окажутся в дефиците, что не позволит увеличить объем выпуска продукции. Закупленные же ресурсы окажутся в избытке. Именно поэтому принимаем решение  продать 312 тонн силоса, при этом освобождается 6240 у.е., и 155 тонн выпаса, при этом освобождается 10075 у.е. У предприятия освободилось 6240+10075=16315 у.е. Что позволит увеличить 2350 человеко-дней. На остальную сумму можно приобрести 130 тонн зерна, необходимого для производства голов птицы. Таким образом, получается новая задача линейного программирования. 

    2,1X1<= 1138,       

    X1+0,54X2<=950,

    0,6X2<=610,

    X1<=450,

    10,5X1+2,5X2<= 7470,

    X1>=0,     X2>=0;

    F=40X1+20X2→max.

Ее графическое  решение приведено на рисунке 2.2., а аналитическое решение– в таблице 2.3. 

 

Рисунок 2.2 -  Графическое решение задачи (вторая итерация) 

Таблица 2.3 - Решение задачи аналитическим  методом 
 
 

 
 

         При имеющихся запасах ресурсов максимальная прибыль, в размере 36735,64.е., может быть получена при производстве 523 КРС и 790 голов птиц.

        Принимаем решение  продать 35 тонн силоса, при этом освобождается 700 у.е., продать 80 тонн зерна, освобождается 4400у.е.   У предприятия освободилось 700+4400=5100 у.е. На полученную сумму 5100 у.е. можно приобрести 44 тонны корма, необходимого для производства голов КРС и птицы, и 179 трудовых ресурсов. Получим новую задачу линейного программирования, решаемую графическим и аналитическим методами:

    2,1X1<= 1103

    X1+0,54X2<=994,

    0,6X2<=530,

    X1<=525,

    10,5X1+2,5X2<=7649,

    X1>=0,     X2>=0;

    F=40X1+20X2→max. 

Ее графическое  решение приведено на рисунке 2.3, а аналитическое решение – в таблице 2.4.