Стационарные характеристики процессов размножения и гибели

.

 

Для нахождения математического ожидания, используем формулу (4.1). Получим, что  среднее число заявок в системе  в стационарном режиме равно:

 

.

 

Сделаем оценку сверху:

 

,

 

таким образом:

 

.

 

Получаем следующую оценку для  среднего числа заявок в системе  в стационарном режиме:

 

.

 

 

4.5 Система с ограничением на время пребывания заявки

 

 

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

 

 

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид (рисунок 4.5):

 

 

Рисунок 4.5 – Граф интенсивностей переходов для пятого случая процесса размножения и гибели

 

Запишем уравнения равновесия для  стационарных вероятностей состояний:

 

.

 

Для нахождения математического ожидания, используем формулу (4.1).  Получим, что  среднее число заявок в системе  в стационарном режиме равно:

 

.

 

Сделаем оценку сверху:

 

,

 

таким образом:

 

.

 

Получаем следующую оценку для  среднего числа заявок в системе  в стационарном режиме:

 

.

 

 

4.6 Система с ограничением на время пребывания заявки, дополнительный поток и бесконечное число приборов

 

 

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по слудующему правилу:

 

 

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид (рисунок 4.6):

 

 

Рисунок 4.6 – Граф интенсивностей переходов для шестого случая процесса размножения и гибели

 

Запишем уравнения равновесия для  стационарных вероятностей состояний:

 

.

Для нахождения математического ожидания, используем формулу (4.1). Получим, что  среднее число заявок в системе  в стационарном режиме равно:

 

 

Сделаем оценку сверху:

 

,

 

таким образом:

 

.

 

Получаем следующую оценку для  среднего числа заявок в системе  в стационарном режиме:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

Итак, мы рассмотрели сущность и  математическую модель процесса размножения и гибели и на её основе – модели четырёх базовых типов систем массового обслуживания: с потерями и ожиданием. Определили, что марковским процессом размножения и гибели с непрерывным временем называется такой случайный процесс, который может принимать целые неотрицательные значения; изменения которого могут происходить в любой момент времени t, при этом в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

Также в данной работе была приведена теоретическая справка и примеры определения математического ожидания для различных процессов размножения и гибели, решены практические задачи.  

Таким образом, с помощью процессов размножения и гибели составляют математические модели управления различными процессами, а также модели многих явлений в биологии, физике и других областях. Также процессы гибели и размножения широкое применение находят в инженерной практике при исследовании различных технических систем, имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде. Марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

В данной работе были рассмотрены процессы размножения и гибели и приведены формулы для вычисления предельных вероятностей, которые применены для описания систем массового обслуживания с потерями и ожиданием на базе простейшего потока заявок. Получены формулы для некоторых характеристик.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

 

1 Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения: учебное пособие для студентов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров – 2-е изд. – М.: «Высшая школа», 2000. – 384 с.

2 Малинковский, Ю.В. Лекции по теории массового обслуживания: учебное пособие для вузов  /  Ю.В. Малинковский. –  Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, – 184 с. (электронный вариант)

3 Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории  марковских процессов и их  приложения / А.Т. Баруча_Рид – М.: Наука, 1969. – 512 с.

4 Севастьянов, Б.А. О некоторых  типах марковских процессов  /        Б.А. Севастьянов – т. 4, вып. 4 – УМН, 1949. – с. 194.

5 Колмогоров, А.Н. Введение в теорию вероятностей: учеб. для вузов / И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров – М.: Наука, 1982. – 160 с.