Стационарные характеристики процессов размножения и гибели

 

                                           

.                                     (2.5)

 

Равенство (2.5) можно сформулировать в виде правила: для простейшей системы размножения  и гибели, находящейся в стационарном режиме, потоки вероятности между любыми двумя соседними состояниями равны.  

Полученная  система уравнений эквивалентна выведенной ранее. Для составления  последней системы уравнений  нужно провести вертикальную линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через образовавшуюся границу [1, 2].

Решение системы (2.5) можно найти методом математической индукции.

При i=1 имеем

при i=2

при i=3

 .

 

Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (2.5) имеет вид:

 

 

или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству  равно единице:

 

                                        

                                (2.6)

 

Таким образом, все вероятности P_i для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P₀. Равенство (2.4) дает дополнительное условие, позволяющее определить P₀. Тогда, суммируя по всем i, для P₀ получим (2.7) [2]:

 

                                           

.                                       (2.7)

 

Обратимся к вопросу о существовании  стационарных вероятностей P_i. Для того чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы  P₀>0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Если растут слишком быстро по сравнению с , то может оказаться, что с положительной вероятностью в конечный момент времени t процесс уйдёт из фазового пространства {0,1,…} в «бесконечно удаленную точку ∞» (особей в популяции станет слишком много). Другими словами процесс станет не регулярным, и тогда равенство (2.4) будет нарушено. Определим следующие две суммы:

 

 

Для регулярности процесса размножения и гибели необходимо и достаточно, чтобы S₂ = .

Для существования его стационарного  распределения необходимо и достаточно, чтобы S₁ < .

Для того чтобы все состояния E_i рассматриваемого процесса размножения и гибели были эргодическими необходимо и достаточно сходимости ряда S₁ < , при этом ряд должен расходиться S₂ = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P_i, i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности { } ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i₀ (и некоторое С<1) такое, что для всех i i₀ выполняется неравенство:

 

 

Этому неравенству можно дать простое толкование:  начиная с некоторого состояния E_i и для всех последующих состояний интенсивность потока размножения, должна быть меньше интенсивности потока гибели [1].

Иногда в практике встречаются  процессы «чистого» размножения. Процессом  «чистого» размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивность всех потоков  гибели равны нулю. Граф состояний такого процесса без ограничения на число состояний показан на рисунке (2.2):

 

 

Рисунок 2.2 – Граф интенсивностей переходов для процесса «чистого» размножения

Система уравнения Колмогорова  для таких процессов может  быть получена из системы уравнений (2.1), в которой нужно положить все интенсивности потоков процессов гибели равными нулю: .

Аналогично вводится понятие «чистой» гибели. Процессом «чистой» гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю. Граф состояний такого процесса без ограничения на число состояний показан на рисунке (2.3):

 

 

Рисунок 2.3 – Граф интенсивностей переходов для процесса «чистой» гибели

 

Система уравнения Колмогорова для таких процессов может быть получена из системы уравнений (2.1), в которой нужно положить все интенсивности потоков процессов гибели равными нулю: [3].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССОВ РАЗМНОЕНИЯИ ГИБЕЛИ В СЛУЧАЕ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

 

2.1 Определение математического  ожидания для системы массового  обслуживания M/M/1

 

 

Рассматриваемая система массового  обслуживания является процессом размножения  и гибели со следующим графом переходов (рисунок 3.1):

 

 

Рисунок 3.1 – Граф интенсивностей переходов для системы M/M/1

 

Из условия эргодичности для  процесса гибели и размножения следует, что если , то существует единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, называется коэффициентом загрузки сети. Уравнение равновесия имеет вид , , откуда находим, что:

 

.

 

Вероятность можно найти, используя условие нормировки (2.4), откуда следует, что и поэтому

 

, ,

 

т. е.  число заявок в такой  системе массового обслуживания в стационарном режиме имеет геометрическое распределение.

Легко найти производящую функцию такого распределения:

 

, .

 

Отсюда получаем выражение для  среднего числа заявок в системе  в стационарном режиме:

 

.

 

Очевидно, что очередь в системе  массового обслуживания неограниченно растёт [3, 4].

 

 

2.2 Определение математического  ожидания для системы массового  обслуживания M/M/n/0

 

 

Это система с потерями без ожидания. Если заявка поступает в систему  в момент, когда обслуживанием  заняты все n линий, то она теряется. Такая система была введена датским инженером Эрлангом в начале прошлого столетия и применена в качестве модели обработки вызовов, поступающих на телефонную станцию. Граф переходов для такой системы массового обслуживания имеет вид (рисунок 3.2):

 

 

Рисунок 3.2 – Граф интенсивностей переходов для системы M/M/n/0

 

Поскольку число состояний системы  конечно, а цепь Маркова неприводима, то единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, всегда существует при любых параметрах . Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

 

.

 

Отсюда получаем:

 

.

 

Вероятность , как всегда, можно найти из условия нормировки (2.4), откуда:

 

.

 

Таким образом, получаем:

 

.

 

Среднее число заявок в системе  определяется соотношением:

 

.

 

При больших n можно использовать асимптотику [4].

 

 

3.3 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n

 

 

Это многолинейная система с  ожиданием. Если обслуживанием заявок заняты все n линий, то интенсивность обслуживания равна . Граф перехода для этой системы имеет вид (рисунок 3.3):

 

 

Рисунок 3.3 – Граф интенсивностей переходов для системы M/M/n

 

Стационарное распределение существует, если

 

.

 

Уравнения равновесия имеют следующий  вид:

откуда, аналогично предыдущему случаю, получаем

 

.

 

Условие нормировки в этом случае примет вид:

 

,

 

откуда следует, что 

 

.

 

Среднее число заявок в стационарном режиме равно

 

.

 

 

3.4 Определение математического  ожидания для системы массового  обслуживания M/M/n/N

 

 

Это многолинейная система с  ограниченным числом мест для ожидания. Она отличается от предыдущей системы  массового обслуживания тем, что  в ней имеется только N мест для ожидания. Поэтому граф  переходов в этом случае имеет вид (рисунок 3.4):

 

 

Рисунок 3.4 – Граф интенсивностей переходов для системы M/M/n/N

Поскольку число состояний системы  конечно, то единственное стационарное распределение всегда существует при  любых параметрах . Уравнения равновесия принимают вид:

 

 

Откуда следует, что стационарные вероятности  , имеют такой же вид, что и для предыдущей системы массового обслуживания, с той лишь разницей, что они определены для . Таким образом

 

 

Вероятность определяется из условия нормировки (2.4):

 

,

 

откуда получаем:

 

.

 

Среднее число заявок в системе определяется соотношением [4]:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО  ОЖИДАНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ  РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

 

 

3.1 Процесс размножения  и гибели с линейно растущей  интенсивностью рождения и гибели

 

 

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

 

 

Граф интенсивностей переходов  для данного процесса размножения  и гибели имеет вид (рисунок 4.1):

 

 

Рисунок 4.1 – Граф интенсивностей переходов для первого случая процесса размножения и гибели

 

Запишем уравнения равновесия для  стационарных вероятностей состояний:

 

 

Для определения математического  ожидания используем следующую формулу (4.1):

 

,        (4.1)

 

где определяется по формуле (2.6) [5].

Таким образом, среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

 

.

 

 

4.2 Процесс размножения  и гибели с линейно растущей  интенсивностью рождения и квадратично  растущей интенсивностью гибели

 

 

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

 

 

Граф интенсивностей переходов  для данного процесса размножения  и гибели имеет вид (рисунок 4.2):

 

 

Рисунок 4.2 – Граф интенсивностей переходов для второго случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для  стационарных вероятностей состояний:

 

 

Для нахождения математического ожидания, используем формулу (4.1). Получим, что среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

 

.

 

 

4.3 Процесс размножения  и гибели с линейно растущей  интенсивностью рождения и квадратично  растущей интенсивностью гибели

 

 

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

 

 

Граф интенсивностей переходов  для данного процесса размножения  и гибели имеет вид (рисунок 4.3):

 

Рисунок 4.3 – Граф интенсивностей переходов для третьего случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для  стационарных вероятностей состояний:

 

.

 

Для нахождения математического ожидания, используем формулу (4.1). Получим, что  среднее число заявок в системе  в стационарном режиме равно:

 

.

 

 

4.4 Дополнительный поток  и бесконечное число приборов

 

 

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

 

 

Граф интенсивностей переходов  для данного процесса размножения  и гибели имеет вид (рисунок 4.4):

 

 

Рисунок 4.4 – Граф интенсивностей переходов для четвёртого случая процесса размножения и гибели

 

Запишем уравнения равновесия для  стационарных вероятностей состояний: