Стационарные характеристики процессов размножения и гибели

Министерство образования  Республики Беларусь

 

Учреждение образования 

«Гомельский государственный  университет 

имени Франциска Скорины»

 

Математический факультет

 

Кафедра экономической кибернетики  и теории вероятностей

 

 

 

 

 

 

СТАЦИОНАРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССОВ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

 

 

 

 

Курсовой проект

 

 

 

 

Исполнитель:

студентка группы ЭК-31  _______________ Буховец Виктория

                                                                                           Александровна

 

 

Научный руководитель:

заведующий кафедрой,

доктор физико-математических

наук, профессор                          _______________Малинковский Юрий

 Владимирович

 

 

 

 

 

 

Гомель 2011

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение………………………………………………………………………..	3
1 Процессы размножения и гибели…………………………………………..	4
2 Примеры процессов размножения и гибели в случае простейших систем массового обслуживания…………………………………..................	13
2.1 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/1………………………………………………………….	13
2.2 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n/0………………………………………………………..	14
2.3 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n………………………………………………………….	15
2.4 Определение математического ожидания для системы массового обслуживания M/M/n/N……………………………………………………….	16
3 Определение математического ожидания для некоторых процессов размножения и гибели………………………………………………………...	18
3.1 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и гибели…………………………………………………………….	18
3.2 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и квадратично растущей интенсивностью гибели………………	19
3.3 Процесс размножения и гибели с линейно растущей интенсивностью рождения и квадратично растущей интенсивностью гибели………………	20
3.4 Дополнительный поток и бесконечное число приборов………………..	21
3.5 Система с ограничением на время пребывания заявки…………………	22
3.6 Система с ограничением на время пребывания заявки, дополнитель-ный поток и бесконечное число приборов…………………………………...	24
Заключение……………………………………………………………………..	26
Список использованных источников…………………………………………	27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

В данной работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей – так называемая «схема гибели и размножения»

Процесс размножения  и гибели – это случайный процесс  со счётным (конечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий  в дискретном или непрерывном  времени. Он состоит в том, что  некоторая система в случайные  моменты времени переходит из одного состояния в другое, причём переходы между состояниями происходят скачком, когда наступают некоторые события. Как правило, эти события бывают двух типов: одно из них условно называют рождением некоторого объекта, а второе – гибелью этого объекта.

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой  значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения  находят широкое применение в  объяснении различных процессов, происходящих в физике, биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности при моделировании гибели и размножения особей различных популяций.

В данной работе будет поставлена задача, целью которой является определение математического ожидания для некоторых процессов размножения и гибели. Будут приведены примеры вычислений среднего числа заявок в системе в стационарном режиме и сделаны оценки для различных случаев процессов размножения и гибели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

 

 

Процессы размножения и гибели являются частным случаем марковских случайных процессов, которые, тем не менее, находят весьма широкое применение при исследовании дискретных систем со стохастическим характером функционирования. Процесс размножения и гибели представляет собой марковский случайный процесс, в котором переходы из состояния E_i допустимы только в соседние состояния E_i-1, E_i и E_i+1. Процесс размножения и гибели является адекватной моделью для описания изменений, происходящих в объеме биологических популяций. Следуя этой модели, говорят, что процесс находится в состоянии E_i, если объем популяции равен i членам. При этом переход из состояния E_i в состояние E_i+1 соответствует рождению, а переход из E_i в E_i-1 - гибели, предполагается, что объем популяции может изменяться не более чем на единицу; это означает, что для процессов размножения и гибели не допускаются многократные одновременные рождения и/или гибели [1].

Дискретные процессы размножения  и гибели менее интересны, чем непрерывные, поэтому в дальнейшем они подробно не рассматриваются и основное внимание уделяется непрерывным процессам. Однако следует отметить, что для дискретных процессов проходят почти параллельные выкладки. Переход процесса размножения и гибели из состояния E_i обратно в состояние E_i представляет непосредственный интерес только для дискретных цепей Маркова; в непрерывном случае интенсивность, с которой процесс возвращается в текущее состояние, равна бесконечности, и эта бесконечность была исключена и определяется следующим образом:

 

q_ii(t)=

.

 

В случае процесса размножения  и гибели с дискретным временем вероятности переходов между состояниями

 

 

 

 

 

Здесь d_i – вероятность того, что на следующем шаге (в терминах биологической популяции) произойдет одна гибель, уменьшающая объем популяции до при условии, что на данном шаге объем популяции равен i. Аналогично, b_i - вероятность рождения на следующем шаге, приводящего к увеличению объема популяции до ;   представляет собой вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет и на следующем шаге объем популяции не изменится. Допускаются только эти три возможности. Ясно, что , так как гибель не может наступить, если некому погибать [2].

Однако в противовес интуиции допускается, что , что соответствует возможности рождения, когда в популяции нет ни одного члена. Хотя это можно расценивать как спонтанное рождение или божественное творение, но в теории дискретных систем такая модель представляет собой вполне осмысленное допущение. А именно, модель такова: популяция представляет собой поток требований, находящихся в системе, гибель означает уход требования из системы, а рождение соответствует поступлению в систему нового требования. Ясно, что в такой модели вполне возможно поступление нового требования (рождение) в свободную систему. Матрица вероятностей переходов для общего процесса размножения и гибели имеет следующий вид:

 

Т=       

 

Если цепь Маркова является конечной, то последняя строка матрицы записывается в виде [0 0… 0 ]; это соответствует тому, что не  допускаются никакие размножения после того, как популяция достигает максимального объема n.

Матрица T содержит нулевые члены только на главной диагонали и двух ближайших к ней диагоналях. Из-за такого частного вида матрицы T естественно ожидать, что анализ процесса размножения и гибели не должен вызывать трудностей [1, 3].

Далее будем рассматривать только непрерывные  процессы размножения  и гибели, в которых переходы из состояния E_i возможны только в соседние состояния E_i-1 (гибель) и E_i+1 (рождение). Обозначим через l_i интенсивность размножения; она описывает скорость, с которой происходит размножение в популяции объема i. Аналогично, через m_i обозначим интенсивность гибели, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i. Заметим, что введенные интенсивности размножения и гибели не зависят от времени, а зависят только от состояния E_i, следовательно, получаем непрерывную однородную цепь Маркова типа размножения и гибели. Эти специальные обозначения введены потому, что они непосредственно приводят к обозначениям, принятым в теории дискретных систем. В зависимости от ранее введенных обозначений имеем:

 

l_i= q_i,i+1 и m_i= q_i,i-1.

 

Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из того, что

 

 

получим q_ii=-(m_i+ l_i). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид:

 

Q = 

 

 

Заметим, что за исключением главной диагонали и соседних с ней снизу и сверху диагоналей все элементы матрицы равны нулю. Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на соответствующем рисунке (2.1) [2]:

 

 

Рисунок 2.1 – Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели

 

Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E₀, E₁, E₂, …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если  выполняются следующие условия:

1. (точно 1 рождение в промежутке времени (t,t+Δt), объем популяции равен i) ;
2. (точно 1 гибель в промежутке времени (t,t+Δt)| объем популяции равен i);
3. = (точно 0 рождений в промежутке времени (t,t+Δt)| объем популяции равен i);
4. = (точно 0 гибелей в промежутке времени (t,t+Δt)| объем популяции равен i).

Таким образом, ∆t с точностью до есть вероятность рождения новой особи в популяции из n особей, а – вероятность гибели особи в этой популяции за время [2, 3].

Вероятности перехода удовлетворяют  обратным уравнения Колмогорова. Таким  образом, вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии E_i (объем популяции равен i) определяется  в виде (2.1):

 

                                        (2.1)

 

Для решения полученной системы  дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности P_i(t), i=0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей P_i(0), i=0,1,2,…, при t=0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.

Рассмотрим теперь простейший процесс  чистого размножения, который определяется как процесс, для которого m_i = 0 при всех i. Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что l_i=l для всех i=0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (2.1) получим (2.2):

 

                                   

                             (2.2)

 

Для простоты предположим также, что  процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:

 

 

Отсюда для P₀(t) получаем решение:

 

P₀(t)=e^-lt.

 

Подставляя это решение в  уравнение (2.2) при i = 1, приходим к уравнению:

.

Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид:

 

P₁(t)= lte^-lt.

 

Далее по индукции в качестве решения уравнения (2.2) находим:

 

.

 

Это знакомое нам распределение  Пуассона. Таким образом, процесс  чистого размножения с постоянной интенсивностью l приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский поток [2].

Наибольший интерес в практическом плане представляют вероятности  состояний процесса размножения и гибели в установившемся режиме. Предполагая, что процесс обладает эргодическим свойством, то есть существуют пределы

 

 

перейдем к определению предельных вероятностей P_i.

Уравнения  для  определения  вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно  из (2.1), учитывая, что dP_i(t)/dt = 0 при :

 

                        

                             (2.3)

 

Полученная система уравнений  решается с учетом нормировочного условия (2.4):

 

                                                 

.                                             (2.4)

 

Систему уравнений (2.3) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей  переходов на рисунке 2.1, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние E_i в установившемся режиме, то:

интенсивность потока вероятностей в  и

интенсивность потока вероятностей из .

В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем:

 

.

 

Но это как раз и есть первое равенство в системе (2.3). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность  контуров, первый из которых охватывает состояние E₀, второй - состояние E₀ и E₁, и так далее, включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i-го контура (окружающего состояния E₀, E₁,..., E_i-1) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде: