Пристрій арифметичного ділення за методом квадратичної апроксимації

 

        Транцедентні  рівняння- такі, що містять тригонометричні,  показникові, степеневі чи інші  спеціальні функції.

Для їх розв’язання необхідно  наступні дії

Постановка задачі.

Задано функцію 

¦(х) = 0        (1.27)

 де  ¦(х) деяка функція аргументу х, що визначена на інтервалі [a;b].

 Коренем рівняння (1) називається  всяке число xÎ [a;b], що перетворює функцію ¦(х)  в нуль, тобто ¦(x) = 0. Задача пошуку кореня рівняння поділяється на два етапи:

1. Віднімання кореня, т.б. виділення відрізку, на якому розміщено тільки один корінь. При цьому один з кінців відрізку або його середину вибирають за початкове наближення.

В багатьох випадках відділення  кореня можна провести графічно. Приймаючи  до уваги, що дійсні корені рівняння (1.27) - це точки перетину графіка функції ¦(х) з віссю абсцис, достатньо побудувати графік ¦(х) і відмітити на осі 0х відрізки, які містять один корінь. Побудову графіків часто вдається сильно спростити, замінивши рівняння (1.27) рівносильним йому рівнянням j(х) = y(х).

В цьому випадку будуються  графіки функцій j(х)  і y(х),а потім на осі 0х відмічають відрізки, які локалізують абсциси точок перетину цих графіків.

Умова   існування  кореня

1. Якщо неперервна на відрізку [a;b] функція ¦(х) приймає на його кінцях значення різних знаків, тобто ¦(а)*¦(в) < 0, то рівняння (1.27) має на цьому відрізку по меншій мірі один корінь.
2. Якщо функція ¦(х) строго монотонна, то на [a;b] корінь єдиний.

Приклад 1.        

  - виділити корені

            У ,  y (х) = х – 2

      

Визначаємо:

а = 0.3   ¦(а) = -0,35014

          в = 0.8   ¦(в) = 1.0255

            0     a      b               X

у = х-2      Отже, корінь існує на проміжку [a;b].Достатня  умова - постійність знаку похідної на [a;b].

2. Уточненя кореня - це звуження границь виділеного відрізку ізоляції кореня за допомогою одного з методів доти, поки довжина відрізку не стане меншою, ніж насамперед задана точність e.

1.5.1. Метод половинного ділення

Нехай рівняння (1) на відрізку [a;b] має єдиний корінь і функція  на ньому неперервна. Поділимо відрізок [a;b] пополам точкою с=(а+в)/2.

             Якщо ¦(с) ¹ 0, то можливі два випадки:

  - або  ¦(х) змінює знак  на [a;с]                                                    

   - або  ¦(х) змінює знак на [а;b].

                 Вибираючи в кожному випадку  той з відрізків, на якому  функція змінює знак,  і продовжуючи  процес поділу далі, можна дійти  до скільки завгодно малого    проміжку, що містить корінь.  

1.5.2. Метод хорд

Метод хорд - один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

При виконанні попереднього методу більш раціональним було б  ділити  [a;b] не навпіл, а пропорційно  значенню функції в точках a та b. В цьому випадку точка поділу відрізка буде знаходитися на перетині хорди АВ з віссю 0х.

 

       у                       В       ¦ (b)            Ідея методу хорд в тому, що на досить

                                                               малому відрізку дуга кривої  у=¦(х)

                                                               замінюється хордою і абсциса  точки 

                                     *                        перетину хорди з віссю 0х  є наближеним 

                а    х1     х2   x            х           значенням кореня. Нехай для   

    b                     визначеності  ¦¢(х)>0, ¦¢¢(х)>0, ¦(a)<0,

¦(x2 )                     ¦(b)>0                                                              

¦(х1)                   Візьмемо за початкове наближення шуканого

              A    ¦(a)                          кореня  х*  значення х0=а. Через точки А і В

проведемо хорду і за перше  наближення кореня х* візьмемо абсцису  х1 точки перетину з віссю 0х. Тепер наближене значення х1 кореня можна уточнити якщо застосувати метод хорд до відрізка [x1;b]. Абсциса х2 точки перетину хорди АВ буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність х1 , х2 , ... , хк , ...  наближених значень кореня х* даного рівняння. Для виведення формули методу    хорд  запишемо рівняння прямої , що проходить через точки

Ак(хк, ¦(хк)) і В(b,¦(b)):

                                                       (у- ¦(хк))

                          =(х-хк)/(b-xк)(1.28)

                                                       ( ¦(b)-¦(хк)

поклавши у=0 знайдемо абсцису  точки перетину хорди АкВ з  вісю 0х:

¦(хк)

                х = хк                       (b - хк ),  к=0,1,2,3,..            1.29)

¦(b) - ¦(хк)

Значення можна взяти  за наступне наближення,тобто:

¦(хк)

                       хк +1 = хк  -                       (b - хк ),  к=0,1,2,3,...

¦(b) - ¦(хк)

У цьому разі  і тоді, коли  ¦(a)>0,¦(b)<0, ¦¢(х)<0 , ¦¢¢(х)<0 кінець в [a;b] є нерухомим. У загальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня в якому знак функції ¦(х) збігається із знаком другої похідної, а за початкове наближення х0 можна взяти точку відрізка [a;b], в якій  ¦(х) ¦’’(х)<0. Отже, метод хорд можна записати:

¦(хк)

                          хк+1 =  хк –                    *(хк -с ),  к=0,1,2,3,...     (1.30)

¦(хк)-¦(с)

     c = b, якщо ¦(b), ¦¢¢(b)>0

     с = а, якщо ¦(а), ¦¢¢(а)>0

З формули (3) видно, що метод  хорд є метод ітерацій  хк+1 = j(хк), в якому

¦(х)

j(х) =  х –                * (х -с )         (1.31)    

¦(х)-¦(с)

1.5.3. Метод дотичних (Ньютона)

Ідея методу полягає в  послідовній заміні ділянки кривої ¦(х) дотичною в точці с, що належить відрізку [a;b] і перетинає вісь 0х в точці хк. Точка с вибирається з умови: ¦(с)*¦’’(с)>0, яка гарантує збіжність процесу. При цьому необхідно, щоб

1. ¦(х)=0 малоєдиний корінь на [a;b];
2. ¦(х) була неперервна на [a;b].

¦’(х) і ¦’’(х) не змінювали на ньому знак.

 

   y                                                          Отримаємо розрахункову формулу 

                                            C                 Розглянемо трикутник DCB. З

                                                               малюнку видно, що наступне 

                                                               наближення х1  отримуємо як:

   х1= х0 –DB

   З трикутника DCB:

0              x                  j          b             але BC ®¦(х0);  tgj = ¦¢(х0);

       a                x2   D x1       x0      х        таким чином

                                                              а загальна формула 

1.6. Чисельне інтегрування функцій

. Якщо f(Х) має первісну, то значення інтегралу знаходиться  за формулою Ньютона – Лейбніца. Але визначення первісної в  більшості випадках інженерних  задач є неможливою. Тому для  визначення інтегралу використовують  чисельні методи. Всі ці методи  базуються на геометричній інтерпритації  визначеного інтегралу, значення  якого чисельно дорівнюють площі  фігури, що обмежена зверху –  графіком функції f(X), знизу віссю  0Х, зліва та права межами  інтегрування  а та b. Для знаходження   площі відрізок АB розбивають  на рівні частини, довжиною h, де h=(b-a)/N – крок інтегральної функції.

 

 

1.6.1. Метод прямокутників

 Замінимо елементарні  (криволінійні) трапеції в діапазоні  [a;b] рямокутниками, і обчислимо  загальну площу фігури, як суму  площ окремих                                          прямокутників. Для випадку а)  знайдену  площу назвемо площею  лівих , а для в) – правих  прямокутників.

Для а) маємо:

a )       Для b) маємо :

 

Істинне значення інтегралу  обчислимо, як середнє арифметичне  значення площ лівих і правих прямокутників:

                          (1.32)

b ) Отримана формула називається формулою лівих і правих прямокутників, або формулою трапеції.     

1.6.2. Метод парабол

 Більш точним методом  визначення  інтегралу є метод  парабол (Сімпсона).

По цьому методу відрізок АВ ділять на  2n рівних частин, тобто  кожен з проміжків ділять пополам. Розглянемо n-послідовність точок  проміжку АВ,                                                                                           x1, x2, …, xn,   де x1<x2<xn,  x2=x1+h, x3=x1+2h, xn =x1+(n-1)h. Вважаємо ,що в цих точках задані значення деякої функції f(x) = y і необхідно знайти інтеграл .

Формула Сімпсона для наближеного  інтегрування.

Через кожні послідовні три  точки проводимо параболу і обчислюється інтеграл від функції, вираженої у вигляді цієї параболи. Цей інтеграл і вважається наближеним значенням шуканого інтегралу.

Розглянемо три перші  точки (х1;у1) , (х2;у2),  (х3;у3).

Проведемо через них параболу: і обчислимо інтеграл:

 

Проводячи параболу через  наступні три точки (х3;у3) ,(х4;н4), (х5;у5) і обчислюючи інтеграл, отримаємо:

Для отримання наближеного  значення інтегралу по всій області  від х1 до хn необхідно знайти суму отриманих значень.

 

 

Якщо інтеграл необхідно  обчислити із заданою точністю, то необхідно знайти n (число проміжків) для її забезпечення.

1.6.3.Формула трапецій

Розглянемо інший спосіб побудови квадратурних формул, що пов'язаний з апроксимацією підінтегральної  функції інтерполяційним многочленом. Розглянемо найпростіший випадок. Метод  трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функції у=f(х) подається  у вигляді ламаної, що з'єднує  точки (x_i,y_i). В цьому випадку площа всієї фігури (криволінійної трапеції) складається з площ елементарних прямокутних трапецій, зображено на рис.1.10.

Рис. 1.10. Визначення трапеції.

Площа кожної такої трапеції дорівнює добутку напівсуми основи на висоту:

      h=1,2,3…,n    (1.33)

Просумувавши   ці   рівності,   отримаємо   формулу   трапецій   для чисельного інтегрування:

(1.34)

Для рівномірної сітки (h_i=h) ця формула має такий вигляд:

(1.35)

Залишковий член має вигляд:

; є(a,b)  (1.36)

Використовуючи вираз (1.34) для залишкового члена, оцінку похибки квадратурної формули (1.35) можна надати у вигляді:

,(1.37)

де 

Оцінка обчислювальної похибки при розрахунках за формулою (1.37) для випадку, коли значення функції обчислені з однаковою точністю є, має вигляд:

         (1.38)

 

2.  ОБГРУНТУВАННЯ ВИБРАНОГО НАПРЯМКУ ПРОЕКТУВАННЯ

2.1. Структурна схема пристрою

Пристрій арифметичного  ділення методом квадратичної апроксимації, що проектується на ПЛІС, буде складатися з:

• двох постійних запам’ятовуючих пристроїв К1 та К2;
• двох суматорів СМ1 та СМ2;
• двох перемножувачів ПМ1 та ПМ2;
• одинадцяти регістрів РГ Адр., РГ 1МХ, РГ 1МУ, РГ 1ПХ, РГ 1ПУ,  РГ 2МХ, РГ 2МУ, РГ 2ПХ, РГ 2ПУ,  РГ 3МХ, РГ 3МУ, РГ 3ПХ, РГ 3ПУ, РГ МZ та РГ ПZ;
• одного інвертора;
• однієї схеми нормалізації.

Постійні запам’ятовуючі пристрої використовуються для зберігання значень коефіцієнтів k1 та k2.

Регістри використовуються для конвеєризації роботи пристрою, оскільки необхідно буде обробляти велику кількість даних, а конвеєр дасть змогу зменшити загальний час обробки даних.

На входи пристрою будуть поступати нормалізовані значення х та у, в форматі з плаваючою  комою, тому окремо будуть оброблятись  значення мантис та порядків.

Для того, щоб поділити число х на число у, методом квадратичної апроксимації необхідно визначити значення виразу z=у×(k2+(k1+x)²).

В проектованому пристрої, значення мантиси х та значення к1 поступають на входи суматора СМ1, після  чого на обидва входи перемножувача поступають значення отримані від суматора, для обрахунку виразу (k1+x)². Далі на суматор СМ2 передаються значення з ПЗП К2 та суматора СМ1 для обрахунку виразу k2+(k1+x)². Після чого на входи перемножувача ПМ2 поступають значення з суматора СМ2 та мантиси у, на виході котрого буде значення мантиси z.

Схема електрична структурна наведена на листі 2 ГЧ.

2.2. Алгоритм роботи програми