Пристрій арифметичного ділення за методом квадратичної апроксимації

На другому етапі роботи з  числовими даними можливі три  варіанти обробки: інтерполяція, апроксимація та екстраполяція, які зображенні на рис. 1.5.

Інтерполяція - чисельна процедура, при  виконанні якой графік функції, що визначається, проводиться безпосередньо через  сукупність заданих вузлів. При цьому в кожному вузлі за номером п значення аргументу і полінома точно дорівнюють заданим х_п і f_п. Інтерполяція застосовується для знаходження значення функції в точках, відмінних від вузлів. Побудова такої функції називається інтерполюванням. Найпоширенішою є алгебраїчна інтерполяція, коли за інтерполюючу функцію використовується багаточлен відповідного степеня.

Апроксимація - наближення табличних  даних функційною залежністю відповідно вибраному критерію близькості. Апроксимація застосовується для обробки збурених табличних даних або даних одного походження великого об'єму. За апроксимуючі функцї намагаються підібрати такі залежності, які адекватно відповідають природі наявних даних.

Екстраполяція - продовження значень  вибраної інтерполяційної чи апрокси- маційної функції зовні таблично заданого інтервалу. Екстраполяція  застосовується в тих випадках, коли ставиться задача отримання прогнозу наперед чи відтворення більш  ранніх залежностей.

Рисунок 1.5– Методи обробки чисельних даних: a - інтерполяція; б - апроксимація; в - екстраполяція

х

В результаті вказаних процедур обробки  за числовими даними відтворюються  функціональні залежності, що дозволяють запропонувати певні практичні висновки. У процесі роботи таблиця даних доповнюється і тим самим розширюється. Залежності, отримані на основі попередніх даних, називаються апріорними. Функціональні залежності, отримані внаслідок врахування додаткових відомостей, називаються апостеріорними.

Рисунок 1.6– Інтерполяційні поліноми у = Р₁(х), Р₂(х), Р₃(х) та Р₄(х); вузли - (1,1); (2,2); (3,2); (4,2); (5,1)

 

1.4.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа

Нехай задано таблицю, яка утворена (N + 1) заповненими вузлами (х_n,f _n), n= 0,1,2, ...,N (зручно нумерувати, починаючи з n = 0); при цьому х₀ = а і x_N = b, де а, b - границі інтервалу зміни величини х.

Алгебраїчне інтерполювання функціїf(х), що задана своїми значеннямиf(х₀), f(х₁), ...,f(x_N) в точках х₀, х_1; ..., x_N на відрізку [а, b], полягає в наближеній заміні цієї функції на даному відрізку багаточленом P_N(x) степеня N, зображених на рис. 1.6.

Цей багаточлен (поліном) у вузлах інтерполяції приймає ті ж значення, що й функція f(х)

P_N(x_n) = f(х_n), n = 0,l,2,...,N.

Існує єдиний інтерполяційний багаточлен N-гo степеню, що задовольняє даним  умовам.

Розв'язування задачі алгебраїчної інтерполяції забезпечує інтерполяційннй багаточлен Лагранжа:

 
 
                        (1.7)           

В точках відрізку [а, b], які відмінні від інтерполяційних вузлів, різниця R(х) = f(х) – Р_n(х) у загальному випадку відмінна від нуля. Цю різницю відображає похибка методу, яку називають залишковим членом інтерполяції.

Рисунок 1.7– Інтерполяційний поліном Р₄(х). 
Оцінка похибки інтерполяції в поточній точці х визначається виразом

 

Приклад

Нехай задані координати 5 вузлів. Необхідно  побудуватиінтерполяційний поліном.

n	xn	f(xn)
0	2,0	1,0
1	4,0	3,0
2	5,0	2,0
3	6,0	3,0
4	8,0	1,0

 

Розв'язання

Згідно з формулою (1.7) інтерполяційний поліном буде мати степінь N=4.Запишемо цей поліном в явному вигляді:

                      (1.8)

 

 

 

 

Результат побудови інтерполяційного полінома наведено на рис. 1.7.

1.4.3. Інтерполяційний поліном Ньютона

На практиці таблиця може доповнюватися  новими даними (на початку або в  кінці). В таких випадках при опрацюванні  даних зручніше користуватися інтерполяційними алгоритмами, відмінними від полінома Лагранжа.

Обчислення значень функції  для аргументів, що містяться на початку таблиці, зручно проводити, користуючись інтерполяційною формулою Ньютона. Для випадку рівновіддалених  вузлів х_n = x₀+nh, де п = 0, 1, 2,..., N5 з кроком h інтерполяційний поліном Ньютона має вигляд

                 (1.9)

 

Коефіціенти а₀, а₁,…,а_N визначаються з умов

 

що дає:

 

Тут △^kf₀ - кінцева різниця к-го порядку, що визначається рекурентно:

 

 

 

 

 

Тоді

         (1.10)

 

 

Ця формула називається першою інтерполяційною формулою Ньютона.

При обчислюванні значень функції f у точці з абсцисою х за першою 
інтерполяційною формулою Ньютона доцільно брати за х₀ найближчий до цієїабсциси вузол інтерполювання.

Для інтерполювання в кінці таблиці  інтерполяційний багаточлен зручно подати у вигляді:

                            (1.11)

 

 

 

Ця формула називається другою інтерполяційною формулою Ньютона.

 

1.4.4. Обернене інтерполювання

При прямій інтерполяції обчислюються значення функції для того значення 
аргументу, який розташований між двома заданими аргументними вузлами.

Обернене інтерполювання - алгоритм, за допомогою якого обчислюються значення функції у, яке міститься  між двома заданими функціональними  вузлами.

Якщо в інтерполяційну формулу  Лагранжа підставити значення абсциси  х = 0, то отримаємо значення

                       (1.12)

Розмірковуючи аналогічно, можна отримати таке значення шуканого аргументу х_*, для якого інтерполяційний поліном перетворюється в нуль, тобто маємо у(х_*) = у_* = 0. З цією метою у виразі (1.9) поміняємо місцями х та у:

                  (1.13)

Розглянемо задачу знаходження  нуля заданої функції. Якщо ордината у_* 
розміщена між будь-якими (деякими) функціональними вузлами, то алгоритм (1.10) можна використовувати для знахождення нуля функції.

1.4.5. Сплайн-інтерполювання

Сплайни широко використовуються у  прикладній обчислювальній математиці.

Сплайн - це група кубічних багаточленів, у місцях спряження яких перша  й друга похідні неперервні. Такі функції називаються кубічними  сплайнами. Для їх побудови необхідно  задати коефіцієнти, які однозначно визначають багаточлен у проміжку заданих  точок.

Нехай потрібно задати набір з m кубічних функцій q₁(х), q₂(x),…,qт(х). Унайбільш загальному вигляді ці багаточлени мають вигляд

q_i(х) =k_1i + k_2іх + k_3iх² + k_4iх³, і = 1,2 ,m. (1.14)

де {k_1i,k_2i, k_3i, k_4i} набір з 4m сталих, які однозначно визначають cплайн- 
інтерполювання сукупністю данихm + 1 вузлів {(х_і,y_і)}.

Перші 2m умови вимагають, аби сплайни стикалися в заданих точках:

q_i= (x_i)=y, і = 1,2,... ,т;

(1.15,a)

q_i+1(x_i)=y_i,i = 0,1,2,...,m-1.

Другі (2m– 2) умови вимагають, аби в місцях стикання сплайнів були рівнимиперші та другі похідні:

(1.15,b)

Необхідною умовою існування розв'язку системи алгебраїчних рівнянь є 
відповідність кількості рівнянь кількості невідомих. Тому необхідні ще дві умови. 
Як правило, використовуються наступні дві умови :

 

(1.15,с)

 

Здобутий таким чином сплайн називається природним кубічним сплайном. Діставши коефіцієнти сплайну, використовують кусково-гладку поліноміальну функціюдля подання даних при інтерполюванні.

У багатьох випадках метод сплайнів є достатньо зручним, оскільки дозволяєотримати аналітичну кусково-поліноміальну  функцію.

Існують сплайни більш високих  порядків. Застосування цього методу можливе ів інших областях обчислювальної математики, наприклад, у чисельному інтегруванніта знаходженні розв'язків  диференціальних рівнянь.

 

1.4.6. Інтерполювання в таблицях

При знахожденні значень в таблицях за допомогою інтерполювання, як правило,користуються лінійним та квадратичним інтерполюванням.

У випадку лінійного інтерполювання значення функції в точці, що відрізняєтьсявід вузлів інтерполяції, визначається за двома відомими значеннями табульованоїфункції у_і = f(х_і) та у_і+і =f(х_і+і) у вузлах інтерполяціїx_і та х_і+1, між якимирозміщено потрібне значення аргументу х_і< х <x_і+1.

Інтерполяційна формула Лагранжа у випадку лінійного інтерполювання (N = 1)прийме вигляд

                             (1.16)

а перша інтерполяційна формула Ньютона

(1.17)

де △у_і = у_і+1– у_і - перша кінцева різница в точці х_і, а h = х_і+1– х_і– крокінтерполювання.

Отже, для отримання приблизного значення функції у за формулою Ньютонадостатньо до табличного значення у_і додати поправку, що дорівнює △у_і (х – x_i)/h.

При квадратичному інтерполюванні (N = 2) необхідно знати три значеннятабулюємої функції: у_і-х = f(x_i-1), у_i = f(x_i) та у_і+1 = f(x_i+1). Тоді формулаЛагранжа прийме вигляд

                               (1.18)

 

а перша інтерполяційна формула Ньютона

           (1.19)

 

1.4.7. Лінійна та квадратична апроксимація

У практичних розрахунках вивчення експериментального матеріалу починають з прикладів простих поліноміальних  aпроксимацій, якими є лінійна та квадратична залежності.

А. Знаходження параметрів лінійної залежності у(х) = а + bх

Нехай в результаті досліду в нашому розпорядженні є масив експериментальних даних, утворений з N вузлів {(х_n,у_n)}, п = 1,2, ...,N. Лінійна регресійна залежність полягає у визначенні значень параметрів а та Ь емпіричної лінійної залежності у(х) = а + bх, що описує зв'язок між значеннями {(х_n,у_n)} функціі у(х).

Ця залежність буде побудованою, якщо на підставі експериментального  матеріалу отримані значення параметрів а та b.

Вважаємо, щоб критерій нев'язки - сума всіх квадратичних відхилень 

(1.20)

досягає мінімуму (S => min). На підставі цього знайдемо ті значення параметрів a й b, які забезпечують виконання цієї умови.

У точці екстремума критерію S як функції  а та b виконується

(1.21)

звідси (тут):

(1.22)

Вирази (1.22) називаються нормальними рівняннями, або нормальною системою.

Рисунок 1.8– Приклад лінійної регресії

Розв'язуючи здобуту нормальну  систему (1.23), знаходяться вирази для параметрів а та b:

                   (1.23)

 

Знайдені значення параметрів а  та Ь дають найліпшу лінійну залежність у сенсікритерію найменших квадратів.

Приклад побудови лінійної регресії показаний на рис. 1.8.

Б. Знаходження параметрів квадратичної залежності у = а + bх + сх²

Квадратична регресійна залежність полягає  у визначенні значень параметрів а, b та с емпіричної квадратичної залежності у(х) = а + bх + сх², що описує зв'язок між значеннями {(х_n, у_n)} функціі у(х). Ця залежність буде побудована, якщо на підставі експериментальних даних отримані значення параметрів а, b та с. Нехай критерій нев'язки - сума усіх квадратичних відхилень

(1.24)

досягає мінімуму (S => min); знайдемо ті значення параметрів а, b та с, які забезпечують виконання цієї умови.

У точці екстремуму критерію S як функції  а, b та с виконується

       (1.25)

Рисунок 1.9– Приклад квадратичної регресії 
З виразу (1.30) отримаємо систему нормальних рівнянь

           (1.26)

Якщо всі аргументи {х} є різними, то система (1.26) має відмінний від нулявизначник. Розв'язуючи нормальну систему (1.26), знаходимо вирази для параметріва, b та с квадратичної залежності.

Знайдені з (1.26) значення параметрів а, b та с дають найкращу квадратичну залежність згідно критерію найменших квадратів.

Приклад побудови параболічної регресії поданий на рис. 1.9.

1.5. Чисельне розв'язання трансцендентнихрівнянь