Старинные математические задачи

Фиксируем некоторую вершину  А многогранника и пройдем  по всем путям, ведущим из вершины  А в остальные вершины. Если какое  – то ребро CD лежит на двух таких путях и проходиться в разных направлениях, то в вершины C и D из вершины А ведут два пути по не закрашенным ребрам, не содержащие ребро CD, и, значит, существует замкнутый путь по не закрашенным ребрам. Поскольку это невозможно, то на каждом не закрашенном ребре можно указать стрелочкой единственное направление движения из вершины А. Поставим теперь в соответствие каждому не закрашенному ребру вершину многогранника, на которую указывает стрелочка, присвоенная этому ребру. Из утверждения, сформулированного выше под номером 1), следует, что это соответствие между не закрашенными ребрами и отличными от А вершинами взаимно однозначно, и поэтому количество не закрашенных ребер многогранника равняется В – 1.

Для доказательства того, что  числа закрашенных ребер равняется  Г – 1, будем двигаться по поверхности  многогранника, переходя с грани  на грань только через закрашенные  ребра.

2) Из любой грани многогранника  в любую другую грань можно  пройти по поверхности многогранника,  пересекая только закрашенные  ребра. Последовательность пересекаемых  при этом ребер определяется  единственным способом.

Предположим, что существуют две грани c и d такие, что из c в d нельзя пройти, пересекая только окрашенные ребра. Покрасим в синий цвет внутренность всех граней многогранника, которых можно достичь, выходя из грани c и пересекая окрашенные ребра. В синий цвет при этом окрасится только часть граней многогранника, и, как легко видеть, граница синей области будет состоять только из не окрашенных ребер. Двигаясь по границе, мы получим замкнутый путь из не окрашенных ребер. А это противоречит правилам раскраски. Первое из утверждений под номером 2) доказано.

Предположим, что существует две грани, скажем, f и g, такие, что из f в g можно пройти двумя способами, пересекая только окрашенные ребра. Сотрем окраску одного из пересекаемых при этом ребер. Тогда, как легко видеть, по-прежнему из любой грани многогранника в любую другую грань можно будет пройти через окрашенные ребра. Выше доказано, что из справедливости утверждения под номером 1) следует, что количество не окрашенных ребер равно В – 1. Так как количество не окрашенных ребер изменилось, то утверждение 1) нарушилось и, значит, появился замкнутый путь по неокрашенным ребрам многогранника. Но этот путь разбивает поверхность многогранника на две части. Из граней, входящих в одну часть, можно пройти в грани другой части, только пересекая ребра указанного замкнутого пути, которые не окрашены (см. рис. 8, где они обозначены волнистой линией), и, значит, невозможно пройти, пересекая только окрашенные ребра. Полученное противоречие завершает доказательство утверждений под номером 2).

 

4. Часть третья.

4.1 Задачи –  шутки задачи – загадки.

Задача 134. Что  это такое?

Что это такое, две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну?

Повар сидел на стуле, имеющем  три ножки, пришла собака и утащила  куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную  ногу. У Корнея Чукотского на этот счет есть стихотворение – загадка:

Две ноги на трех ногах,

А четвертая в зубах.

Вдруг четыре прибежали 

И с одною убежали

Подскочили две ноги,

Закричали на весь дом – 

Да тремя по четырем!

Но четыре завизжали

И с одною убежали.

Задача 138. Два отца и два сына.

Два отца и два сына поймали  трех зайцев, а досталось каждому  по одному зайцу. Спрашивается, как  это могло получиться?

Это был дедушка, его сын  и внук. Из этих троих человек  двое являются отцами и двое сыновьями.

 

5. Приложение.

Леонард Эйлер  (1707 – 1783)

Вместе с Петром I и Ломоносовым

Эйлер стал добрым гением нашей 

Академии, определившим её славу,

её крепость, её продуктивность.

 

(С.И. Вавилов (1891 – 1951),

Президент Академии наук СССР)

 

Леонард Эйлер родился 4 апреля 1707 года в Швейцарии в селении  вблизи города Базеля. Начальное образование получил дома под руководством отца. Затем обучение его продолжилось  в гимназии г. Базеля. Одновременно он стал посещать лекции по математике в университете. Работавший там профессором известный математик Иогани Бурнули обратил внимание на способного ученика. Как писал сам Эйлер, И. Бернули «…высказывал чрезвычайно полезный для меня совет, состоявшийся в том, чтобы я сам принялся за некоторые труднейшие математические книги и прочитывал их с особенным вниманием; в случае же (несомненно, что это лучший способ делать счастливые успехи в математических науках) какого – либо недоразумения или трудности… он… разъяснял мне встречные затруднения».

В 1723 году Эйлер получил  степень магистра искусств, а в 1727 году защитил диссертацию о распространении  звука.

В 1727 году Эйлер, а ему тогда едва исполнилось 20 лет, принимает приглашение только что созданной Петербургской академии наук и приезжает в Петербург, где он был назначен адъюнктом по математике. В 1730 году Л. Эйлер получил место профессора (академика) кафедры физики, а в 1733 – кафедру математики.

В этот период Эйлер ведет кипучую деятельность. Он постоянно делает научные доклады на академических конференциях, выступает с публичными лекциями, с лекциями по физике и математике в университете и гимназии при Академии наук, принимает активное участие в работе комиссий по исследованию различных машин и многочисленных технических проектов, в составлении полного географического атласа России, публикует в каждом томе «Комментариев Петербургской академии наук» по несколько своих научных трудов и т.д.

В 1741 году Л. Эйлер переезжает в Берлин. Хотя Эйлер и оставил Петербург, он поддерживал непрерывную связь с Петербургской академией: оставался почетным членом Академии, продолжал печататься в изданиях Академии наук, по её запросам сообщал о новых изобретениях и открытиях, исполнял разнообразные поручения. Кроме того, Л. Эйлер руководил занятиями молодых русских людей, которых Академия отправляла на учебу за границу, например, в 50 – х годах XVIII века у Эйлера в Берлине жили и обучались адъюнкты Петербургской академии наук С.К. Котельников, С.Я. Румовский и М. Софронов.

Эйлер считал необходимым готовить русских ученых для замещения профессорских должностей в России. Так, например, на просьбу Петербургской академии наук рекомендовать ученого для занятия в ней кафедры механики он писал: «… лучше всего будет заместить это место способным русским…». Эйлер очень высоко ценил русских ученых С.К. Котельникова и М.В. Ломоносова. Так, он предлагал С.К. Котельникова на должность профессора высшей математики Петербургской академии наук, отдавая ему предпочтение перед рядом иностранных ученых: «…по сравнению с ними я могу с полным правом считать Котельникова Архимедом или Ньютоном…». О работах по физике и химии М.В. Ломоносова Эйлер пишет: «Все сии диссертации не токмо хороши, но и весьма превосходны…». Предлагая Петербургской академии наук рекомендовать М.В. Ломоносову участвовать в конкурсе на тему «О селитре», он писал: «Я сомневаюсь, чтобы мог кто-нибудь кроме Ломоносова написать об этом лучше, почему и прошу убедить его приняться за работу».

В 1766 году Л. Эйлер со своей  семьей возвращается в Петербург  и приступает к активной деятельности в Академии наук. Он продолжает вести  обширные научные исследования и  заниматься большой научно – организаторской  работой.

В этот период он справедливо  считался первым математиком в мире и пользовался всеобщим уважением  и почетом.

Умер Л. Эйлер 18 сентября 1783 года в Петербурге.

Необычайно великое научное  наследие Л. Эйлера. Полное собрание его  сочинений насчитывает более 70 томов, а в списках его трудов более 850 названий. Эйлеру принадлежит первое систематическое изложение математического анализа («Введение в анализ» - 2 тома, «Дифференциальное исчисление» - 1 том, «Интегральное исчисление» - 3 тома, он автор книг по механике, теории движения Луны и планет, по географии, по теории кораблестроения, теории музыки и т.д. «Творчество Эйлера изумительно и в науке беспримерно» (академик А.Н. Крылов, 1863 – 1945). Л. Эйлер является основателем русской научной математической школы. Его учениками считали себя семь петербургских академиков.

Приведу в заключение выдержку из одного письма Л. Эйлера. «Его королевское  величество (Фридрих II) недавно меня спрашивал, где я изучил то, что знаю? Я согласно истине ответил, что всем обязан моему пребыванию в Петербургской академии наук.

 

 

 

 

6.Список основной использованной литературы.

1. Аничков Д.С. Теоретическая и практическая арифметика в пользу и употребление юношества, собранная из разных авторов и вновь дополненная профессором экстраординарным… Дмитрием Аничковым. – М. 1775.

2. Библиотека ученая, экономическая,  нравоучительная, историческая и  увеселительная в пользу и  удовольствие всякого звания  читателей. В. 1- 12.- Тобольск, 1793 – 1794.

3. Бобынин В.В. Очерки истории развития физико-математических знаний в России XVII в. В. 1. – М.,1886; в. 2 – М., 1893.

4. Бобыбин В.В. Состояние математических знаний в России до XVI  века. – Журнал Министерства народного просвещения, 1884, ч. 232, №4.

5. Войтяховский Е.Д. Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык – юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике. Т. 1 – 4. – М., 1794 – 1798.

6. Гадательная арифметика  для забавы и удовольствия. –  Спб., 1789.

7. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М. – Л., 1946.

8. Даль В. Толковый словарь живого великорусского языка. Т. 1 – 4. – М., 1981 – 1982.

9. Денисов А.П. Леонтий Филиппович Магницкий, 1669 – 1739. – М., 1967.

10. Детский гостинец или  Четыреста девяносто загадок  с ответами в стихах и прозе,  взятых как из древней, так  и новейшей истории, и из  всех царств природы и собранных  одним другом детей для их  употребления и приятного препровождения  времени. – М., 1794.

11. История отечественной  математики. Т. 1 – Киев, 1966.

12. Каменцева Е.И., Устюгов Н.В. Русская метрология. – М., 1965.

13. Козельский Я.П. Арифметические предложения для употребления обучающихся в Артиллерийском и инженерном шляхетском кадетском корпусе благородного юношества, сочиненные артиллерии капит. Яковом Козельским. – Спб., 1764.

14. Котельников С.К. Первых оснований математических наук часть первая, содержащая в себе арифметику, в пользу учащегося в Морском шляхетском кадетском корпусе благородного юношества, сочиненная профессором математики и членом Спб., Имп. Академии наук Семеном Котельниковым. – Спб., 1766.

15. Курганов Н.Г. Универсальная арифметика, содержащее основательное учение, как легчайшим способом разные в обществе случающиеся, математике принадлежащие арифметические, геометрические и алгебраические выкладки производить, сочинена Николаем Кургановым, Морского шляхетского кадетского корпуса математических и навигацких наук подмастерьем рангу подпорутческого. – Спб., 1757.

16. Курганов Н.Г. Арифметика или числовик, содержащий в себе все правила числовой выкладки, случающейся в общежитии. В пользу всякого учащегося, воинского, статского и купеческого юношества. Изд. 4-е вновь поправил и пополнил проф. подполк. и кавалер Николай Курганов. Ч. 1 – 11. – Спб., 1791.

17. Леонард Эйлер, Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. Издательство АН СССР, сер. II, в. 1. – М. – Л., 1935.

18. Леонард Эйлер. Сборник  статей в честь 250-летия со  дня рождения. – М.; Издательство АН СССР, 1958.

19. Магницкий Л.Ф. Арифметика, сиречь наука читательская… - М., 1703г.

20. Меморский М.Ф. Краткая арифметика, служащая к легчайшему обучению малолетнего юношества, в вопросах и ответах. ч. I – II. – М., 1794.

21. Муравьев Н.Е. Начальное основание математики, сочиненное Николаем Муравьевым, капитан - поручик от инженеров. Ч. I. – Спб., 1752.

22. Руководство в арифметике, для употребления в народных  училищах Российской империи,  изданное по выс. Повелению  царствующей Имп. Екатерины Вторыя. Ч. 1, 2. – Спб., 1786.

23. Прудников В.Е. Русские педагоги – математики XVIII – XVX веков. – М., 1956.

24. Рукописи *):

1) Арифметика. – ОР ВГБИЛ, ф. 310, № 681, XVII в.

2) Арифметика. – ОР ВГБИЛ,  ф. 310, № 681, XVII – XVIII вв.

3) Книга глаголемая арифметика, сиречь цифирная мудрость счетная. - ОР ВГБИЛ, ф. 726, №4, 1667.

4) Сборник руководств  по математике и по навигации. - ОР ВГБИЛ, ф. 726, № 23, XVIII в.

5) Сборник смешанного  содержания. - ОР ВГБИЛ, ф. 726, №  29, XVIII в.

6) Сборник задач по  геометрии. - ОР ВГБИЛ, ф.726. № 17, XVIII в.

7) Счетная мудрость. –  Труды общества любителей древней  письменности. Т. 43. – Спб., 1879.

25. Румовский С.Я. Сокращения математики. Часть первая, содержащая начальные основания арифметики, геометрии и тригонометрии, сочиненная Академия наук адъюнктом Степаном Разумовским. – Спб., 1760.

26. Рыбников К.А. История математики. Т. 1, 2. – М., 1960, 1963.

27. Симонов Р.А. Математическая мысль Древней Руси. – М.; Наука, 1977.

28. Симонов Р.А. Кирик Новгородец. – М.; Наука, 1982.

29. Тихомиров М.Н.  Пособие для изучения Русской правды. – М.; МГУ, 1944.

30. Эйлер Л. Руководство к арифметике для употребления в гимназии при Императорской Академии наук. Ч. 1. – Спб., 1740: Ч. 2. – Спб., 1760.

31. Эйлер Л. Универсальная арифметика.., Т. 1, 2. – Спб., 1787 – 1788.

32. Юшкевич А. История математики в России до 1917 г. – М.; Наука, 1968.