Старинные математические задачи

Содержание:

1.Введение. 2

2. Часть  первая. 6

2.1Житейские  истории 6

2.2Любопытные  свойства чисел 7

2.3 Старинный  способ решения задач. 12

2.4 О  правилах «фальшивых» или «гадательных». 14

3.Часть  вторая. 17

3.1 Обход  мостов. 17

3.2 Шахматы. 21

3.3 Геометрическая  задача Эйлера. 23

4. Часть  третья. 27

4.1 Задачи  – шутки задачи – загадки. 27

5. Приложение. 28

6.Список  основной использованной литературы. 31

 

 

1.Введение.

Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже  в X – XI веках.

Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей  летоисчислением, вычислением поголовья  и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т.д.

 

«А полбы немолоченые 15 копен

а на то прибытка на одно лето 7 копен,

а на всю 12 лет в той  полбе прибытка

1000, 700 и 50 копен».

 

Эти строки взяты из статьи «О полбе немолоченой»  одного из ранних рукописных исторических документов – «Русской Правды» первого из дошедших до нашего времени сборника русских законов.

Судя по всему, подсчет  «прибытка» в этой статье основан  на предположении что каждый год  в течение 12 лет вся собранная  в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все  вычисления ведутся в целых числах.

Другое дошедшее до нас  наиболее древнее русское математическое произведение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» принадлежит  новгородскому монаху Кирику и посвящено  календарным расчетам. Как известно, даты ряда церковных праздников не постоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным  с движениями солнца и луны. Вычисление дня пасхи (с этим церковным праздником жестоко связаны даты других праздников церковного календаря) представляет поэтому непростую математическую задачу. В начале «учения» указывается, что написано оно в 6644 г. от «сотворения мира» (в 1136 г. по принятому сейчас уже летоисчислению) и что от «сотворения мира» прошло 79 728 месяцев или 346 673 недели или 2 426 721 день или 29 120 652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемые «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник пасхи в текущем году.

 

В XVI – XVII веках в России начинает проявляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распространялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые сохранились и до нашего времени.

Рукописи XVI – XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века.

 

Перестройка государственной, общественной и культурной жизни  страны, начиная Петром I, подняла и вопросы образования. Требовались специалисты для создания новой регулярной армии, для постройки торгового и военного флота, для развития промышленности и т.д. Для подготовки таких кадров, для распространения в стране математических знаний нужны были учебники. В 1703 году такой учебник был издан типографическим способом необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров.  Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная…». Автором его был выдающийся педагог – математик – Леонтий Филиппович Магницкий. Взяв за основу, имевшуюся рукописную математическую литературу, Магницкий создал книгу, которая на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для почти всех учебных заведений России.  Она сыграла большую роль в распространении математических знаний, в подготовке кадров для государственных учреждений страны.

«Арифметика» - одна из самых  замечательных русских книг –  являлась энциклопедией математических знаний того времени. Понимая роль заинтересованности в обучении, Магницкий приводит много  задач с острым содержанием, занятными  формулировками, интересными способами  решения. К некоторым задачам  приводятся рисунки. Занимательным  задачам он посвящает целый раздел «О утешных неких действах чрез арифметику употребляемых».

Первая часть настоящей  книги посвящена занимательным  задачам из рукописной литературы и  «Арифметики» Магницкого. Рукописи и  «Арифметика» написаны на старославянском  языке, поэтому в первой части  в основном приводятся тексты задач, подвергшиеся стилистической обработке; для любознательных читателей в  ряде случаев приведены и их подлинные  формулировки на старославянском языке. Сделано это также и для некоторых решений задач.

В основном мы сохранили  в задачах и старые меры (веса, длины и денег).

В 1725 году в Петербурге открылась  Академия наук с университетом и  гимназией. Вначале для работы в  Академии были приглашены ученые из –  за границы. Среди них приехал  в Россию двадцатилетний швейцарец  Леонард Эйлер, будущий великий  математик. Его неустанная педагогическая деятельность во многом способствовала формированию русских национальных научных кадров. Отметим здесь  только учебники Эйлера по элементарной математике: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при  Императорской Академии наук» (1738 – 1740 г.г.) и «Универсальная арифметика» (1768 – 1769 гг.). Материал в этих книгах изложен очень ясно, доходчиво, сопровождается большим количеством различных увлекательных задач и примеров.

Книги Магницкого и Эйлера послужили основой для многих учебников других авторов: Н.Г. Курганова, Д.С. Аничкова, С.К. Котельникова, С.Я. Румского и др. Многие из этих руководств были написаны для тех или иных учебных  заведений, отличавшихся спецификой подготовки своих учеников. Кроме отдельных учебников, появляются и целые курсы математики. Так, например, в 1787 – 1790 гг. вышел «Курс чистой математики» Е.Д. Войтяховского, состоящий из пяти книг (Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия и Фортификация), предназначенный для учеников основанной им в Москве Математической школы. Книги эти пользовались большой популярностью и неоднократно переиздавались.

В учебниках того времени  можно найти множество занимательных  задач. Некоторые из них по своим  идеям восходят к рукописям XVII века и к книге Магницкого, но также появляется и рад новых задач. Эти задачи составляют содержание второй части настоящей книги. Кроме них во вторую часть включены некоторые задачи из учебников Эйлера и сохранившиеся обширной переписки Эйлера с учеными.

 

Если в русской рукописной литературе XVII века и в книгах начала и середины XVIII века занимательные задачи были рассеяны среди учебных задач, то уже в конце XVIII века этим задачам посвящаются отдельные издания. Такой, например, является книга «Детский гостинец, или четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени». Эта небольшая книжка вышла в Москве в 1794 году и содержала различные занимательные вопросы, загадки, пословицы и небольшие истории. В предисловии к ней сказано, что «книга, сей источник просвещения и истинного удовольствия, не должна быть для детей источником скуки и горести». Надо, чтобы учение было привлекательным, и обучение малолетних детей необходимо представлять как «забаву, а не как скучную должность». При обучении детей «надо знать их склонности и способности и надобно уметь делать в упражнениях радость, которая для них весьма приятна». В книге говорится далее, что написана она для того, чтобы давать её читать детям «вместо награды за успехи в учении».

Аналогичным вопросам посвящена  и « Библиотека учения, экономическая, нравоучительная, историческая и увеселительная в пользу и удовольствие сякого звания читателей», изданная в 12 томах в 1793 – 1794 гг. в Тобольске. В каждом томе этой «Библиотеки» несколько страничек  посвящено занимательным вопросам: здесь и задачи об угадывании задуманных чисел, и математические фокусы, угадывание числа предметов, угадывание зачеркнутой цифры и некоторые другие.

Особо среди книг, изданных в это время, следует отметить книгу «Гадательная математика для  забавы и удовольствий». В этой книге  собрано более 40 занимательных задач: на отгадывание задуманных чисел, на переправы, переливания жидкостей, угадывание числа лет и т.п.

 

2. Часть первая.

2.1Житейские  истории

 Задача 8. Двенадцать человек.

Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба женщина – по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.

Сколько было мужчин, женщин и детей?

Решение:

Давайте подумаем, как могут  распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми. Попробуем  мысленно распределить хлеба между  ними. Сначала дадим всем по половине хлеба. При этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию  задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять  у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами, после чего каждый из них будет нести по 2 хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому не было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось. Итак, имеется всего пять мужчин. Поэтому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти у каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвертей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12 – 5 – 6 = 1. Следовательно, хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.

 

2.2Любопытные  свойства чисел

      Задача 39. Движение пальца.

А вот один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом:

Первый палец слева  обозначим 1, второй за ним обозначим 2, затем 3, 4, … до десятого пальца, который  означает 10. Если надо умножить на 9 любое  из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение

4*9

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца, а после поднятого – 6 пальцев. Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Найдите объяснение этого  способа умножения чисел.

Решение:

Проще всего убедиться в справедливости этого правила, поднимая по очереди пальцы от первого до десятого и сравнивая результат «ручного умножения» с таблицей умножения. А вот доказательство. Если поднимаемый палец имеет номер n, то слева от него лежит (n – 1) палец, а справа (10 – n). Тождество

10 (n – 1) + (10 – n) = 9n

Подтверждает правило  умножения на пальцах.

Задача 40. Одинаковые цифры.

Если умножить число 777 на число 143, то получится шестизначное число, записываемое одними единицами:

777*143 = 111 111

Если же число 777 умножить на 429, то получится число 333 333, записываемое шестью тройками.

Найдите, на какие числа  надо умножить число 777, чтобы получить шестизначные числа, записываемые одними двойками, одними четверками, одними пятерками  и т.д.

Решение:

Для того, чтобы получить шестизначное число, записываемое двойками, надо 777 умножить на 286. Если же мы число 777 умножим соответственно на числа 572, 715, 858, 1001, 1144, 1287, то получим числа, записываемые одними четверками, пятерками, шестерками, семерками, восьмерками и девятками. Это видно из следующего. Поскольку

777*143 = 111 111

и 143 *2 = 286, 143*3 = 429, …..143*9 = 1287, то например,

777*858 = 777*143*6 = 111 111*6 = 666 666,

777*1001 = 777*143*7 = 111 111*7 = 777 777.

Можно найти и два четырехзначных числа, произведение которых записывается восемью единицами.

Требуемое свойство имеют  числа 7373 и 1507. Для того чтобы найти  их, надо разложить на множители  число 11 111 111. Легко видеть, что

11 111 111 = 1111*10 001 = 11*101*10 001,

Числа 11 и 101 далее на множители  не раскладываются. Это так называемые простые числа. Последний множитель 10 001 простым не является, но найти его разложение на простые множители нелегко. Путем деления этого числа на 3, 5, 7, 11, 13, 17 и другие простые числа можно, в конце концов, найти делители числа 10 001 и разложить его. Можно значительно сократить число проб, если заметить, что каждый простой делитель обязательно должен иметь вид 8k + 1. Это связано с тем, что 10 001 = 10⁴ + 1. Остается проверить только делимость на 17, 41, 73, 89, 97. Оказывается, что 10 001 не делится на 17, 41 и делится на 73. Так получается разложение 10 001 = 73*137 и

11 111 111 = 11*101*73*137 = (101*73)*(11*137) = 7373*1507.

Задача 41.Свойство числа 481.

Возьмем какое-нибудь двузначное число, например, 12. Удвоим его и припишем справа 0. К результату (240) прибавим исходное число. Получится 252. Умножим это число на 481.