Старинные математические задачи

В записи произведения трижды повторяется число 12:

252*481* = 121 212

Возьмем другое двузначное число, например, 23. Проделаем с ним  те же операции:

23*2 = 46; 460 + 23 = 483; 483*481 = 232 323.

Опять результат есть шестизначное число, в записи которого трижды повторяется  исходное двузначное число 23.

Можете проделать ещё  несколько экспериментов, взяв, например, числа 34, 19, 70 и т.д. Опять в записи результата будет трижды повторено  исходное двузначное число.

Попытайтесь объяснить этот удивительный факт.

Объяснение: Если взять двузначное число a,удвоить его и приписать справа нуль, то получится число 20 a. Добавив к нему исходное число a, получим число 21 a. Секрет загадочного умножения скрыт в равенстве

21*481 = 10 101.

Имеем 21 a*481 = a*10 101. Это, как легко видеть, есть число, в записи которого участвует три раза повторенное двузначное число a.

 

Задача 42.»Проверка» сложения.

Торговая практика требовала  умения правильно выполнять вычисления с большими числами. Для уверенности  в надежности вычислений в старину  употреблялись некоторые методы «проверения» (проверки). Один из методов  проверки правильности сложения был  таков. Допустим, что, найдя сумму  нескольких чисел, мы хотим убедиться  в правильности сделанных вычислений. Прибавим друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделим с остатком на 9. Остаток запомним. После этого разделим на 9 вычисленную сумму. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно, в них вкралась ошибка.

Пример. Предположим, что в результате сложения чисел 9873, 9837, 17 976 была получена сумма 38 686. Нет ли ошибки в вычислении? Сумма цифр слагаемых равна, как легко видеть, 27 + 27 + 30 = 84. Остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Складывая цифры вычисленной суммы, найдем 31. Это число при делении на 9 дает в остатке 4. Так как 3 ≠ 4, то сумма найдена с ошибкой. И действительно, правильная сумма равна 37 686.

На каком свойстве чисел основан такой способ проверки сложения?

Указанное правило проверки объясняется довольно просто. Заметим, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Это  легко понять хотя бы на примере  трехзначных чисел. Если abc = a*100 + b*10 + с – трехзначное число, то сумма его цифр равна a + b + c и разность                 abc – (a + b + c) = 99a + 9b делится на 9.

Пусть A, B, CC,… - целые числа, которые нам необходимо сложить, и A_1, B_1, C_1,… - суммы их цифр. Обозначим буквой p остаток от деления на 9 суммы цифр числа (A + B + C + …). Из сказанного выше следует, что разность (A + B + C + …) – p делится на 9. Но эту же разность можно представить в виде (A – A₁) + (B – B₁) + (C – C₁) + …(A₁ + B₁ + C₁ + … - p). Все числа A – A_1, B – B_1, C – C_1, ...делятся на 9, а потому на 9 будет делиться и число A₁ + B₁ + C₁ + … - p. Это означает, что остаток от деления на 9 числа A₁ + B₁ + C₁ + … так же равен p. Итак, если сложение выполнено правильно, то остатки должны совпадать.

Этот способ проверки в  случае совпадения остатков, конечно, не дает полной уверенности в том, что сумма найдена правильно. Если, например, ошибка состояла в том, что мы случайно поменяли местами в сумме цифры десятков и единиц, то остатки совпадут, а результат будет ошибочным. Вместе с тем указанный способ проверки иногда довольно быстро позволяет установить наличие ошибки.

 

Задача 43. «Проверка» умножения.

Так же, как в предыдущей задаче проверялось сложение, можно  проверять и умножение. Допустим, что, перемножив два числа, мы хотим  проверить правильность вычислений. Для этого найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.

Пример. Допустим, после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33 334 333. Сумма цифр первого сомножителя равна 20, а второго – 12. Эти числа при делении на 9 имеют остатки 2 и 3. Произведение остатков равно 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим теперь сумму цифр найденного произведения. Она равна 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как 6 ≠ 7, то произведение вычислено с ошибкой.

Авторы старинных рукописей  предлагают для удобства располагать  результаты вычислений в вершинах креста (рис. 1).

 

 

 

 

 

У концов вертикальной черты  ставятся остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей. У левого конца  горизонтальной черты ставится остаток  от деления на 9 произведения чисел, стоящих у концов вертикальной черты, а у правого конца горизонтальной черты –остаток от деления на 9 суммы  цифр вычисленного произведения. Если у горизонтальной черты стоят разные числа, то произведение найдено с ошибкой. На рис. 1 показано, как будут стоять числа в разнообразном выше примере.

Как обосновать этот способ проверки умножения?

Пусть P и Q – перемножаемые числа, p и q – остатки от их деления на 9. Разность между числом и суммой его цифр делится на 9, поэтому, если разделить на 9 суммы цифр чисел P и Q, в остатках получатся числа p и q. Эти числа должны быть записаны у концов вертикальной черты (рис. 2).

Так как разности P – p и Q – q делятся на 9, то их равенства

PQ – pq = (P – p) Q + p (Q – q)

следует, что числа PQ и pq имеют одинаковые остатки при делении на 9. Значит, у концов горизонтальной черты должны стоять одинаковые числа. Если же это условие не выполнено, то произведение PQ вычислено неправильно.

Конечно, совпадение чисел  у концов горизонтальной черты не означает, что результат найден верно.

 

2.3 Старинный  способ решения задач.

Задача 44. Как смешать масла.

У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Приводим старинный способ решения этой задачи.

Друг под другом пишутся  стоимости имеющихся масел, слева  от них и примерно посередине –  стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединив написанные числа черточками, получим  такую картинку:

 

 

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены смешанного масла, а  то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая  картинка:

 

 

Из неё делается заключение, что дешевого масла нужно взять  втрое больше, чем дорогого, т.е. для  получения 1 ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла ¼ ведра, а дешевого ¾ ведра.

Верно, ли найден ответ задачи?

Ответ задачи найден, верно. В самом деле, если взять ¼ часть ведра масла стоимостью 10 гривен и ¾ части ведра масла стоимостью 6 гривен за ведро, то получим одно ведро масла стоимостью 10* ¼ + 6* ¾ = 28/4 = 7 гривен, что и требовалось в задаче.

 

Задача 45. О сплаве серебра.

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

(В России существовала  золотниковая система обозначения  пробы на основе русского фунта,  содержащего 96 золотников, по которой  проба выражалась весовым количеством  благородного металла в 96 единицах  сплава, что в 96 частях сплава  содержится 11 частей серебра. В  наше время проба обозначает  число частей благородного металла  в 1000 частях (по массе) сплава.)

Решение:

Следуя способу, изложенному  при решении задачи 44, имеем 

Значит, для получения  серебра 12-й пробы надо брать 2 части  серебра 11-й пробы и 1 часть серебра 14-й пробы. Поэтому для получения  одного фунта серебра 12-й пробы  надо взять 2/3 фунта серебра 11-й пробы и 1/3 фунта серебра 14-й пробы.

Задача 47. Как смешать  чай?

Имеет некто чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Приведем решение из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:

«А когда случится мешати три товара из них же сделати четвертый  по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же зде видимо есть:

 

 

 

 

 

Здесь предлагается взять 6 + 2 = 8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Указанный Л.Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо метод, изложенный при решении задачи 44, применить два раза: первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в которых нужно будет смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (в приведенном примере 1 и 1). Сложив затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй раз (6 + 2 = 8), получим долю дешевого вещества в общей смеси.

Верно, ли найден ответ задачи?

Полученные числа являются одним из ответов к задаче: в самом деле, если возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой

 

8/10*5 + 1/10*8 + 1/16*12 = 6 гривен.

 

2.4 О правилах «фальшивых» или «гадательных».

Задача 50. Найти  число.

Найти число такое, что  если к нему добавить его третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

По правилу, которое носило название «фальшивое», или «гадательное», эту задачу следует решать так:

1.Предположим, что неизвестное число есть 144. Проделав с ним описанные в задаче операции, получим:

1/3*144 = 48,    144 + 48 = 192,

1/6*192 = 32,    192 – 32 = 160.

Так как получилось не 100, то не угадали.

2.Предположим теперь, что неизвестное число есть 108. Имеем последовательно:

1/3*108 = 36,    108 + 36 = 144,

1/6*144 = 24,    144 – 24 = 120.

Опять не угадали.

3.Оказывается, что по результатам двух неверных попыток можно найти искомое число. Это делается следующим образом. Вычисляем, насколько мы ошиблись:

в первом случае: 160 – 100 = 60

во втором случае: 120 – 100 = 20

Затем рисуем таблицу:

 

 

 

Перемножим числа, стоящие  накрест:

108*60 = 6480,    144*20 = 2880.

Разность произведений (6480 – 2880 = 3600) разделим на разность ошибок (60 – 20 = 40):

3600:40 = 90.

Полученное число и  дает ответ к задаче, т.е. искомое  число равно 90.

Правилен ли ответ?

Числа 144 и 108 мы взяли наугад, но оба раза результат вычислений оказался больше, чем 100.

Правило гласит, что так  же нужно поступать и в случае, если оба результата окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.

Ответ найден, верно. В самом  деле,

1/3*90 = 30,    90 + 30 = 120,    120*1/6 = 20,    120 – 20 = 100.

Задача 52.Сколько  куплено сукна?

Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого  купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем  третьего.

Сколько же сукна каждого  сорта было куплено?

Решение с помощью  «фальшивого» правила. Предположим, что сукна первого сорта куплено 32 аршина, тогда второго сорта куплено 20 аршин, а третьего сорта куплено 11 аршин. Всего, следовательно, куплено 32 + 20 + 11 = 63 аршина, что на 43 аршина меньше, чем дано в условии задачи. Если сукна первого сорта куплено 50 аршин, то второго – 38 аршин и третьего – 29 аршин. Всего же в этом случае куплено 50 + 38 + 29 = 117 аршин, что на 11 аршин больше, чем куплено в действительности. Применяя «фальшивое» правило, имеем

 

                                32*11 = 352,                       50*43 = 2150

                                2150 + 352 = 2502,             43 + 11 = 54. 

 

Значит, сукна первого  сорта было куплено 2502:54 = 46*1/3 аршина, сукна второго сорта 46*1/3 – 12 = 34*1/3 аршина, сукна третьего сорта 34*1/3 – 9 = 25*1/3 аршина.

Отметим, что полученные в результате предположений числа (63 и 117) одно меньше, чем 106, а другое больше, чем 106. Поэтому для нахождения ответа задачи по «фальшивому» правилу  следует сумму произведений разделить  на сумму разностей.

Верен ли ответ задачи?

Так как 46*1/3 - 34*1/3 = 12, 34*1/3 - 25*1/3 = 9,

46*1/3 + 34*1/3 + 25*1/3 = 106, то ответ найден, верно.

 

53. Покупка коровы.

Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне 2/3 твоих денег, то я один смогу заплатить её цену». А второй отвечает первому: «Дай мне ¾ твоих денег. Тогда я заплачу её цену».

Сколько у каждого из них  денег, если корова стоит 24 рубля?

Предположим, что у первого  человека 12 рублей. Тогда второй должен дать ему 24 – 12 = 12 рублей, что составляет по условию 2/3 от денег второго человека. Значит, второй имеет 12*3/2 = 18 рублей. После того как первый даст второму ¾ своих денег у второго станет 18 + ¾*12 = 27 рублей, что на 3 рубля больше стоимости коровы.

Предположим, что у первого  человека 20 рублей. Тогда у второго  3/2(24 – 20) = 6 рублей. После того как первый даст ему ¾ своих денег, у второго человека станет 6 + 3/4 *20 = 21 рубль, что на 3 рубля меньше стоимости коровы. Применяя «фальшивое» правило, имеем