Неевклидовые геометрии и их роль в современном мире

следовательно,  и  теоремы,  и  формулы  сферической  геометрии  во   многом отличаются от аксиом, теорем и формул плоской геометрии Евклида,  а  так  же Лобачевского. В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны,  имея  одну и ту же длину. Сумма углов сферического треугольника, как  известно,  больше 2d, каждые две  прямые  имеют  одну  общую  точку,  то  есть,  на  римановой плоскости нет параллельных прямых.

В  разработку  эллиптической  геометрии  значительный  вклад  внес  Гаусс своими исследованиями о поверхностях.

Сравнивая три, в известном смысле дополняющих  друг  друга  ,  геометрии: гиперболическую,   евклидову   (называемую   так   же   параболической)    и эллиптическую, следует отметить, что в первой из них через точку вне  данной прямой можно провести к этой прямой две параллельные, во второй – одну, а  в третей – ни одной. В первой сумма внутренних углов треугольника  меньше  2d, во второй равна 2d, а в третей – меньше 2d. Возникшие из  попыток  доказательства  V  постулата  неевклидовы  геометрии, открытые  Лобачевским,  Бояй,  Гауссом  и  Риманом  и  развитые   в   трудах Бельтрами, Кэли,  Клейна,  Пуанкаре  и  других  ученых,  стали  в  наши  дни

необходимым аппаратом для изучения механики, физики и  астрономии.  Особенно важна геометрия Лобачевского для теории  относительности,  так  как  группа важных для теории относительности «преобразований Лоренца» изоморфна  группе движений   пространства    Лобачевского.   С   другой   стороны, открытие неевклидовой геометрии привело к новым  исследованиям  в  области  оснований геометрии и, в частности, к аксиоматике Гильберта.  Отказываясь  от  аксиомы Архимеда или от аксиомы Кантора, он получает  «неархимедову»  соответственно «неканторову» геометрию и т.п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

  Открытие неевклидовой геометрии, начало которому  положил  Лобачевский,  не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и  методов  в  математике естествознании,  но  имеет  и  философское  значение.  Господствовавшее   до Лобачевского мнение о незыблемости  геометрии Евклида  в  значительной  мере основывалось на учении известного немецкого философа  И. Канта  (1724-1804), родоначальника  немецкого  классического  идеализма.  Кант  утверждал,   что человек   упорядочивает   явления   реального   мира   согласно    априорным представлениям,  а  геометрические  представления  и  идеи  якобы   априорны (латинское слово aprior   означает  –  изначально,  заранее),  то  есть,  не отражают явлений действительного мира, не зависят от практики, от  опыта,  а являются врожденными человеческому миру, раз  и  навсегда  зафиксированными,

свойственными человеческому разуму, его духу. Поэтому  ,  Кант  считал,  что Евклидова геометрия непоколебима, неизменна, и является вечной истиной.  Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как  единственно  возможное учение о реальном пространстве.

Открытие  неевклидовой  геометрии  доказало,  что  нельзя  абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал  Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной,  однако  это не подорвало  незыблемость  геометрии  Евклида.  Итак,  в  основе  геометрии Евклида лежат не априорные,  врожденные  уму  понятия  и  аксиомы,  а  такие понятия,  которые  связаны  с   деятельностью   человека,   с   человеческой практикой. Только практика  может  решить  вопрос  о  том,  какая  геометрия вернее излагает свойства  физического  пространства.  Открытие  неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию  науки,  способствовало и  поныне   способствует   более   глубокому   пониманию   окружающего   нас материального мира.

 

 

БИБЛИОГРАФИЯ

 

1. Г.И. Глейзер. История математики  в школе IX – X классы. Пособие для  учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.

2. Даан Дальмедино А., Пейффер  И.   Пути  и  лабиринты.  Очерки  по  истории математики. Перевод с французского. М: Мир.1986г.

3. Б.Л. Лаптев.  Н.И. Лобачевский  и его геометрия. Пособие для  учащихся.

М. «Просвещение», 1970г.

4. И.М. Яглам.  Принцип относительности  Галилея и неевклидова геометрия.Серия  «Библиотека математического кружка» М: 1963г.