Неевклидовые геометрии и их роль в современном мире

 

 

НЕЕВКЛИДОВЫЕ ГЕОМЕТРИИ И ИХ РОЛЬ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ

 

Реферат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение..................................................................................................3

Аксиомы в «Началах» Евклида.............................................................4

Открытие неевклидовой геометрии......................................................8

Из истории неевклидовой геометрии………………………………..14

Заключение……………………………………………………………20

Библиография…………………………………………………………21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Геометрия  –  это  одна  из  древнейших  наук.  Исследовать  различные

пространственные   формы   издавна   побуждало   людей    их    практическая

деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при  измерении  Земли. Это измерение было им необходимо вследствие  разлития  реки  Нил,  постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука,  как  и  другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили  также  шумеро- вавилонские, китайские и другие ученые  древнейших  времен.  Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

       Как наука, геометрия впервые сформировалась в  Древней  Греции,  когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным  путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

       В III веке до нашей эры  греческий  ученый  Евклид  привел  в  систему

известные ему геометрические сведения  в  большом  сочинении  «Начала».  Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

         Эта геометрия существенно отличается от евклидовой,  например,  в  ней утверждается,  что  через  данную точку  можно  провести  бесконечно  много прямых, параллельных данной прямой,  что  сумма  углов  треугольника  меньше 180°. В  геометрии  Лобачевского  не  существует  прямоугольников,  подобных треугольников и так далее.

       Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток  доказать  V постулат  Евклида,  аксиому  параллельности.   Эта   геометрия   во   многом удивительна, необычна  и  соответствует  нашим  привычным  представлениям  о реальном мире. Но  в  логическом  отношении  данная  геометрия  не  уступает геометрии Евклида.

 

АКСИОМЫ В «НАЧАЛАХ» ЕВКЛИДА

 

       Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом  строгого дедуктивного изложения геометрии.

Однако в 19 веке после открытия   геометрии  Лобачевского  –  Бояй,  а

затем геометрии  Римана  и  в  связи  с  пересмотром  основ  математического

анализа, предпринятого Больцано, Каши, Абелем  Гауссом  и  другими  учеными, логическое построение «Начал» Евклида стало подвергаться критике. В  системе построения было обнаружено много логических  дефектов,  часть  которых  была заменена еще в древности. Это касается в  первую  очередь  основных  понятий геометрии и евклидовых определений.

Определение нового  понятия  состоит  в  раскрытии  его  содержания  вперечислении его существенных признаков (свойств)  с  помощью  других  ранее определенных понятий и т.д. В конце концов, мы должны дойти   до  некоторых, обычно самых простых и немногих понятий,  которые  являлись  исходными,  уже логически прямо не  определяются,  а  принимают  за  основные  понятия.  Без выделения основных понятий  операция  логического  определения  всех  других понятий вообще была бы бессмысленной.

Определения,  изложенные  в  «Началах»   Евклида,   не   удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые  из  23  определений,  которыми начинается первая книга «Начал».

     1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение

точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

     2. Линия есть длина без ширины.

     3. Границы линии суть точки.

     4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

     5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

     6. Границы поверхности суть линии.

     7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по

отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

     8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных  в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в этих  определениях  употребляются  такие  понятия  (часть,  длина,   ширина, граница и т.д.),  которые  сами  должны  быть  определены.  Во-вторых,  идея основных понятий (в современном смысле) у  Евклида  вообще  отсутствует.  В- третьих, некоторые его определения туманны и непонятны,  например,  4  и  7. Вообще  же  определения  Евклида  являются  лишь  описанием   геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном  построении  геометрии,  как  и  любой  другой  науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но  также  из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых  предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома  – греческое слово, означающее «бесспорное положение», а  также  «почитаемое»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было  строго  логически  обосновать, то есть доказать все другие предложения,  называемые  уже  теоремами   (Этот термин  был введен  Аристотелем,  его употреблял не  Евклид, а его комментаторы. Первоначальный   смысл   этого греческого   слова был «рассматриваемое»).

У Евклида постулаты и аксиомы, которые  он  не  отождествлял  (у  него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют  за  выше  названными определениями. Вот они: Постулаты.

     1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно  было

провести прямую линию.

     2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

     3. И, чтобы из любого  центра  можно  было  описать  окружность  любым

радиусом.

     4. И, чтобы все прямые углы были равны.

     5. И, чтобы всякий  раз,  когда  прямая  образует  с  ними  внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух  прямых,  эти  прямые  пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Аксиомы.

     1. Равные порознь третьему равны между собой.

     2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

     3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

     4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.

     5. И если удвоим равные, то получим равные.

     6. И половины равных, равны между собой.

     7. И совмещающиеся равны.

     8. И целое больше части.

     9. И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим  недостатком  системы  евклидовых  аксиом,  включая  и   его постулаты, является ее неполнота, то  есть  недостаточность  их  для  строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение,  если  оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из  последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на  аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям.  Например, понятию  «между»  он  приписывал  чисто  наглядный  характер;  он  молчаливо предполагал, что  прямая,  проходящая  через  внутреннюю  точку  окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался  только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не  дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали  аксиомы  непрерывности.  Нет у него  и   некоторых   других   аксиом,   без   которых   строго   логическое доказательство теорем невозможно.

 Критика  евклидовского  обоснования   геометрии,   продолжавшаяся   на протяжении нескольких  веков  и  ставшая  особенно  острой  в  19  столетии, привела к попыткам нового  дедуктивного  построения  геометрии,  отвечающего современным требованиям науки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

Одним  из   ученых,   предвосхитивших   неевклидову   геометрию,   был итальянский монах Джироламо Саккери (1667-1733), преподававший грамматику  в иезуитской коллегии в Милане. Здесь под влиянием Джованни  Чевы  (  Джованни Чева  (1648-1734)  –  итальянский  инженер-гидравлик  и  экономист)  Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею.  Впоследствии  он преподавал математику в университете города Павши. На последнем  году  своей жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием  «Евклид, очищенный от всех пятен». В ней он поставил  перед  собой  задачу  исправить все недостатки («пятна»)  «Начал»  Евклида,  в  первую  очередь  доказать  V постулат.  Саккери  решительнее  и  дальше  своих  предшественников   сделал попытку доказать  этот  постулат  от  противного.  Этот  путь  он  не  сумел проделать до конца,  но  идя  по  нему,  Лобачевский  а  последствии  открыл неевклидову геометрию.

Рассматривая  четырехугольник,  носящий  его  имя,  Саккери

стремится  доказать,  что  гипотезы  тупого  и  острого  углов  приводят   к

логическим противоречиям и что  остается  лишь  гипотеза  прямого  угла,  из

которой вытекает евклидов V постулат. Он легко опровергает  гипотезу  тупого угла, он доказывает, что:

 1. геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной  прямой по одну сторону, не является прямой или окружностью, а  другой  линией (которую  Лобачевский  впоследствии  назвал  эквидистантой,  то   есть  «равноотстоящей»);

    2. две прямые, содержащиеся в одной плоскости, либо пересекаются

в одной точке (такие прямые Лобачевский назвал «сходящимися»), либо не      пересекаются, имея общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они  друг  от  друга  удаляются  («расходящиеся  прямые»   в   терминологии Лобачевского), либо не пересекаются, удаляясь друг от  друга  в  одном  направлении  и  асимптотически  приближаясь  в  другом   (параллельные Лобачевского).

Если  бы  Саккери  пользовался  лишь  логическими  выводами,   строгой дедукцией, то никакого противоречия он  в  указанных  выше  предложениях  не нашел  бы.  Однако,  будучи  предубежден  о  невозможности  того,  что   для евклидова постулата не  имелось  доказательства,  Саккери  для  опровержения гипотезы острого угла прибег к  утверждению  чисто  интуитивного  характера: существование асимптотических  прямых  якобы  «противоречит  природе  прямой линии». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его  установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе  гипотезы  острого  угла, которые  100  лет  спустя  легли  в  основу  новой  неевклидовой   геометрии Лобачевского.

Лобачевским (1792- 1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову  геометрию, называемую так же « гиперболической». Независимо от него к тому же  открытию пришел и молодой венгерский математик  Я.  Бояй.  Первый  печатный  труд  по неевклидовой геометрии - статья Н.И. Лобачевского « О началах  геометрии»  - появился в 1829г. в « Казанском вестнике». Через 3  года  была  опубликована на  латинском  языке  работа   по   неевклидовой   геометрии   «   Appendix» («Приложение»), название которой объяснялось тем, что она появилась к  одной из  работ  отца  Яноша,  математика  Фаркаша  Бояй.  После   смерти   Гаусса выяснилось, что он также  еще  до  Лобачевского  и  Бояй  пришел  к  той  же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в  науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого  столетия  после  появления  работ  Римана,  Кэли, Клейта и Пуанкаре  более  широким  кругом  математиков  стало  ясно,  что  V постулат недоказуем, так как он  не  зависит  от  других  аксиом  евклидовой

геометрии.

Попытки доказательства V  постулата  принесли  большую  пользу  в  том отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот  постулат и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не  зависящих  от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский  математик  Янош  Бояй  назвал «абсолютной»  геометрией.  Все  же  остальные  теоремы,  то  есть  те,   при доказательстве которых мы непосредственно или  косвенно  основываемся  на  V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

К  собственно  евклидовой  геометрии   относятся:   обратная   теорема

параллельных линиях (то есть о том, что при  пересечении  двух  параллельных прямых  третьей  соответственные  углы   равны),   теорема   о   пересечении перпендикуляра  и  наклонной  одной  и  той  же  прямой,   о   сумме   углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема  о  сумме  углов многоугольника).

 На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел   «Параллелограммы и трапеции». В главе «Об окружности»  все  теоремы  о

форме и положении окружности  (за  исключением  теоремы  о  том,  что  через всякие три неколлинеарные точки можно провести окружность и  следствий  этой теоремы). Теорема о зависимости между дугами, хордами и расстояние  хорд  до центра, о взаимном расположении прямой и окружности не опираются на  аксиому параллельных Евклида. Доказательство многих теорем раздела  «О  вписанных  и описанных многоугольниках» существенно основывается  на  приложении  о  том, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не  смежных углов, а это приложение в свою очередь вытекает из  теоремы  о  сумме  углов треугольника – теоремы,  непосредственно  связанной  с  евклидовой  аксиомой параллельных. Теорема  о  том,  что  во  всякий  треугольник  можно  вписать окружность, не требует евклидовой аксиомы параллельных.