Неевклидовые геометрии и их роль в современном мире

Раздел «Подобные фигуры» также построен на аксиоме параллельных,  так как   с   самого   начала   лемма,   доказывающая   существование   подобных треугольников  опирается  на  евклидову  теорию  параллельных,  на   аксиому параллельности  («прямая,  параллельная  какой-нибудь  стороне  треугольника отсекает от него треугольник,  подобный  данному»).  Сюда  относятся  и  все теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге,  в  том  числе  и теорема Пифагора.

В разделе «Правильные многоугольники» теоремы о построении правильных многоугольников циркулем  и  линейкой  опирается  на  аксиому  параллельных, тогда как теорема о том, что около всякого правильного многоугольника  можно описать окружность, принадлежит абсолютной  геометрии.  Теоремы  о  площадях фигур связаны с аксиомой параллельности Евклида, так как единицей  измерения площадей избирается квадрат – понятие евклидовой геометрии.

 В отношении геометрических построений следует  иметь  в  виду,  что  к задачам абсолютной геометрии принадлежит  построение  треугольника  по  трем его  сторонам  или  по  двум  сторонам  и  углу   между   ними,   проведение перпендикуляра из точки  на  прямой  к  данной  прямой.  Не  опираясь  на  V постулат можно  решить  также  задачу  о  проведении  касательной  к  данной окружности из внешней точки. Только в целях упрощения эта задача решается  в учебниках при помощи  аксиомы  параллельных  Евклида.  На  постулат  Евклида опираются  почти  все  задачи,  содержащие  в  условии  понятия  площади   и параллельности.

Два тысячелетия бесплодных усилий и  крушений  всех  попыток  (в  том числе и своей  собственной,  основанной  на  методе  приведения  к  абсурду) доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что  этот  постулат не зависит от  других  аксиом  евклидовой  геометрии,  то  есть  из  них  не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Но если V постулат не зависит  от  других  аксиом,  то  допуская  все

другие аксиомы (абсолютной геометрии),  мы  можем  принять  или  не  принять евклидов постулат.  В  первом  случае  мы  получаем  известную  классическую евклидову  геометрию,  названную  Лобачевским  “употребительной”.  Если же вместо   евклидовой   аксиомы   параллельности   принять   другую,   ей   не эквивалентную,  получим  новую,   неевклидову   геометрию.   Лобачевский   и сформулировал  новую  аксиому  параллельных,  прямопротивоположную   аксиоме Евклида: “Через точку вне прямой можно провести не только  одну  прямую,  не встречающую данной прямой, а по крайней мере две”. Заменив этой  аксиомой  V постулат  Евклида,  Лобачевский  разработал  свою   неевклидову   геометрию, которая  оказалась  такой  же логически  безупречной,  правильной,  как   и геометрия Евклида.

Если из т. С вне прямой АВ опустить на нее перпендикуляр СD  и

построить  перпендикуляр  СN  к  CD,  то  без  помощи  аксиомы  параллельных доказывается, что NN’ || АВ.

Постулат  Евклида  утверждает,  что  из  всех  прямых  плоскости  АВС,

проходящих через т. С, только  одна  прямая  NN’  не  встречает  прямой  АВ.

Отказываясь  от  этой  аксиомы,  Лобачевский  допускает,  что  через  т.   С

проходит по крайней мере еще одна прямая CL  не пересекающая АВ.

Аксиома  Лобачевского  кажется  на  первый   взгляд   странной,   т.к.

противоречит установившимся геометрическим представлениям. Однако при  более глубоком анализе вопроса надо признать, что  в  отличие  от  других  аксиом, касающихся  фигур ограниченных  размеров,  аксиома  параллельности  Евклида относится к неограниченной прямой  и  никогда  не  может  быть  проверена  с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен  лишь  в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL   достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на  расстоянии,  отходящим  за пределы  нашей  планеты.  И  вот  как  раз  в  пределах  определенной  части плоскости, как бы эта часть не была  велика,  можно  провести  через  данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри  круга  любого конечного радиуса существует  множество  «прямых»  (т.е.  хорд),  проходящих через т. С и не встречающих «прямой» АВ, например, CL, CM и другие.

  Таким образом, если отречься от  всяких  предубеждений,  нет  никакого основания считать аксиому Лобачевского “хуже” аксиомы Евклида, в  смысле  ее соответствия  физической  реальности.  Кажущееся   преимущество   евклидовой геометрии,  евклидовой  аксиомы   состоит   в   том,  что   ее   содержание соответствует нашим привычным  представлениям.  Эти  представления,  однако, основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной  части вселенной. Между тем, в истории науки  известны  факты,  когда  более  точно представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных  на наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами,  которые  лучше соответствуют объективному материальному  миру.  Ведь  господствовало  же  у древних представление о том,  что  Земля  плоская.  В  свое  время  казалась невероятной гелиоцентрическая гипотеза  Коперника  для  всех  людей,  веками сжившихся с идеями геоцентрической гипотезы Птоломея.  Известный  английский математик так и писал: «Чем Коперник был для Птоломея, тем  Лобачевский  для Евклида». Между Коперником и Лобачевским любопытная  параллель,  Коперник  и Лобачевский  –  оба  славяне  по  происхождению.  Каждый  из  них   произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти «революции»  имеют  одно  и то же значение.

Причина их грандиозного значения  заключается  в  том,  что  они  суть

революции в нашем понимании космоса…». По поводу этого  сравнения  советский ученый, профессор В.Ф. Каган писал, что «Истины, открытые Лобачевским,  были гораздо глубже скрыты, более неожиданны; их выявление требовало гения  более высокого  ранга»  Гелиоцентрическая  система  Коперника  только   по   иному представила расположение и движение небесных тел в пространстве. Система  же Лобачевского дала новое представление о самом пространстве.

Все вышесказанное – это физическая сторона геометрии. Но сейчас важнее математическая сторона геометрии, ее логическая структура.

ИЗ ИСТОРИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ

ГЕОМЕТРИИ

После работы «О началах геометрии», появились в свет и  другие  произведения Лобачевского по неевклидовой  геометрии:  «Воображаемая  геометрия»  (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым  интегралам»  (1836),  «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»,  опубликованные  в  «Ученых записках  Казанского   университета»   в   1835-1838г.г.,    «Геометрические исследования  по  теории  параллельных»  (опубликованы  впервые  в1840г. В Берлине  на  немецком  языке).  Однако  идеи  Лобачевского  были   настолько революционными и до того опередили свой век,  что  не  могли  быть  понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому  новая  геометрия  не  была признана современниками, была  встречена  с  полным  равнодушием  и  даже  с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или  даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей.  Он   твердо  был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы  можно  было это  доказать,  Лобачевский  предпринимал  астрологические  наблюдения,    и производил  измерения  углов  космических  треугольников,  стороны   которых измерялись расстояниями от Земли до  небесных  тел,  в  надежде  установить, равна ли сумма углов  треугольника  2dили  она  меньше  двух  прямых  углов. Однако,  измерения  не  могли  дать  определенного  результата  в  силу   их

приближенного  характера.  Лобачевский  всю  жизнь  искал  оправдания  своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество  его идей неминуемо.

После того, как стало известно, что Гаусс считал  геометрию  Лобачевского логически вполне правильной, «неевклидова  геометрия»(названная  так  именно Гауссом),  привлекла  к  себе  внимание  многих  математиков.   Произведения Лобачевского и «Appendix» Бояй были переведены на  французский,  итальянский и другие языки. Однако, выявилось много противников неевклидовой  геометрии, которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет  собой сплошную фантазию, нелепость, которая  рано  или  поздно  будет  обнаружена. Положение  коренным  образом  изменилось,   когда   итальянский   математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел  модель для неевклидовой геометрии,  показав  в  своей  работе  «Опыт  интерпретации неевклидовой  геометрии»(1868г.),  что  наряду  с  плоскостями,  на  которых осуществляется  евклидова  геометрия,  и  сферическими   поверхностями,   на которые  действуют  формулы  сферической  геометрии,  существуют   и   такиереальные  поверхности,  названные  им  псевдосферами,  на   которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что  сферу  можно  получить  вращением  полуокружности  вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением  линии  FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси  АВ.Итак,  псевдосфера  –  это поверхность в обыкновенном реальном  пространстве,  на  котором  выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой  планиметрии  Лобачевского.  Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то  легко  усмотреть,  что  сумма его  внутренних  углов  меньше  2d.  Сторона   треугольника   –   это   дуги псевдосферы,  дающие  кратчайшее  расстояние  между  двумя  ее   точками   и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на  плоскости.  Эти  линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго  натянутую  и  политую краской или  мелом  нить,   в  вершинах  треугольника.  Таким  образом,  для планиметрии  Лобачевского  была  найдена  реальная  модель  -   псевдосфера. Формулы новой геометрии  Лобачевского  нашли  конкретное  истолкование.  Ими можно   было   пользоваться,   например,   для   решения  псевдосферических треугольников.

 Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал  интерпретацией (истолкованием)  неевклидовой  геометрии  на  плоскости.   Впоследствии,  с развитием  и  введением   в   математику    аксиоматического   метода,   под интерпретацией (или  моделью) некоторой системы аксиом стали понимать  любое множество объектов, в которых данная система аксиом  находит  свое  реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение  между  которыми полностью совпадают с теми, которые описываются  в  данной  системе  аксиом.

При этом полагают, что если для  некоторой  системы  аксиом  существует  или можно   построить   интерпретацию   (модель),  то   эта   система    аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но  и  любые  теоремы,  на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

Итак,  доказательство  логической  непротиворечивости   той   или   иной геометрии,   можно   свести   к    доказательству    существования    модели соответствующей системы аксиом.

Первой моделью планиметрии Лобачевского была  интерпретация  Бельтрами  в 1868г., к которой позже, но из других соображений и в ином  виде,  пришел  в 1870г. немецкий  математик  Феликс  Клейн. В  качестве  плоскости  Лобачевского, коротко   «плоскость   L»,   принимается   внутренность   некоторого   круга (исключается таким образом его  контур)  на  обычной  евклидовой  плоскости. Прямыми L служат хорды круга, исключая, конечно, их концы. Принадлежность  и между понимаются в  обычном  евклидовом  смысле.  Оказывается,  что  в  этой модели имеют место  все  аксиомы  абсолютной  геометрии,  то  есть,  аксиомы принадлежности, порядка,  конгруэнтности,  непрерывности.  Что  же  касается аксиомы параллельности, то в этой модели имеет место не постулат Евклида,  а именно, аксиома Лобачевского: через  т.  С,  не  лежащую  на  данной  прямой (хорде) АВ, можно  провести  хотя  бы  2  прямые  (хорды),  не  пересекающие данную.  Выполняются, конечно, так же все следствия аксиомы. Так,  например, среди проходящих через данную  точку  расходящихся  прямых  L,  имеются  две предельные CL и    CM, параллельные к АВ  в  смысле  Лобачевского,  так  как разделяют  класс  расходящихся  с  АВ  прямых  от  класса  сходящихся.  Сами параллельные не имеют с АВЫ общих точек, поскольку точки  А и В, лежащие  на окружности, исключены.

Аналогично строится модель Клейна геометрии Лобачевского в  пространстве, принимая внутренность какого-либо шара за пространство L.

Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии  Лобачевского.  Ее аксиомы и теоремы не могут быть  противоречивыми,  так  как  каждой  из  них соответствует факт евклидовой геометрии  внутри  круга  (или  внутри  шара).

Если в геометрии Лобачевского встретились бы две противоречащие  друг  другу теоремы, то, переводя эти теоремы  на  язык  обычной  геометрии  посредством модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими  теоремами в геометрии  Евклида,  то  есть,  построением  модели,  Клейн  показал,  что геометрия  Лобачевского  непротиворечива  в   такой   же   мере,   в   какой непротиворечива геометрия Евклида.

Другую  модель  геометрии  Лобачевского  построил  в  1882г.  Французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912),  применивший  ее  к  решению  некоторых важных задач теории функций комплексного переменного.

Одним  из  важнейших   результатов   открытия   геометрии   Лобачевского (называемой  также   гиперболической   геометрией)   было   развитие   новых неевклидовых  геометрий,  в  первую  очередь,  геометрии  Римана  (в   узком смысле), называемой так  же  эллиптической  геометрией.  В  качестве  модели планиметрии  Римана  может  служить  сфера,   если   считать   каждую   пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку».

   Итак, плоскость  Римана  представлена  Евклидовой  сферой.  На  сфере  нет прямых линий, но имеются так  называемые  большие  окружности,  то есть  окружности  с  центром  в  в  центре   сферы,   которые   в   качестве

геодезических ее линий выполняют на сфере  ту  же  роль,  что  и  прямые  на

плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшие расстояния  между  двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому, как отрезок  прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между двумя  точками  сферы, через которую они проходят, подобно тому, как отрезок  прямой  на  плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки  сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому, как две  точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг  больших  окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости можно  образовать  сферические треугольники,  четырехугольники,  многоугольники.  Одним   словом,   большие окружности сферы – это ее «прямые».  Однако,  наряду  с  некоторыми сходствами, имеется и большое различие между сферической геометрией с  одной стороны  и  геометрией   Евклида   и   Лобачевского   с   другой.   Аксиомы,