Направленные отрезки

Аналогичным образом определяется ориентация векторного пространства . А именно,как известно, любые три некомпланарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому
в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса :

Из координат векторов и можно составить матрицу третьего порядка:

Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, координаты вектора --- второй столбец, а координаты вектора --- третий столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису .
Определение 21.2. Число

называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так:

Так как векторы и линейно независимы, то можно показать, что .

Точно так же проверяются свойства определителей матриц перехода и доказывается, что существуют всего две различные ориентации векторного пространства . В дальнейшем будем считать, что векторное пространство ориентировано и положительную ориентацию определяет правая тройка векторов.

Определение 21.3. Тройка некомпланарных векторов, взятых в данном порядке, называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден из конца третьего совершающимся против (по) часовой стрелке, при условии, что векторы приведены к общему началу.

22 Векторное произведение векторов.

Пусть векторное пространство ориентировано правой тройкой (см. определение 21.3).

Определение 22.1. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и , взятых в данном порядке,
называется вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. , где --- угол между векторами и ;

2. ;

3. --- правая тройка

Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нулевому вектору.

Дадим еще конструктивное определение векторного произведения, то есть укажем способ построения по данным векторам и вектора их векторного произведения .

Предположим, что данные вектора и отложены от некоторой точки . Выполним следующие построения:

1. Через точку проводим плоскость ;

2. Ортогонально проектируем вектор на плоскость и получаем вектор ;

3. Строим вектор ;

4. В плоскости поворачиваем вектор по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ) на и получаем вектор

Нетрудно видеть, что .

Свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение векторов антикоммутативно, т.е.

Доказательство. Непосредственно следует из определения векторного произведения.

2. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения (векторное произведение однородно по каждому аргументу), т.е.

Доказательство. Введем следующие обозначения:

Пусть --- угол между векторами и . Отметим, что . Нам необходимо доказать, . Сначала покажем, что векторы и сонаправлены. Рассмотрим возможные случаи:

(a) Если или хотя бы один из векторов и нулевой, то доказываемое свойство очевидно.

(b) Пусть . Тогда и так как , то . Следовательно, .

(c) Пусть . Тогда и так как , то
. Следовательно, .

Покажем, что . Действительно,

3. Векторное произведение линейно по каждому аргументу, т.е.

Доказательство. Легко усматривается из рисунка, используя конструктивное определение векторного произведения. Действительно, отложим векторы и от одной точки и обозначим через (диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах и выходящая из точки . Далее проектируем параллелограмм, построенный на векторах и , как на сторонах на плоскость , проходящую через точку и перпендикулярную вектору . Получаем параллелограмм со сторонами и , причем вектор проектируется в вектор , являющийся диагональю последнего. Затем "растягиваем" этот параллелограмм в раз и получаем параллелограмм со сторонами и и диагональю . Наконец, поворачиваем последний в плоскости на по часовой стрелке и получаем параллелограмм со сторонами и и диагональю .

Согласно конструктивному определению векторного произведения имеем:
С другой стороны, по правилу сложения векторов имеем Осталось вспомнить, что .

4. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда данные векторы коллинеарны, т.е.

Доказательство. Действительно, пусть

5. Длина вектора векторного произведения двух неколлинеарных векторов и равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Доказательство. Следует из условия 1. определения векторного произведения векторов.

Координатная форма векторного произведения.

ТЕОРЕМА 22.1. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором и . Тогда

Доказательство. Рассмотрим ортонормированный базис , определяющий ориентацию пространства и вычислим векторные произведения базисных векторов. Результаты занесем в таблицу

По определению координат вектора в базисе имеем

поэтому

Используя доказанные свойства векторного произведения, получаем

Используя результаты векторного произведения базисных векторов из таблицы, получим

Нетрудно видеть, что это подробная запись . Теорема доказана.

Приложения векторного произведения.

Вычисление площадей.

Задача 22.1. Пусть треугольник задан координатами своих вершин в декартовой системе координат. Найти площадь треугольника .

Решение. Из свойства 4. векторного произведения векторов получаем, что

Далее по формуле находим

Наконец, используя формулы и , окончательно получаем

 

Если , то есть , то формула приобретает вид:

23 Двойное векторное произведение.

Определение 23.1. Вектор называется двойным векторным произведением.

Отметим, что векторы и компланарны. В самом деле это так, если векторы и коллинеарны. Если же векторы и не коллинеарны, то вектор им перпендикулярен, а вектор , перпендикулярный вектору , будет компланарен с векторами и . Значит, если векторы и неколлинеарны, то вектор можно разложить по векторам и .

Приводимая ниже формула и дает разложение этого вектора по векторам и :

Для доказательства этой формулы введем ортонормированный базис, взяв первый единичный вектор базиса коллинеарным вектору и расположив второй единичный вектор этого базиса перпендикулярно и так, чтобы векторы были компланарны.
Тогда

По формуле последовательно находим

С другой стороны, по формуле имеем

поэтому

Нетрудно проверить, что и в случае коллинеарности векторов и формула дает верный результат.

Отметим еще формулу

Действительно,

24 Смешанное произведение векторов.

Определение 24.1. Смешанным произведением векторов , взятых в указанном порядке, называется число, равное скалярному произведению вектора векторного произведения векторов и на вектор .

Обозначается смешанное произведение векторов через .
Используя данное обозначение, определение смешанного произведения кратко можно записать так:

Докажем теперь теорему, раскрывающую геометрический смысл смешанного произведения трех векторов в пространстве , ориентированном правой тройкой.

ТЕОРЕМА 24.1. Смешанное произведение некомпланарных векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах, и взятого со знаком "", если тройка векторов --- правая, и со знаком "", если тройка --- левая.
Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Доказательство.
По определению смешанного произведения векторов имеем

Далее по определению скалярного произведения получаем, что

где --- угол между векторами и . Используя формулу , получаем , а по свойству 5. векторного произведения имеем . Поэтому

Заметим, что , где --- высота параллелепипеда. Так как --- правая, то:

1. если --- правая, то (см. рис. 1) и

2. если --- левая, то (см. рис. 2) и

3. если --- компланарны, то, очевидно,
и

Свойства смешанного произведения.

1. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак. Циклическая перестановка не меняет знак смешанного произведения.

Доказательство. Действительно, из доказанной теоремы следует, что при любом порядке сомножителей смешанные произведения равны по абсолютной величине. С другой стороны, из определения ориентации пространства следует, что тройки векторов определяют одну
ориентацию пространства, а тройки векторов другую. Поэтому имеем равенства

2. Скалярный множитель при любом аргументе можно выносить за знак смешанного произведения, т.е.

3. Смешанное произведение линейно относительно каждого аргумента, т.е.

Доказательство свойств 2. и 3. следует из аналогичных свойств векторного и скалярного произведений.

4.

Доказательство. В самом деле, по доказанному свойству 1.

5. Для того чтобы смешанное произведение трех векторов равнялось нулю необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны.

Доказательство. Нам нужно доказать только необходимость, поскольку достаточность доказана в теореме 24.1.

Пусть , тогда по определению получаем

Но это возможно только в случаях:

(a) --- компланарны;

(b) --- линейно зависимы, а значит, компланарны;

(c) --- компланарны.

Координатная форма смешанного произведения.

ТЕОРЕМА 24.2. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором и . Тогда

или

 

Доказательство. По определению смешанного произведения векторов имеем

По формуле получаем

Используя формулу , приходим к формуле . Легко видеть, что правая часть формулы есть разложение определителя третьего порядка, стоящего в правой части формулы по элементам третьей строки. Теорема доказана.

Замечание 24.1. Если векторы и заданы относительно произвольного аффинного базиса , то формула приобретает вид:

Следствие 24.1. Для того чтобы векторы и , заданные относительно произвольного аффинного базиса были компланарны необходимо и достаточно, чтобы

Приложения смешанного произведения.

Решим следующую задачу

Задача 24.1. Пусть три ребра тетраэдра (произвольная треугольная пирамида), выходящие из одной вершины совпадают с векторами . Найти объем этого тетраэдра.

Решение. Из школьного курса геометрии известно, что объемы параллелепипеда и пирамиды вычисляются по формулам

Поскольку основанием параллелепипеда является параллелограмм, а oснованием тетраэдра является треугольник, то площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания тетраэдра. Поэтому получаем равенство

Из теоремы 24.1. следует, что , поэтому получаем, что

25 Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.

Определение 25.1. Пусть и два вектора, параллельные некоторой ориентированной плоскости (ориентация
определяется некоторым базисом ).
Площадью ориентированного параллелограмма , построенного на векторах и называется число , определяемое следующим образом:

1. , если базис положительно ориентирован;

2. , если базис отрицательно ориентирован;

3. , если векторы и коллинеарны.

Очевидно, что . Пусть будет единичный вектор, перпендикулярный нашей плоскости и направленный в ту сторону, с которой мы смотрим на нее; тогда . Если тройка векторов правая, то и параллелограмм ориентирован положительно, т.е . Если тройка векторов левая, то и параллелограмм ориентирован отрицательно, т.е . В том и другом случае

Из этого легко усмотреть следующие свойства ориентированной площади

1. .

2. .

3. .

4. .

Зададим теперь векторы и их координатами относительно базиса :

Тогда

В силу свойств ориентированной площади получаем

Учитывая, что и , получим

Обозначим через , т.е. площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах. Тогда получаем, что

Пусть теперь на плоскости задана аффинная система координат .

ТЕОРЕМА 25.1. Площадь треугольника , заданного своими вершинами относительно аффинной системы координат на плоскости вычисляется по формуле

( --- знак модуля или абсолютной величины)

Доказательство. Из предыдущих рассуждений следует, что . Поскольку (см. формулу ), то с учетом получаем

ТЕОРЕМА 25.2. Для того чтобы три точки относительно аффинной системы координат , принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

или

Замечание 25.1. Если заданы метрические коэффициенты базиса , входящего в систему координат , то площадь , как легко видеть, вычисляется по формуле , где . Поэтому формулу можно записать в виде