Направленные отрезки

8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.

В этом параграфе рассматривается произвольное векторное пространство (см. Замечание 5.1.)
Определение 8.1. Пусть дана система векторов

Говорят, что вектор является линейной комбинацией векторов системы с коэффициентами , если справедливо равенство

Говорят еще, что вектор линейно выражается через векторы системы .

Определение 8.2. Векторы системы называются линейно независимыми, если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда все равны нулю.

Отметим, что набор чисел является нулевым тогда и только тогда, когда все числа этого набора равны нулю. В противном случае, набор чисел считается ненулевым.

Определение 8.3. Векторы системы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы один ненулевой набор такой, что имеет место равенство .

Свойства линейной зависимости.

1. Система векторов, содержащая , линейно зависима.

Действительно, справедливо равенство

2. При система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

В самом деле, пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению выполнено равенство , причем, например, . Перепишем это равенство в виде
. Получаем, что является линейной комбинацией векторов .

Обратно, пусть, например, является линейной комбинацией векторов . По определению это означает, что имеем равенство , которое равносильно равенству . Заметим, что набор чисел --- ненулевой, поэтому система векторов линейно зависима.

3. Если подсистема системы векторов линейно зависима,
то и вся система линейно зависима.

Пусть дана система векторов и пусть для определенности первые векторов линейно зависимы. Тогда по определению существует ненулевой набор чисел такой, что имеет место равенство . Но тогда, очевидно, имеет место и равенство
. Для завершения доказательства осталось заметить, что набор чисел также ненулевой.

4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

Доказательство сразу получается методом от противного из доказанного свойства 3.

9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.

В этом параграфе докажем теоремы, раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости векторов пространства .

ТЕОРЕМА 9.1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Пусть --- линейно зависимы. Тогда по свойству 2. линейной зависимости хотя бы один из них является линейной комбинацией других, т.е. . Но по теореме 6.1. в этом случае векторы и коллинеарны.

Обратно, пусть векторы и коллинеарны. Тогда если хотя бы один из них нулевой, то они линейно зависимы по свойству 1., если же они ненулевые, то по теореме 6.1. .
Следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

Следствие 9.1. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы.

ТЕОРЕМА 9.2. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Пусть --- линейно зависимы по свойству 2., например, , а тогда по теореме 7.1. они компланарны.

Обратно, пусть --- компланарны. Возможны следующие случаи:

a). Если какие-нибудь два из них коллинеарны, например, и , то система векторов - линейно зависима по теореме 9.1. Но тогда по свойству 3. система векторов также линейно зависима.

b). Если любые два вектора неколлинеарны, тогда по теореме 7.1 , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

Следствие 9.2. Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

ТЕОРЕМА 9.3. Любая система, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима.

Доказательство. С учетом свойства 2. достаточно рассмотреть систему, состоящую из четырех векторов . Возможны следующие случаи:

a). Если какие-нибудь три из них компланарны по теореме 9.2. они линейно зависимы, а тогда по свойству 3. --- линейно зависимы.

b). Если любые три вектора некомпланарны, тогда по теореме 7.2. , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Определение 10.1. Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная система векторов , которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. Система данных векторов линейно независима.

2. Любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов, т.е.

Нетрудно видеть, что представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса однозначно.
В самом деле, если предположить, что существует еще разложение
, то получим равенство

Поскольку система векторов линейно независима, то все числа .

Определение 10.2. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе .

В этом случае мы будем писать .

Рассмотрим теперь векторное пространство . Докажем несколько теорем о базисе пространства .

ТЕОРЕМА 10.1. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов пространства является его базисом.

Доказательство. По следствию 9.2. такая система векторов линейно независима, а по теореме 7.2. любой вектор пространства является линейной комбинацией трех некомпланарных векторов.

ТЕОРЕМА 10.2. Любой базис пространства состоит из трех векторов.

Доказательство. Пусть --- базис пространства . Он не может содержать более трех векторов по теореме 9.3., так как векторы будут линейно зависимы. Однако он не может содержать менее трех векторов.
Если содержит два вектора , а вектор такой, что --- некомпланарны, то по следствию 9.2. не может быть разложен по векторам и . Тем более один вектор не может служить базисом пространства .

Определение 10.3. Число векторов в любом базисе называется размерностью векторного пространства.

Таким образом, размерность векторного пространства равна трем. Обозначение: .

Различают два вида базисов.

1. Аффинный --- базисные векторы имеют произвольную длину и углы между ними любые. Произвольный аффинный базис мы будем обозначать .

2. Ортонормированный или декартов базис, частный случай аффинного базиса. Этот базис будем обозначать , базисные векторы этого базиса единичные и взаимно перпендикулярные

Замечание 10.1. Поскольку ортонормированный базис есть частный случай аффинного, то всё, что доказано для аффинных базисов справедливо и для ортонормированных, но не наоборот.

Свойства координат вектора.

ТЕОРЕМА 10.3. Пусть --- базис пространства и пусть в этом базисе векторы . Тогда для любых действительных чисел вектор

в базисе .

Доказательство. По определению координат вектора имеем:




Поэтому вектор


Используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, раскроем скобки и получим





Последнее равенство по определению означает, что


в базисе .

Из теоремы 10.3. получаем следующие следствия.

Следствие 10.1. Любая координата суммы (разности) векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 10.2. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Следствие 10.3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

11 Векторные подпространства

Определение 11.1. Пусть --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия:
1. Если и , то .

2. Если , то для любого вещественного числа .

По аналогии с пространством введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства.

Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства не больше, чем три.
Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства и выясним их геометрический смысл.

1. Возьмем два неколлинеарных вектора и пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольные действительные числа.

Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы и , и обозначается . Пусть --- плоскость, которой параллельны векторы и . Докажем, что --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях и векторы и линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор
параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами и , поэтому является линейной комбинацией векторов и , то есть принадлежит множеству .

Векторы и образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства является линейной комбинацией векторов и по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов,
параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства .
Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

2. Возьмем ненулевой вектор пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой .

Вектор является базисом подпространства , поэтому --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства .

3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.

12 Величины направленных отрезков на оси

Определение 12.1. Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.

Замечание 12.1. В данном определении молчаливо предполагается, что выбран некоторый масштабный отрезок для измерения длин.

Дадим определение величины направленного отрезка на оси.

Определение 12.2. Величиной направленного отрезка на оси называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков на оси считаются равными нулю.

ТЕОРЕМА 12.1. (основное тождество для точек оси) Если --- три любые точки оси, то

Доказательство. Предположим, что точки попарно различны. Если точка лежит между точками и , то ; но в этом случае направленные отрезки , и имеют одинаковое направление, следовательно числа , и
имеют один знак, а потому .

Если точка лежит между и , то по доказанному



поскольку . Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи.

13 Основные виды параллельного проектирования

В геометрии рассматриваются следующие три вида параллельного проектирования.

1.Проекция точек плоскости на прямую параллельно прямой .

Пусть на плоскости заданы две пересекающиеся в точке прямые и . Если точка плоскости не лежит на прямой , то проекцией точки на прямую параллельно прямой называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на прямую параллельно прямой называют точку . Если прямые и взаимно перпендикулярны, то рассмотренный вид проектирования оказывается ортогональным проектированием на прямую .

Итак: Ортогональной проекцией точки плоскости на прямую , лежащую в этой плоскости, называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .


2. Проекция точек пространства на плоскость параллельно прямой .

Пусть в пространстве задана плоскость и пересекающая ее в точке прямая . Если точка пространства не лежит на прямой , то проекцией ее на плоскость , параллельно прямой называется точка пересечения плоскости с прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на плоскость параллельно прямой называют точку . Если прямая перпендикулярна плоскости , то рассматриваемый вид проектирования оказывается ортогональным.

Итак: ортогональной проекцией точки на плоскость называется точка пересечения плоскости с прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .



3. Проекция точек пространства на прямую параллельно плоскости .

Пусть в пространстве задана плоскость и пересекающая ее в точке прямая . Если точка пространства не лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую параллельно плоскости называется точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости . Если же точка лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую параллельно плоскости называют точку . Если прямая перпендикулярна плоскости , то проектирование оказывается ортогональным.

                     

Таким образом, ортогональной проекцией точки на прямую называется точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Отметим в заключение, что ортогональное проектирование точки на прямую в пространстве можно определить и так:

ортогональной проекцией точки на прямую называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку и пересекающую прямую под прямым углом.

Нетрудно убедиться в том, что при любом из рассмотренных видов параллельного проектирования отрезок проектируется в отрезок, причем, середина отрезка проектируется в середину.

14 Проекция вектора на ось

Пусть --- ось и --- некоторый вектор. Обозначим через и параллельные проекции точек и на прямую .
Определение 14.1. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка на оси.

Замечание 14.1. Согласно определению 11.1. проекция вектора на ось --- это число, равное длине отрезка , взятое с определенным знаком.

Проекцию вектора на ось будем обозначать через . В случае ортогонального проектирования применяется обозначение . Отметим, что
ортогональное проектирование есть частный случай параллельного, поэтому для него выполняются все свойства параллельного проектирования, но не наоборот.

Кроме того отметим, что проекцию вектора мы определили через проекцию его представителя, поэтому необходимо доказать, что это определение не зависит от выбора представителя. Это доказательство отнесем к свойствам
проекций векторов на ось.

Свойства проекций векторов на ось.
1. Проекции равных векторов равны.( более точно, проекции эквиполентных направленных отрезков равны)

Доказательство. Пусть . Обозначим через:
проекции точек . Так как , то середины отрезков и совпадают и, кроме того, при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в
середину его проекции, следовательно середина отрезка совпадает с серединой отрезка , значит, .

2. Проекция суммы векторов на ось есть сумма проекций слагаемых векторов, т.е.

Доказательство. Пусть тогда
. Обозначим через: проекции точек . Используя основное тождество (см. теорему 12.1.) для точек оси, получим

.

Для завершения доказательства достаточно заметить, что
.

3. Для ортогональной проекции

где --- угол между вектором и осью.

Доказательство. Пусть . Так как проекции равных векторов равны между собой, то можно считать, что вектор отложен от точки оси . Обозначим через проекцию точки на ось. Если вектор ненулевой и угол --- острый, то (см. рис. 1)

Если же вектор ненулевой и угол --- тупой, то (см. рис. 2)

В случае когда вектор или он перпендикулярен оси, формула очевидна.

15 Скалярное произведение векторов

Определение 15.1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать или просто . По определению имеем

где --- угол между векторами и .

Перечислим основные свойства скалярного произведения, разделив их на свойства алгебраические и геометрические.

Алгебраические свойства.

1. Для любых векторов и

т.е. скалярное произведение векторов обладает свойством коммутативности.

Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.