Направленные отрезки

1 Направленные отрезки

Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО ), если учитывается порядок задания его концов.

Пусть и — концы НО. — первый — начало НО, — второй — конец НО. Будем обозначать через направленный отрезок с концами и . Если концы и совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем или .

Определение 1.2. Длиной направленного отрезка будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через . В частности, .

Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными,если прямые и или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Коллинеарные отрезки обозначаются .

Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки и лежат по одну (по разные) стороны от прямой .

Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой , параллельной найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой невырожденный отрезок (лежащий на прямой , параллельной прямой ) имеет одинаковое направление с одним из отрезков и и противоположное сдругим, то направленные отрезки и имеют противоположное направление.

Условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым напраленным отрезком. Одинаково направленные (сонаправленные)отрезки обозначаются , а противоположно направленные .

Определение 1.6. Два направленных отрезка и называются эквиполентными, если

1) ;

2) ;

3) .

Эквиполентные направленные отрезки мы обозначаем .

ЛЕММА 1.1. (признак эквиполентности направленных отрезков)

Необходимым и достаточным условием эквиполентности направленных отрезков и является совпадение середины отрезка с серединой отрезка .

Доказательство необходимости. Дано .Пусть — середина отрезка . Рассмотрим центральную симметрию относительно точки . Совершенно очевидно, что каждый направленный отрезок при центральной симметрии переходит в направленный отрезок , такой, что . Пусть — точка, в которую при преобразовании перейдет точка . Так как точка переходит в точку , то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок и, значит, точки и совпадают, т.е. точка является также и серединой отрезка .

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка совпадает с серединой отрезка . Обозначим их общую середину через . Значит при преобразовании симметрии относительно точки точка перейдет в точку , а точка перейдет в точку , поэтому .

2 Понятие вектора

Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — множество направленных отрезков в пространстве. Отношение эквиполентности на является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет трем условиям:

1) — рефлексивно, т.е. ;

2) — симметрично, т.е. если , то ;

3) — транзитивно, т.е. если и , то .

Из теоремы 2.1. следует, что разбивается отношением на непересекающиеся классы. Получаем фактор-множество .

Элементами множества являются классы эквиполентных между собой направленных отрезков.

Определение 2.1. Вектором или свободным вектором называется множество эквиполентных между собой направленных отрезков.

Пусть — направленный отрезок, тогда класс направленных отрезков эквиполентных ему мы называем вектором и обозначаем . Вектор заполняет все пространство,а — это представитель вектора Векторы мы будем обозначать еще и малыми латинскими буквами . Нулевым направленным отрезком определяется нулевой вектор . Длиной вектора естественно считается длина направленного отрезка (представителя), т.е. . Длина нулевого вектора считается равной нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

Заметим, что запись (читается "вектор равен вектору ") означает, что множество совпадает с множеством , т.е. и --- один и тот же вектор, но по-разному обозначенный. В частности, запись означает, что и --- один и тот же вектор (т.е. что отрезки и эквиполентны).
Имеет место следующая лемма о равенстве векторов.

ЛЕММА 2.1. (признак равенства векторов)

Если , то .

Доказательство. середины отрезков и совпадают (см. Лемму 1.1.). Но тогда середины отрезков и совпадают, значит, (см. Лемму 1.1.) . Другими словами, .

Отложить вектор от точки — значит построить направленный отрезок , входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор

ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки)

Для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что .

Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть — представитель вектора . Построим середину отрезка точку . Далее строим точку , симметричную точке относительно точки . Точка искомая, так как середины отрезков и совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, чтосуществует еще одна точка такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки и совпадают.

Определение 2.2. Говорят, что вектор параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.

Определение 2.3. Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).

Очевидно, что если , то они либо сонаправлены (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители) . Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору .

Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и — его представитель,тогда вектор . Вектор

называется противоположным к вектору

и обозначается .

Очевидно, что противоположен вектору , т.е.

.

3 Сложение векторов

Определение 3.1. Суммой двух векторов и называется вектор , где , , — произвольная точка, — точки, полученные после откладывания векторов и .

Покажем, что сумма векторов не зависит от выбора точки .

Действительно, пусть --- любая точка, отличная от точки . Строим векторы . Докажем, что .

Так как и , то по лемме 2.1. и , то есть . Следовательно, по той же лемме
.

Замечание 3.1. Для нахождения суммы неколлинеарных векторов приходится строить треугольник . Поэтому правило сложения векторов называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек справедливо равенство

В частности, это правило справедливо и для коллинеарных точек.

Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов справедливы следующие равенства:

1. --- коммутативность сложения векторов.

2. --- ассоциативность сложения векторов.

3. .

4. .

Доказательство.

1. Пусть и --- произвольные векторы. От какой-нибудь точки отложим векторы , а затем от точки отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е. .

По правилу треугольника и , следовательно, . Отсюда получаем, что .

2. Пусть и --- произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку и отложим последовательно векторы
.
По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое.

3. Применим правило к точкам получим
.

Значит, .

4. Применим правило к точкам получим
.
Значит, .

Замечание 3.2.

1. Суммой векторов и будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что
:

.

2. Аналогично можно определить сумму векторов, где . Пусть --- произвольные векторы. Их суммой называется вектор , и обозначается так: .
Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково:
Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего.
Нетрудно убедиться в том, что сумма векторов не зависит от порядка слагаемых.

3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма:
Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.

4 Разность векторов.

Определение 4.1. Разностью векторов и , взятых в данном порядке, называется такой вектор , который в сумме со вторым вектором дает первый вектор.

Докажем существование и единственность разности.
Существование. Отложим векторы и от одной и той же точки :

Применяя равенство для точек получаем

Полагая , будем иметь . Этим доказано существование разности.
Единственность. Пусть существует еще вектор такой, что . Тогда . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор . Получим





Таким образом, доказано существование и единственность разности любых двух векторов, при этом эта разность обозначается .
Замечание 4.1. Из доказательства существования разности векторов можно сформулировать правило нахождения разности двух векторов:

Разностью двух данных векторов, отложенных из одной точки является вектор, идущий из конца второго в конец первого.

Отметим еще равенство

В самом деле,
 

5 Умножение вектора на число.

Определение 5.1. Произведением вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет двум условиям:

1. ;

2. , если и
, если .

Из условия 1. следует, что тогда и только тогда, когда или .

В дальнейшем вместо записи будем употреблять запись

Напомним определение гомотетии, известное из школьного курса геометрии.
Определение 5.2. Гомотетией с центром в точке и коэффициентом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка такая, что выполнены следующие условия:

1. точки лежат на одной прямой;

2. ;

3. , если и
, если .

Предварительно докажем одну лемму.

ЛЕММА 5.1. Если при гомотетии с центром в точке и коэффициентом треугольник переходит
в треугольник , то .

Доказательство. По определению гомотетии имеем и , поэтому подобен с коэффициентом . Отсюда следует, что и . Если , то точки и лежат по одну сторону от прямой , поэтому , следовательно, . Если , то точки и лежат по разные стороны от прямой , поэтому , т.е. и в этом случае .

Свойства умножения вектора на число.

ТЕОРЕМА 5.1. Для произвольных чисел и векторов справедливы следующие равенства:

1. и .

2. .

3. .

4. .

Доказательство. Справедливость равенства 1. сразу следует из определения произведения вектора на число.

Заметим, что если хотя бы одно из чисел равно нулю или хотя бы один из векторов нулевой, то справедливость остальных равенств очевидна. Поэтому приводим доказательство свойств 2,3.4 при условии, что .


2. Обозначим через и . По определению произведения вектора на число имеем





Отсюда следует, что . Докажем теперь, что . Возможны два случая: или . Рассмотрим первый случай. Так как , то . С другой стороны, если (), то по определению произведения вектора на число



Значит в первом случае .

Аналогично, рассматривая второй случай , убеждаемся, что . Следовательно, и свойство 2. доказано.

3. Отложим от какой-нибудь точки вектор , а затем от точки --- вектор . По правилу треугольника , т.е . Рассмотрим гомотетию с коэффициентом и с центром в некоторой точке , не лежащей на прямых и . Пусть точки при этой гомотетии переходят в точки соответственно. По лемме 5.1.

или . С другой стороны, по правилу треугольника , т.е. .


4. Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай. .
От некоторой точки отложим вектор , а затем от точки --- вектор . По определению произведения вектора на число получаем, что
. Так как , то , поэтому точка лежит между точками и , следовательно, или . Но числа и имеют одинаковые знаки, поэтому . Таким образом,


Векторы и одинаково направлены, если , т.е. , и противоположно направлены, если , т.е. . Учитывая равенство , получаем . С другой стороны, .

Второй случай. .
Если (то есть ), то левая часть доказываемого равенства есть нуль-вектор. Но и правая часть равна нулевому вектору.
Пусть теперь . Так числа и имеют разные знаки, то либо и , либо и имеют один и тот же знак. Пусть, например,
и имеют один и тот же знак. Тогда по доказанному первому случаю:


или после очевидных действий

.
Доказательство теоремы закончено.

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Замечание 5.1. В курсе алгебры дается следующее определение векторного пространства над множеством действительных чисел.

Пусть --- непустое множество, элементы которого называются векторами и пусть на этом множестве определены две операции сложения и умножение вектора на действительное число. Если эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

1. Для любых векторов :


2. Для любых векторов :


3. Существует вектор (нуль-вектор) такой, что для любого вектора


4. Для каждого вектора существует вектор



5. Для любого вектора


6. Для любых действительных чисел и любого вектора


7. Для любых действительных чисел и любого вектора


8. Для любого числа и любых векторов и
,

то называется векторным пространством над множеством действительных чисел.

Отметим, что с выше определенными линейными операциями является векторным пространством над множеством действительных чисел (говорят, что построена конкретная реализация векторного пространства, т.е. указано строение множества и конкретно определены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число). В дальнейшем иногда мы будем давать определения понятий для произвольного векторного пространства, которое будет обозначаться через и выяснять геометрический смысл этого понятия или его особенности для пространства .

6 Признак коллинеарности векторов.

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть . Тогда


Доказательство необходимости. Существование докажем конструктивно, т.е. укажем число удовлетворяющее
условиям теоремы. Положим



Легко проверить, что векторы и имеют одинаковые длины и направления. Следовательно, .
Докажем теперь единственность. Пусть существует еще число такое, что . Тогда имеем равенство


так как .

Доказательство достаточности. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число.

7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.

Определение 7.1. Вектор называется параллельным плоскости , если прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней. Нулевой вектор параллелен любой плоскости.

Определение 7.2. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть векторы такие, что неколлинеарен . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют и определены однозначно числа и такие, что выполняется равенство .

Доказательство необходимости. Существование. От произвольной точки отложим векторы и . Так как векторы компланарны, то точки лежат в одной плоскости, а точки не лежат на одной прямой ( неколлинеарен ). Рассмотрим возможные случаи расположения точки .

1. не лежит на прямых и .Через точку проведем прямые параллельные прямым и соответственно, где .

По правилу параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов имеем . Но точки , значит . По теореме 6.1. получаем, что , т.е. .

2. . В этом случае и по теореме 6.1. получаем, что . Полагая , снова приходим к требуемому равенству.

3. . Этот случай рассматривается аналогично случаю 2.

Итак, существование чисел и доказано. Переходим к доказательству их единственности. Предположим, что существуют еще числа и , удовлетворяющие условию теоремы. Тогда имеем равенство



Если бы , то имело бы место равенство



из которого следовало бы по теореме 6.1., что . Но это противоречит условию. Следовательно, . Аналогично можно доказать, что . Необходимость доказана.

Доказательство достаточности. Пусть имеет место равенство . Отложим от некоторой точки вектор , затем от точки вектор . Тогда . Рассмотрим плоскость, содержащую три точки , обозначим ее через . Тогда получаем, что векторы параллельны этой плоскости. Но тогда плоскости параллельны также векторы , т.е. они компланарны по определению. Теорема доказана полностью.

Для дальнейшего изложения нам потребуется еще одна теорема, доказательство которой предлагаем провести самостоятельно в полной аналогии с доказательством теоремы 7.1.
ТЕОРЕМА 7.2. Если векторы некомпланарны, то для любого вектора имеет место равенство