Методические особенности изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии

• Сумма углов треугольника
• Соотношение между сторонами и углами
• Построение треугольника по трём элементам

5. Окружность

• Взаимное расположение прямой и окружности
• Угловая величина дуги окружности

6. Построения циркулем и линейкой

В 7 классе школьники постепенно подбираются к возможности изучения замечательных точек треугольника,более подробно изучая треугольник, также его свойства, медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Тем самым закладывается необходимая основа для дальнейшего изучения замечательных точек треугольника.

8 класс

1. Четырёхугольники

• Многоугольники

• Параллелограмм, трапеция, их свойства
• Квадрат, ромб, прямоугольник
• Осевая и центральная симметрия

2. Площадь

• Площадь многоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции
• Теорема Пифагора

3. Подобие

• Подобные треугольники
• 3 признака подобия треугольников
• Применение подобия к доказательству теорем и решение задач
• Подобные многоугольники

 

4. Окружность

• Касательная к окружности

• Центральные и вписанные углы
• 4 замечательные точки треугольника
• Вписанная и описанная окружность

5. Векторы

• Понятие вектора
• Сложение, вычитание векторов
• Умножение векторов на число
• Применение векторов

На данном этапе изучения геометрии для нас наибольший интерес представляют темы«Площадь» и «Подобие», так как они играют важную роль при доказательстве  многих  теорем, связанных с замечательными точками.  Тема «Замечательные точки треугольника» расширяется до рассмотрения 4 точек (точки пересечения медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров).

9 класс

1. Метод координат

• Координаты вектора

• Простейшие задачи в координатах
• Уравнения окружности и прямой

2. Соотношения между сторонами и углами треугольника и скалярное произведение векторов

• Синус, косинус, тангенс угла
• Соотношения между сторонами и углами треугольника
• Скалярное произведение векторов

3. Длина окружности и площадь круга

• Правильные многоугольники
• Длина окружности и площадь круга

4. Движения

• Понятие движения
• Параллельный перенос и поворот

5. Начальные сведения из стереометрии

• Многогранники
• Тела и поверхности вращения

В 9 классе школьники  имеют возможность  углубить сведения о замечательных  точках треугольника с помощью  понятий  длины окружности и площади круга  и тригонометрических функций ( синус, косинус, тангенс)

Поэтому более детальное и углубленное  изучение темы «Замечательные точки  треугольника» возможно именно в  курсе планиметрии 9 класса.

2.2.Методические особенности изучения темы «Окружность Эйлера».

Введение понятия «окружность Эйлера» или «окружность девяти точек» способствует обобщению, углублению и систематизации знаний по замечательным точкам треугольника, поэтому изучение свойств этой замечательной окружности целесообразно рассматривать в курсе планиметрии в 9 классе.

Окружность  Эйлера является основой для изучения остальных замечательных точек  треугольника.

Существуют  различные подходы в изложении  материала. При классическом изложении  сначала вводится определение окружности Эйлера, формулируется и доказывается теорема об окружности девяти точек, решаются задачи на закрепление изученных  понятий. Это традиционный, но не самый  удачный путь для развития геометрических представлений учащихся. Он не показывает красоты и глубины взаимосвязей этого уникального геометрического  объекта с другими свойствами треугольника.

Более качественное понимание материала учащимися может обеспечить следующий подход к изложению материала: изучение свойств треугольников, вписанных в данный треугольник; сравнительный анализ свойств замечательных точек данного и вписанных треугольников; введение понятия «окружность Эйлера»; обобщение свойств окружности девяти точек; решение задач, расширяющих изученные понятия. Целью этого подхода является не столько изучение «окружности девяти точек», а сколько установление новых взаимосвязей между элементами треугольника уже известными школьнику. Для этого подробно раскроем основные этапы изучения понятия «окружность Эйлера».

Проведя ранее в пункте 2.1 анализ содержания ранее изученного материала по замечательным отрезкам и точкам треугольника, можно заметить, в 7 классе учащиеся изучают определения медианы, высоты, серединного перпендикуляра и биссектрисы треугольника, свойства медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров равнобедренного треугольника; в 8 классе доказывают, что: медианы (биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры) треугольника пересекаются в одной точке,точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности этого треугольника,точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности треугольника.

Как правило, затруднения учащихся связанны с  нахождением центров вписанной  и описанной окружностей. Например, какая из замечательных точек  является центром описанной окружности? Неверный ответ приводит к неверному  построению рисунка к задаче, к  неверным посылкам в решении, — что, несомненно, мешает решению задачи. Учащиеся испытывают затруднения с  нахождением замечательных точек  в прямоугольном и тупоугольном треугольниках.

Для повышения  интереса и углубления знаний учащихся можно рассказать о том, что точку  пересечения медиан называют центром  тяжести (центроидом) треугольника . Точку пересечения высот треугольника называют ортоцентром. Желательно ввести общепринятые обозначения замечательных точек. В книгах по элементарной планиметрии чаще всего обозначают: центроид  G, ортоцентр Н, центр описанной окружностиО, центр вписанной окружности I.

Задача 42.  Постройте три произвольных  треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. С помощью циркуля и линейки найдите ортоцентр, центроид и центр описанной окружности каждого треугольника [7].

Это задание способствует:

•  актуализации ранее изученных определений и свойств замечательных точек и отрезков треугольника;

•  развитию представлений о расположении замечательных точек в различных треугольниках;

•  актуализации решения задач на построение, в частности элементарных задач (деление отрезка пополам; построение перпендикуляра из точки, принадлежащей и не принадлежащей прямой);

На основе выполненных  построений учащиеся и учитель должны провести анализ расположения замечательных  точек в каждом треугольнике.

Перечислим свойства, на которые необходимо обратить внимание при обсуждении проведенных построений:

1) для нахождения любой  замечательной точки достаточно  построения двух замечательных  отрезков (на рис. 23, 24 и 25 для нахождения ортоцентра Н проведены высоты только из вершинА и В, что следует по теореме о пересечении высот треугольника в одной точке);

Рис.23.

Рис.24.

Рис.25. 

2) в остроугольном треугольнике  все замечательные точки лежат  внутри треугольника (рис. 23);

3) в прямоугольном треугольнике  ортоцентр Н находится в вершине прямого угла, а центр описанной окружностиО делит гипотенузу пополам (рис. 24);

4) в тупоугольном треугольнике  ортоцентр Н и центр описанной окружностиО лежат вне треугольника, но в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей наибольшую сторону АС (рис. 25);

5) при верном построении  замечательные точки Н, О и G должны лежать на одной прямой (можно рассказать о том, что эта прямая называется прямой Эйлера, и центр тяжести G делит отрезок НО в отношении 2 : 1);

6) свойства 2, 3 и 4 позволяют  показать динамику изменения  положений точекО и Н, в зависимости от меры угла (рис. 26 и 27). Этот анализ хорошо проводить на интерактивной доске.

Рис.26.

Рис.27.

 

На рис.26 в остроугольном  треугольнике АВ₁С движение вершины В₁ вдоль высоты по направлению к основанию АС приводит к увеличению угла В₁; при этом  ортоцентр Н₁ треугольника АВ₁С перейдет в ортоцентр Н₂ прямоугольного треугольника АВ₂С, и далее — в ортоцентр Н₃ тупоугольного треугольника АВ₃С.

При аналогичном изменении  треугольника на рис. 27 в остроугольном  треугольнике АВ₁С центр описанной окружности О₁ треугольника АВ₁С перейдет в центр описанной окружности О₂прямоугольного треугольника АВ₂С, и далее — в центр О₃  тупоугольного треугольника АВ₃С.

2.2.1.Формирование понятия «окружность Эйлера», ее определение и свойства

Формирование понятия  «окружность Эйлера» лучше связать с изучением свойств треугольников, вписанных в данный треугольник АВС (рис.28):

 

Рис.28.

 

-треугольника А₁В₁С₁, где А₁, В₁, С₁ — середины ВС, АС и АВ;

- треугольника А₃В₃С₃, где А₃, В₃, С₃ — середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника АВС;

- треугольника А₂В₂С₂, где А₂, В₂, С₂ — основания высот, опущенных на ВС, АС и АВ.

Такой подход в изучении окружности Эйлера позволит:

•    провести сравнительный анализ расположения замечательных точек в данном и вписанных треугольниках;

•    углубить знания о треугольнике и его замечательных точках (найти подобные треугольники, вывести новые свойства расположения замечательных точек на прямой Эйлера и др.).

Большая часть задач, представленных на этом этапе изучения окружности Эйлера, предполагает построение достаточно сложных и точных рисунков. Важное место занимает использование одинаковых обозначений элементов треугольников  на всех этапах построения или доказательства. Для удобства рекомендуется подготовить  для всех учащихся одинаковые бланки с вспомогательными рисунками:

- к задаче 43 на бланке нарисовать остроугольный треугольник АВС, ортоцентр Н, центр описанной окружностиО и вписанный треугольник А₁В₁С₁;

- к задаче 44 — тот же треугольник АВС, высоты из вершиныВ и А, ортоцентр Н, центр описанной окружности О и вписанный треугольник А₃В₃С₃;

- к сравнительному анализу  вписанных треугольников А₁В₁С₁ и А₃В₃С₃ — тот же треугольник АВС, высоты из вершиныВ и А, ортоцентр Н, центр описанной окружности О и вписанные треугольники А₁В₁С₁ и А₃В₃С₃;