Методические особенности изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

Ульяновский Государственный Университет

 

 

Факультет  Математики и Информационных технологий

 

Кафедра          Алгебро-геометрических вычислений

 

 

Работа допущена к защите

 

Зав. кафедрой  Мищенко С.П.

(Ф.И.О)

 

                                                                                                                ___________________                                                                                                                                                   

                                                                                                                             (подпись)

 

                                                                                                                ___________________                                                                                                                                     

                                                                                                                               ( дата )

 

 

Д И П Л О М Н А Я    Р А Б О Т А

 

Методические  особенности изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии

--------------------------------------------------------------------------------------------------

(название темы)

Математика  01.01.01

            --------------------------------------------------------------------------------------

(наименование и номер специальности)

 

 

Проект выполнил студент      МА-О-08/1         _____________             Бунаков Н.А.

                                                                  группа                        подпись, дата                            Ф.И.О.

 

Научный руководитель    кандидат ф-м. н.        _____________          Кругликова О.П.

                                                               должность                          подпись, дата                           Ф.И.О.

 

Рецензент             кандидат ф-м. н.      ____________             СкораяТ.В.

                                         должность                         подпись, дата                        Ф.И.О.

 

 

 

У Л Ь Я Н О В С К

2013 г.

Оглавление

 

Введение 3

Глава 1. Теоретические основы по замечательным точкам треугольника и комплекс задач. 4

1.1. Замечательные точки треугольника, история и общая информация. 4

1.2. Замечательные  точки треугольника, изучаемые в  школе. 7

1.2.1. Точка  пересечения высот (ортоцентр). 9

1.2.2. Точка  пересечения биссектрис (ицентр). 11

1.2.3. Расстояние  от вершины до ортоцентра и  ицентра треугольника. 12

1.2.4. Расстояние  между замечательными точками. 13

1.3.  Замечательные  точки треугольника, не изучаемые  в школе. 21

1.3.1. Прямая  Эйлера и окружность Эйлера (окружность  девяти точек). 21

1.3.2. Теорема  Лейбница. Теорема Чевы. Точка Жергонна. Точка Нагеля. 27

1.3.3. Точка  Лемуана. Точка Ферма. Точка  Торричелли. Первая и вторая точки  Брокара. 33

1.3.4. Точка  Микеля. 39

1.3.5. Треугольники  Наполеона. 41

Глава 2. Методические возможности изучения темы «Замечательные точки треугольника» в школьном курсе планиметрии в 7-9 классах. 46

2.1. Логико-дидактический  анализ темы «Замечательные точки   треугольника» в школьном курсе планиметрии в 7-9 классах. 46

2.2. Методические  особенности изучения темы «Окружность  Эйлера». 50

2.2.1. Формирование  понятия «окружность Эйлера»,  ее определение и свойства 56

2.3. Тематическое  планирование темы «Замечательные  точки треугольника» в школьном  курсе планиметрии в 9 классе. 69

Заключение 71

Список литературы 72

 

 

Введение

Треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и  знает все свойства треугольника.

Изучение  школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии  треугольника. Одной из граней изучения треугольника как объекта являются сведения, относящиеся к геометрии  замечательных точек треугольника. Причем при подборе этого материала  не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, предусмотренными в школьной программе Государственным  образовательным стандартом, такими как центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис), центр описанной окружности (точка  пересечения серединных перпендикуляров), точка пересечения медиан, точка  пересечения высот. Но для глубокого  проникновения в природу треугольника и постижения его неисчерпаемости  необходимо иметь представление  и о других  замечательных точках треугольника. Это  не означает, что  всем школьникам на уроках геометрии  необходимо сообщать  про точку  Ферма или точку Жергона; но любой школьник должен иметь принципиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей – через факультативные занятия либо самостоятельно.

В виду вышесказанного, в данной дипломной работе обращается внимание не столько на тех сведениях, которые  есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколько  на том, чего в них нет – это, прежде всего, замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе.

Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данного дипломного исследования.

 

 

 

 

Цель дипломной работы:

систематизировать геометрический материал  о замечательных точках треугольника как изучаемых, так и не изучаемых в школьном курсе планиметрии;

В связи  с достижением цели возникла необходимость  в решении следующих задач:

1. проанализировать возможности углубленного изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии в 7-9 классах.
2. упорядочить систему задач по теме, выделив опорные задачи, являющиеся основой для решения последующих задач
3. разработать факультативный курс по замечательным точкам на примере окружности Эйлера.

Глава 1. Теоретические основы по замечательным точкам треугольника и комплекс задач.

1. Замечательные точки треугольника, история и общая информация.

Свойства  треугольника были хорошо изучены еще  в древности греками.

В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения  вытекает, что три биссектрисы  внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида  вытекает, что перпендикуляры, восстановленные  к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке  – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три  высоты треугольника пересекаются в  одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.Неизвестно, сам Евклид или кто-нибудь до него сделал открытия в области геометрии замечательных точек треугольника. Известно лишь, что в «Началах» Евклида излагается материал о центрах вписанной и описанной окружностей, точек пересечения медиан, высот и биссектрис. Есть основания полагать, что греки до Евклида обладали этими знаниями, а Евклид их просто систематизировал и включил в «Начала» для полноты изложения материала [15].        

На вышеназванные  четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника".

Начало открытий замечательных  точек треугольника, не изучаемых  в школе, положил в 17 веке Джованни Чева (1648 - 1734) – итальянский математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении "О взаимнопересекающихся прямых" [16]. Во-первых, его теорема (знаменитая теорема Чевы) сама по себе представляет ценность, во-вторых, ее применение позволило открыть свойства замечательных точек треугольника, известных как точки Нагеля и Жергонна.

Следующим продвижением в истории математики является доказательство Готфридом  Лейбницем теоремы о пересечении  медиан в 1701 году в Берлине.В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера". В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.

В 19 веке появляется публикация молодого французского математика Ферма расчетов, связанных  с минимальным суммарным расстоянием  до вершин треугольника [4, 12, 16-20].

Уже в  конце 19 века Брокар, Нагель и Торричелли, изучая труды Ферма и применяя теорему Чевы, замечают неопубликованные ранее никем некоторые свойства точки Ферма [4, 18].

В итоге  центральное место в геометрии треугольника занимают так называемые замечательные точки, ими являются:

1. Точки пересечения:
• медиан—центроид, центр тяжести.
• биссектрис — инцентр, центр вписанной окружности.
• высот — ортоцентр.
• серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.
• симедиан — точка Лемуана.
• перпендикуляров, восстановленных из вершин правильного, вписанного в исходный треугольник, — точка Аполония.
• биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — точка Шпикера.
2. Точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
• c точками касания противоположных сторон и вписанной окружности — точка Жергона.
• c точками касания противоположных сторон и вневписанной окружности — точка Нагеля.
• c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника — точка Ферма, если в треугольнике ни один из углов не превосходит 120°, то точка Торричелли существует и совпадает с точкой Ферма.
• c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — точки Брокара.
3. Центр окружности девяти точек [14].

1.2. Замечательные  точки треугольника, изучаемые в  школе.

Всем  известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в  одной точке – центре вписанной  в этот треугольник окружности. Также  в одной точке пересекаются медианы  и высоты треугольника, серединные перпендикуляры к его сторонам. Все  точки, получающиеся в результате пересечения  перечисленных наборов из трех прямых, назовем замечательными – замечательное  в них, прежде всего то, что три  различные прямые на плоскости, как  правило, пересекаются в трех различных  точках, а не в одной.

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий его вершину с серединой противолежащей стороны. Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, делящей угол при вершине на две равные части. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Конец любого из этих отрезков, противолежащий вершине, из которой проведен отрезок, называется основанием.

Каждый  треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты, причем каждая тройка прямых пересекается в одной точке. Эти точки, вообще говоря, отличны друг от друга, однако для правильного треугольника совпадают  с его центром.

Основное свойство медиан: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Мы будем обозначать эту  точку буквой М. Ее также называютцентроидом или центроммасстреугольника.

Медиана разбивает треугольник на два  равновеликих, то есть имеющих одинаковую площадь.

Три медианы  разбивают треугольник на шесть  равновеликих.

Отрезки, соединяющие точку пересечения  медиан с вершинами треугольника, разбивают треугольник на три  равновеликие части.

Основное свойство биссектрис:точка пересечения – центр вписанной окружности.

Биссектриса внутреннего  угла треугольника есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Две биссектрисы обязательно пересекутся в одной точке.

Эта точка будет равноудалена от сторон углаА и от сторон угла В и, следовательно, от сторон угла С. Это означает, что точка I лежит также и на третьей биссектрисе и равноудалена от всех трех сторон треугольника – то есть является центром вписанной в него окружности.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.