Беттер сызбасы

Бетті және оның жазбасын нүктелер жиыны ретінде қарастырсақ, бұл  екі жиынның арасында өзара бірмәнді сәйкестіліктің пайда болғанын көреміз. Толықтырып айтқанда, беттің кез келген нүктесіне жазбаның тек бір ғана сызығы сәйкес және керісінше.

Бұл сәйкестіктің мынадай маңызды қасиеттері бар (16-сызба):

1. беттің және оның жазбасының өзара сәйкес сызықтарының

ұзындықтары бір-біріне тең  болады, яғни бетті жазықтыққа жазғанда оның сызықтарының ұзындықтары өзгермей сақталып қалады.

2. Жазбаның кез келген екі сызығының арасындағы бұрыш беттің

сәйкес сызықтарының арасындағы бұрышқа тең.

Беттің тұйық сызығы және жазбаның оған сәйкес тұйық сызығы бірдей аудандарды қоршайды. Сондықтан  қисық беттің ауданы оның жазбасының ауданына тең.

Жазбаның бірінші қасиеті  бетті созылмайтын және сығылмайтын  жұқа қабық деп қарастыруымыздың нәтижесі екеніне көз жеткізу  қиын емес. Шынында да, егер бет созылмайтын  және сығылмайтын болса, ол бетті  жазғанда оған салынған сызықтың ұзарып немесе қысқаруы мүмкін емес. Ал қалған екі қасиетті бірінші қасиетке сүйене отырып дәлелдеуге болады. Осы себепті  бірінші қасиетті ең басты шарт деп  қарастыруымыз керек. Бұл үш қасиетті біріктіріп қысқаша былай айтуымызға болады: жазбада бет сызықтарының ұзындықтары, олардың арасындағы бұрыштардың шамалары және тұйық сызықтармен қоршалған аудандарының шамалары сақталады. Осы негізгі үш қасиеттің салдары болатын жазбаның тағы да маңызды екі ерекшелігін көрсетелік.

Беттің түзу сызығы жазбаның түзу сызығына өзгереді. Бұл пікірдің дұрыстығына көз жеткізу үшін беттің А және В нүктелері өзара  бірнеше сызықтармен жалғастырылған делік. Олардың бірі (АВ) түзу сызығы болсын. Бұл екі нүктеге жазбада  А₀ және В₀ нүктелері сәйкес, оларды қосатын қисық сызықтарға қисық сызықтар сәйкес болады. Бұл қисық сызықтардың ұзындықтары сақталуы тиіс. Ал [AB] кесіндісі А және В нүктелерінің ең қысқа аралығы, оған сәйкес А₀В₀ сызығы да жазықтықтағы А₀ және В₀ нүктелерінің ең қысқа аралығы болуы тиіс. Бұл А₀В₀ сызығы түзу сызық болу керек деген сөз. Бірақ керісінше айтуға болмайды, яғни жазбаның түзу сызығына беттің түзу сызығы сәйкес бола бермейді.

Беттің параллель түзулері жазбаның параллель түзулеріне өзгереді. Мұндай қорытынды беттің сызықтарының арасындағы бұрыштардың шамасының  сақталатындығынан келіп туады.

 

Жазылатын беттердің  жазбалары

Торс пен конустық беттердің  жазбаларын триангуляция әдісімен салады. Цилиндрлік беттің жазбасын көбіне нормаль қима әдісімен тұрғызады.

17-сызбада берілген көлбеу конустың жазбасын салу керек. Конусқа іштей табаны дұрыс он екі бұрыш болатын пирамида сызамыз. Сөйтіп конусты пирамидамен алмастыралық. Пирамиданың жақтарының саны неғұрлым көп болған сайын дәлдік арта түседі. Конустың табаны горизонталь жазықтықта жатқандықтан пирамиданың табан қырлары П₂ жазықтығына натурал шамаларын сақтап проекцияланған: │АВ│═│ А₂В₂│; │ВС│═│ В₂С₂│; ...; │ F К│═│ F ₂К₂│. Бүйір қырларының тек екеуі П₁ жазықтығына бұрмаланбай проекцияланған: │АS│═│А₁S₁│және │КS│═│К₁S₁│. Пирамиданың қалған бүйір қырларының ұзындықтары айналдыру әдісімен табылған. │ВS│═│В₁S₁│; │СS│═│С₁S₁│; ... ; │FS│═│F₁S₁│.

Қалауымызша түзу алып, ол түзудің  бойында [A₀S₀] кесіндісін саламыз (│A₀S₀│═│ A₁S₁│). Бұл кесіндіні А₀В₀ S₀ үшбұрышына толықтырамыз: │A₀В₀│═│ A₂В₂│ және │В₀S₀│═│ В₁S₁│. Сонда ∆А₀В₀ S₀ пирамиданың бір жағы АВS үшбұрышының жазбасы болады. Дәл осы сияқты барлық жақтарын біріне-бірін тіркестіре салып, А₀, В₀, ... нүктелерін жатық қисықпен қосамыз.

Жазбаның Х₀ нүктесіне көңіл аудара кеткен жөн. Бұл нүкте А₀, В₀, ... нүктелер жиыны анықтайтын қисық сызықтың бұрылу нүктесі. Осы бұрылу нүктесін табу үшін S₂ нүктесінен конус табанының горизонталь проекциясы болатын шеңберге жанама жүргізу керек. Жазбаның Х₀ нүктесіне горизонталь проекцияда жанасу нүктесі Х₂ сәйкес болады.

 

Жазылмайтын беттердің  жазбалары 

Жазылмайтын беттердің дәл  жазбалары болмайды. Бірақ, іс жүзінде  жазылмайтын беттердің де «жазбаларын» салуға тура келеді. Әрине, мұндай жазбаны шартты түрде жуықтап қана сала аламыз.

Егер жазылмайтын бет  түзу сызықты бетке жататын болса, жазбасын салу үшін мұндай бетті жақтары  үшбұрыштар болатын көп жақты  бетпен аппроксимацияланады (алмастырады). Содан кейін үшбұрыштар әдісін қолдануға  болады.

Айналу бетінің жазбасын салу үшін оны цилиндрлік беттермен  аппроксимациялайды, ал цилиндрлік беттердің  жазбаларын нормаль қима әдісімен тұрғызады.

1-мысал. Бағыттаушылары  – (АВ) және (СD) түзулері, параллелизм жазықтығы – П₂ болатын гиперболалық параболоидтың φ ( (АВ), (С D), П₂) берілген [AB] және [СD] кесінділері шектейтін бөлігінің жазбасын салу керек (18-сызба).

Сызбада параллелизм жазықтығы  көрсетілмеген, (АВ) П₂ және (СD) П₁. Берілген қиғаш жазықтықтың бағыттаушылары жалпы жағдайда орналасса, эпюрді түрлендіріп осындай жағдайға келтіріп алуға болады.

Гиперболалық параболоидтың  жасаушыларын жүргіземіз. Алдымен жасаушылардың  фронталь проекциялары [A₁D₁] , [Е₁F₁] , ... , [В₁С₁] , одан кейін горизонталь проекциялары [A₂D₂] , [Е₂F₂] , ... , [В₂С₂] салынады. А нүктесін F нүктесімен, Е нүктесін N нүктесімен т.с.с. қосу арқылы АDF, АЕF, т.с.с. үшбұрыштар аламыз. Сонда қиғаш жазықтықтың берілген бөлігін жақтары АDF, АЕF, т.с.с. үшбұрыштар болатын көп жақты бетпен аппроксимацияладық. Енді жазылмайтын гиперболалық параболоидтың жазбасы үшін көп жақты беттің жазбасы алынады. АDF, АЕF, т.с.с. үшбұрыштардың натурал шамаларын біріне-бірін тіркестіре саламыз. Мысалы АDF үшбұрышының натурал шамасын (∆А₀D ₀F₀) салғанда оның [AD] қабырғасы горизонталь, ал [DF] қабырғасы фронталь орналасқандықтан олардың ұзындықтарын горизонталь және фронталь проекциялардан аламыз: │A₀D₀│═│ A₂D₂│; │D₀ F₀│═│D₁F₁│. Ал [AF] қабырғасының ұзындығын катеттерінің бірі осы кесіндінің фронталь проекциясы │ТF│═│ А₁F₁│, ал екіншісі А және F нүктелерінің фронталь проекциялар жазықтығынан қашықтықтарының айырымы болатын үшбұрыштың гипотенузасы ретінде анықталады: │A₀ F₀│═│ Р F │. Осындай жолмен салынған барлық үшбұрыштардың натурал шамаларынан тұратын фигура гиперболалық параболоидтың бізге керекті бөлігінің жазбасы болады.

2-мысал. Сфераның жазбасын салу керек (19-сызба).

Айналу бетін оның меридиандарымен  жіңішке және өзара тең бөліктерге бөледі. Бұл бөліктердің әрқайсысын цилиндрлік бетпен алмастырады. Цилиндрлік беттің жасаушылары бөліктің ортаңғы меридианының нүктелері арқылы өтетін бетке жанама түзулер болады. Цилиндрлік беттің жасаушылырының ұштары қарастырып отырған бөлікті шектейтін меридиан жазықтықтарында жатады. Біз сфераны түсінікті болу үшін тек алты бөлікке ғана бөлдік. Дәлдікті арттыру үшін бөліктер саны көбірек болған дұрыс. Осы бөліктердің [ ] орта меридианы болатын бөлігін цилиндрлік бетпен алмастыралық. Бұл цилиндрлік беттің жасаушылары [ ] меридианының нүктелері арқылы өтіп П₁ жазықтығына перпендикуляр орналасқан. [ ] доғасын тең бөліктерге бөлетін Е және N нүктелерін белгілеп цилиндрлік беттің [AС], [DF] және [МК] жасаушыларын жүргіземіз. Одан әрі осы көрсетілген цилиндрлік беттің жазбасын саламыз. Бұл беттің нормаль қимасы болатын [ ] меридианы белгілі. Сондықтан жазбаны салу үшін нормаль қима әдісін пайдаланамыз. Қалауымызша түзу жүргізіп оған В₀, Е₀, N₀ және S₀  нүктелерін саламыз. │В₀Е₀│═│ Е₀N₀│═ │ N₀S₀│═│ В₁Е₁│═ │ Е₁N₁│═│ N₁S₁│. Осы В₀, Е₀ және N₀ нүктелері арқылы S₀В₀ түзуіне перпендикуляр түзулер жүргіземіз. Соңғы түзулерге цилиндрлік беттің жасаушыларын саламыз: │А₀В₀│═│В₀С₀│═│А₂В₂│═│В₂С₂│;   │ D₀Е₀│═│ Е₀ F₀│═ │ D₂Е₂│; │М₀N₀│═│ К₀N₀│ ═│ N₂К₂│. Салынған жасаушылардың ұштарын жатық сызықпен қоссақ, сфераның 6-дан бір бөлігінің жазбасын аламыз. 19-сызбада сфераның тең жартысының жазбасы көрсетілген. 

 

1-сызба

 

 

 

 

  

2-сызба

 

                

3-сызба

 

     

 

                                                 

                                                    4-сызба

 

                              

                                                 

      

5-сызба       

 

         

 

 

                                                6-сызба

 

            

                                                                  

                7-сызба       8-сызба

       

 

 

                                                     9-сызба

 

                           

 

 

10-сызба    

                       

 

 

                                              

11-сызба

     

                                                

 

 

                  12-сызба

 

                                                                                                                                                                                                                                                                          

13-сызба

 

 

14-сызба

 

     15-сызба

 

                      

16-сызба

                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

17-сызба

18-сызба

 

 

 

 

19-сызба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қолданылған әдебиеттер

 

1. Ж.М. Есмұханов, К.Қ. Қонақбаев «Сызба геометрия» Алматы – 1968.
2. Ж.М. Есмұханов «Сызба геометрия» Алматы –1987.
3. А.Д.Ботвинников, В.Н.Виноградов, И.С.Вышнепольский, С.И.Дембинский «Сызу» Алматы – 1982.
4. А.Ф.Кирилов «Черчение и рисование» Москва – 1990.
5. Ж.М. Есмұханов «Сызу» Алматы – 1990.
6. М.О. Амирбаев «Жазықтықтағы аналитикалық геометрия» Алматы – 1961.
7. Ғ.Ақпанбаев «Сызба геометрия» Алматы – 1992.
8. А.А Абрикосов «Сызу» Екінші бөлім, Алматы – 1961.
9. Қ.А Янковский, И.С Вышнепольский «Техническое черчение»

Москва -1967

10. А.В Бубенников, М.Я.Громов «Начертательная геометрия»

Москва – 1973.