Беттер сызбасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Беттердің жазықтықпен қиылысуы

 

Көпжақты беттердің  жазықтықпен қиылысуы

1°. Жазықтықпен қандайда болмасын бетті қиғанда жазықтық бетінде жазық фигура пайда болады. Бұл фигураны бұдан былай қима деп қысқартып атайтын боламыз. Қисық беттердің жазықтықпен қимасында қисық сызықтар, ал көпжақты беттердің қимасында көпбұрыштар шығады.

Көпжақты дененің жазықтықпен  қиылысуынан шығатын көпбұрыш қабырғаларының саны берілген дененің жазықтықпен  қиылысатын жақтарының санына тең болады. Қима көпбұрышының төбелерінің саны көпжақтың берілген жазықтықпен  қиылысатын қырларының санына тең болады. Мысалы, төртбұрышты пирамиданың жазықтықпен қимасы бұл екуінің өзара орналасуына байланысты үшбұрыш, төртбұрыш немесе бесбұрыш болады (11-сызба).

Көпжақты беттің жазықтықпен  қимасын салудың мынадай екі тәсілі бар:

1)қима көпбұрышының төбелерін табу;

2)қима көпбұрышының қабырғаларын табу. Бұларды қысқаша төбелер

және қабырғалар тәсілі деп атаймыз. Бiрiншi тәсілді қолданғанда түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу нүктесін бірнеше рет табуға тура келеді. Мұндағы жазықтық 6iреу де, ал түзулер (қырлар) бірнешеу. Табылған нүктелер қима көпбұрышының төбелері болады.

Екінші тәсілде, eкі жазықтықтың қиылысу сызығын бірнеше рет салуға тура келеді. Көпжақты дененің жақтары көпбұрыштар (үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, т.с.с.) болғандықтан, қима көпбұрышының қабырғалары ретінде дененің жақтары мен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызықтарының ортақ кесінділері алынуға тиіс.

2°. Көпжақты беттердің  қималарының проекцияларын салуды төмендегі екі мысал арқылы қарастыралық.

1-мысал. Төртбұрышты тік призма ABCDEFMN және жалпы жағдайдағы (а||b) жазықтығы берілген. Призманың жазықтықпен қимасының проекцияларын салу керек.

Берілген призманың жақтары (12-сызба) горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан. Мұндай жағдайда екінші тәсілмен пайдаланған тиімді. Сондықтан бiз есепті қабырғалар тәсілімен шешеміз. Призманың жағы ABMN мен қиюшы жазықтық θ(а||b)-нің қиылысу сызығын салайық. Призманың бүйір жақтары горизонталь проекциялаушы жазықтықтар, сондықтан оларды ∑''= □ABMN және ∑"= □CDEF- мен белгілелік. Проекциялаушы жазықтықтар ∑' және ∑"-нің θ жазықтығымен қиылысу сызықтарын салуымыз керек.

1) ≡ А₁В₁; а₁ =1₁; b₁ =2₁; 1₁1₂₁2_2А1A₂; 1₁1₂а₂ =1₂;

2₁2₂b₂ =2₂;

2) C₁ D₁; а₁ =3₁; b₁ =4₁; 3₁3₂₁4_2А1A₂; 3₁3₂а₂ =3₂;

4₁4₂b₂ =4₂;

3)θ =12; θ =34.

Енді 12 түзуінің ABMN төртбұрышымен шектелген бөлігін көрсетсек,

ол — KТ қима көпбұрышының бір қабырғасы, ал 34 түзуінің СDЕҒ төртбұрышымен шектелген бөлігі (РQ кесіндісі) қиманың екінші қабырғасы болады. Призманың қалған бүйір жақтары ВСҒМ және АDЕN төртбұрыштары мен θ жазықтығының ортақ кесінділері ТQ және КР болатындығына көз жеткізгеннен кейін, қима ТРQК төртбұрышы болатындығын анықтаймыз. Қиманың фронталь және горизонталь проекциялары (K₂T₂P₂Q₂ және K₁T₁P₁Q₁) 12-сызбада штрихталып көрсетілгeн. Призманың бүйір жақтары горизонталь проекциялаушы жазықтықтар болғандықтан, оның төменгі және жоғарғы табандары мен қима үшеуі П₁ жазықтығына тек бір ғана төртбұрыш түрінде кескінделеді.

 

Қисық беттердің  жазықтықпен қиылысуы

1°. Қисық беттің жазықтықпен  қиылысу сызығы жазық қисық сызық болады. Міне бұл қисықты салу үшін оның жеткілікті мөлшердегі нүктелері белгілі болу керек. Мұндай нүктелер жазықтықпен қисық беттің ортақ нүктелері болады. Екінші сөзбен айтқанда, қима сызығының нүктелері дененің бетінде орналасып, берілген жазықтықта жатулары тиіс.

Беттің жазықтықпен қиылысу  сызығының нүктелерін салудың негізгі  тәсілі — көмекші жазықтықтар  тәсілі. Бұл тәсілдің мәні мынадай: бірнеше көмекші жазықтықтар  жүргізіледі. Бұл жазықтықтар бетті  қандайда болмасын белгілі бір сызық  бойымен қияды, ал қиюшы жазықтық пен түзу сызық бойымен қиылысады. Бұл сызықтардың оларға сәйкес түзулермен қиылысу нүктелері, берілген бетпен берілген жазықтықтың ортақ нүктелері  болғандықтан, олар қиылысу сызығын  анықтайды. Әрине, көмекші жазықтықтарды, олардың бетпен қиылысу сызығын оңай салуға болатындай етіп, таңдап аламыз.

Мүмкіндігінше көмекші жазықтықтардың бетпен қиылысу сызықтары геометриялық қарапайым сызықтар болғаны дұрыс. Геометриялық қарапайым сызықтарға түзу сызық пен шеңбер жатады

Осыған байланысты түзу сызықты  беттің жазықтықпен қиылысу сы- зығын  салу кезінде көмекші жазықтықтарды берілген беттің жасаушылары (түзу сызық) арқылы жүргіземіз де, ал айналу бетінің қимасын салу үшін көмекші жазықтықтарды айналу бетінің параллельдері (шеңбер) бойымен қиятындай етіп таңдап аламыз. Мұндай жазықтықтар көбінесе проекциялаушы немесе деңгейлік жазықтықтар болады.

Бет пен жазықтықтың проекция жазықтықтарына қарағанда орналасуларына байланысты қиылысу сызығының нүктелерін екі топқа бөледі. Бірінші топқа: қима сызығының ерекше орналасқан нүктелерін жатқызып, оларды тірек (немесе тірек  болатын) нүктелер деп атайды. Екінші топқа: қима қисығының тірек нүктелерінен басқа нүктелерінің барлығы жатады, оларды аралық нүктелер деп атайды. Тірек нүктелерге қима қисығының  проекция жазықтықтарынан ең қашық  және ең жақын орналасқан нүктелері қисықтың ең үлкен енін анықтайтын нүктелер, қисықтың көрінетін және көрінбейтін бөліктерін шектейтін нүктелер және т. б. жатады.

Қисық беттің қимасын салу үшін ең алдымен опоралық нүктелердің  проекцияларын анықтап алған  дүрыс. Осыдан кейін жеткілікті мөлшердегі аралық нүктелердің проекциялары салынады.

2°. Енді қисық беттердің  қималарын табуды мысалдар арқылы  көрсетелік.

1-мысал. 13-сызбада көрсетілген айналу беті мен жалпы жағдайдағы θ жазықтығының қиылысу сызығын салыңыздар.

θ жазықтық М(М₁, М₂) нүктесінде қиылысатын а(а₁ а₂) және b(b₁, b₂) түзулерімен берілген. Ең алдымен тірек нүктелерді салып аламыз.

1)Қиманың фронталь проекциясын көрінетін және көрінбейтін бөліктерге ажырататын нүктелерді табалық. Ол үшін бұл нүктелердің фронталь проекцияларының беттің осы проекциясын шектейтін сызықтарда жататындығын ескереміз. Айналу беті үшін бұл сызық бас меридиан болады. Сондықтан берілген бетті бас меридианмен қиятын оның осі арқылы өтіп   П₂-ге параллель болатын ∑' көмекші жазықтығын жүргіземіз. ∑' жазықтығы бетті бас меридиан п^r(п^r, п₂^r) бойынша, ал θ жазықтығын 12(1₁ 2₁, 1₂2₂) түзуі бойынша қияды.

1₂2_2n2^г=А₂ және 1₂2₂n₂^г = В₂.

А₁А₂ В₁В₂1₁1₂; А₁ А₂₁ ^г=А₂; В₁ В₂₁^r = В₁ .

Сонымен А(А₁ ,A₂) және В(В₁,В₂) —қиманың фронталь проекциясын көрінетін және көрінбейтін бөліктерге шектейтін нүктелер.

2)Қиманың горизонталь проекциясын көрінетін және көрінбейтін

бөліктерге ажырататын нүктелерді табалық. Ол үшін айналу бетін экватормен т^э (т₁^э, т₂^э) қиятын деңгейлік Ω' көмекші жазықтығын жүргіземіз. Ω' θ=34(3₁4₁, З₂4₂); т₁^э3₁4₁=С₁; т₁^э3₁4₁=D₁; C₁C₂ D₁ D₂ 1₁1₂; C₁C₂ т₂^э = C₂; D₁D₂ т₂^э = D₂ . Табылған С(С₁С₂) және D(D₁ D₂ ) — қиманың горизонталь проекциясын көрінетін және көрінбейтін бөліктерге бөлетін нүктелер.

3)П₁ жазықтығынан ең қашық және оған ең жақын орналасқан

нүктелерді анықталық. Мұндай нүктелерді ең биік және ең аласа нүктелер деп те атайды. Ол үшін беттің осі арқылы өтіп θ жазықтығына перпендикуляр болатын ∑" көмекші жазықтығын жүргіземіз. ∑" жазықтығы бетті п (п₁ , п₂) меридианасымен, ал θ жазықтығын 56(5₁ 6₁, 5₂6₂) түзу сызығы бойымен қияды. П₂ жазықтығына п меридианы өз түрінде натурал проекцияланбайды. Сондықтан ∑" жазықтығын беттің і(і₁, і₂) айналу осінен айналдырып ∑' жазықтығымен беттестіреміз. Сонда п меридианы п' бас меридианымен бірігеді, ал 56(5₁6₁, 5₂6₂) түзуі 56(5₁6₁ , 5₂6₂) түзуіне ауысады: 5₂6₂ п₂^г= Е₂; 5₂6₂ п₂^г=Ғ₂; Е₂Е_2Ғ2Ғ₂₁₁1₂; Е₂Е₂₅₂6₂=Е₂; Ғ₂Ғ₂₅₂6₂=Ғ₂; Е₂Е₁ Ғ₂Ғ₁₁₁1₂. Е₂Е_{1 51}6₁ = Е₁; Ғ₂Ғ₁₅₁6₁= Ғ₁ . Сонымен біз қиманың Е(Е₁, Е₂) және Ғ(Ғ₁, Ғ₂) экстремаль нүктелерін алдық.

4)Аралық нүктелерді табу үшін кез келген Ω^′′ горизонталь жазықтығын

жүргіземіз. Ω" бетті т(т₁, т₂) параллелі бойынша θ жазықтығын 78(7₁ 8₁, 7₂8₂) түзуі бойынша қиып өтеді. Параллельдің горизонталь проекциясы шеңбер, оның радиусы r фронталь проекциядан өлшелініп алынады.

т₁₇₁8₁ = К₁; т_{1 71}8₁ = L₁; К₁К_2L1L₂₁1₂; L₁L₂ Ω"= L₂ ; К₁К_2Ω2^′′ =К₂. К(К₁,К₂) және L(L₁,L₂) — қиманың аралық нүктелері. Осы тәсілмен қиманың жеткілікті мөлшердегі нүктелерін тауып, оларды жатық қисық сызықпен қосу арқылы берілген бетпен жазықтықтың қиылысу сызығының кешенді сызбадағы проекцияларын табамыз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Беттердің жазбалары

 

Көп жақты беттердің  жазбалары 

Көп жақты беттердің жазбасы  жазба жазықтығымен беттестірілген осы беттің жақтарынан тұрады. Жазбаны алу үшін көпжақтың бір бүйір жағын жазба жазықтығымен беттестіріп алу керек. Содан кейін алынған фигураға тіркестіре басқа жақтарының натурал шамаларын саламыз. Жазбада фигураның барлық жақтары да өздерінің натурал шамаларын сақтап кескінделеді. Сондықтан ең алдымен беттің жақтарының натурал шамаларын тауып аламыз. Жазбада беттің жақтарын түрліше орналастыруға болады. Беттің жақтарын жазбада орналастыру кезінде мүмкіндігінше жазба сызылатын жазықтықтың бетін тиімді түрде пайдалануға тырысу керек.

1-мысал. 14-сызбада көрсетілген SABC пирамидасының жазбасын салуды қарастыралық.

Алдымен пирамиданың қырларының натурал ұзындықтарын белгілі әдістердің біреуін пайдалана отырып тауып  алуымыз керек. Біз қарастырып отырған  мысалда пирамиданың табаны горизонталь  проекциялар жазықтығында жатыр, сондықтан табан қырларының ұзындықтары П₂ жазықтығына өздерінің натурал шамаларын сақтап кескінделген: │А₂В₂│═│АВ│; │В₂С₂│═│ВС│; │С₂А₂│═│СА│. Пирамиданың бүйір қырларының ұзындықтары S нүктесі арқылы өтетін горизонталь проекциялаушы осьтен айналдыру әдісімен тұрғызылған: │АS│═│S₁А₁│; │ВS│═│S₁В₁│; │СS│═│S₁С₁│. Қалаған жерімізден S₀ нүктесін алып табылған қабырғалары бойынша А₀В₀S₀ үшбұрышын саламыз.

│ А₀В₀│═│ А₂В₂│; │ В₀S₀│═ │ S₁В₁│. Осы А₀В₀S₀ үшбұрышының қабырғаларына А₀В_{0, А0S0} және В₀С₀S₀ үшбұрыштарын салып пирамиданың жазбасын аламыз. │А_{0│═│ А0│═ │ А2}С₂│;

│ В₀С₀│═│ В_{0│═│ В2}С₂│; │С₀S₀│═│ _S0│═│ S₁С₁│. Егер пирамиданың моделін жасау керек болса, онда жазбаны шектейтін сызықтардың бойымен бүгіп желімдеу керек.

Сонымен пирамиданың жазбасын алу үшін бірнеше үшбұрыштарды тіркестіре салдық. Беттердің жазбасын осылайша тұрғызуды үшбұрыштар немесе триангуляция әдісі дейді. 

2-мысал. Үш бұрышты  ABCDEF көлбеу призманың жазбасын салу керек (15-сызба).

Бізге берілген ABCDEF  призмасының  бүйір қырлары горизонталь орналасқан, сондықтан олардың горизонталь  проекциялары сәйкес кесінділердің  нақты ұзындықтарына тең. Егер бұл  бүйір қырлар жалпы жағдайда орналасқан болса, онда оларды сызбаны түрлендіру арқылы деңгейлік сызықтарға айналдыру  қажет.

Берілген призманы бүйір  қырларына перпендикуляр ∑(∑₁) жазықтығымен қиямыз. ∑(∑₁) жазықтығы горизонталь түзулермен тік бұрыш жасайтындықтан ол горизонталь проекциялаушы жазықтық болады. Призманың ∑(∑₁) жазықтығымен қимасы MNK үшбұрышының проекциялары – кесінді M₁N₁K₁ және үшбұрыш M₂N₂K₂.

Қиманың (∆MNK)  қабырғаларының нақты шамаларын өзімізге белгілі  әдістердің бірімен табамыз. Біздің мысалымызда жазық-параллель ығыстыру тәсілі пайдаланылған.

Ұзындығы қима үшбұрышы MNK-нің  периметріне тең M₀K₀ кесіндісін саламыз. Бұл кесінді призманың нормаль қимасы – MNK үшбұрышының «жазбасы». M₀N₀K₀  және M₀ нүктелерінен бастап M₀ M₀ кесіндісінің екі жағынан да оған перпендикуляр бағытта призманың бүйір қырларының бөліктерін саламыз. Призманың бүйір қырларының бөліктері оның горизонталь проекциясынан  (M₀А₀ ═ M₁А₁ ;  M₁Е₁ ═ M₀Е ; N₀B₀ ═ N₁B₁ , ...) алынады. Алынған нүктелерді А₀В₀С₀ А₀ және D₀Е₀F ₀ D₀ сынық сызықтарымен қосып, берілген призманың жазбасы болатын A₀B₀C₀D₀E₀F₀D₀ фигурасын аламыз.

Сонымен призма бетінің жазбасын алу үшін оны бүйір қырларына  перпендикуляр жазықтықпен қию  керек. Беттің жазбасын осындай әдіспен  салуды нормаль қима тәсілі деп атайды.

 

Қисық бет жазбаларының негізгі қасиеттері

Беттерді өте жұқа және иілгіш қабаттан тұрады деп қарастырсақ, онда олардың кейбіреулерін біртіндеп деформацияға ұшырата отырып жазықтықпен бүктесінсіз үзбей беттестіруге болады. Мұндай беттерді жазылатын беттер деп атайды. Жазылатын беттерге торс, конустық және цилиндрлік беттер жатады. Бұл үшеуінен басқа қисық беттер жазылмайды.