Лекции по "Физике"

 

Маятникті қалпына келтіруші күші деформацияланған серіппенің ығысу  шамасы тура пропорционал болады.

 

 

мұндағы k- серіппенің қатаңдығы.

Маятниктің қозғалыс теңдеуі

 

 

дифференциалдық теңдеуі

 

 немесе 

 

Серпімді күштің әсерінен ол вертикаль  тік бағытта гармоникалық тербеліс жасайды.

 

циклдік (дөңгелек) жиілігі 

периоды

    (10)

 

Бұл (10) теңдеуді серіппелі маятник  үшін Томсон формуласы деп атайды.

Тербелістегі нүктенің берілген уақыт  мезетіндегі тепе-теңдік қалпына  қатысты орын сипаттайтын шаманы ығысу деп атайды.

Ығысуды тербелістегі нүктенің орнықты  тепе-теңдік қалпынан оның осы уақыт  мезетіндегі орнына дейінгі қашықтықпен  өлшейді.

А – амплитуда сан мәні жағынан  тербелістегі нүктенің орнықты тепе-теңдік қалпынан ең үлкен  ауытқуына тең шама

 

 

Гармоникалық тербелістің  теңдеуі, жылдамдығы, үдеуі және энергиясы  мен сызбасы (графигі).

Тербелмелі нүктенің ығысуының  уақытқа тәуелділігін өрнектейтін  формуланы тербелмелі қозғалыстың  теңдеуі деп атайды. Ол гармоникалық тербеліс теңдеуімен сипатталады.

 

       (11)

 

Механикалық гармоникалық тербелістені нүктенің жылдамдығы, үдеуі, энергиясы

 

   (14)

 

  (15)

 

мұндағы , -жылдамдық пен үдеу амплитудалары.

Бұл (14), (15) теңдеулерден тербелмелі қозғалыстың  жылдамдығы мен үдеуі, жиілігі х  ығысу жиілігіндей болатын гармоникалық заңдылық бойынша жүреді. Жылдамдық (14) фазасы, үдеу (15) фазасынан сәйкесті ығысу фазасын  және айырылады. (cурет)

 

5 – сурет 

Материалдық нүктенің гармоникалық тербелісінің кинетикалық энергиясы

 

    (19)

немесе

 

    (20)

 

Серпімді  күштің әсерінен гармоникалық тербеліс жасайтын материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы

 

(21)

 

Толық энергия 

            (22)

 

Бұл (20) және (21) теңдеулерден кинематикалық  энергия мен потенциалдық энергиялардың  жиілігі ( ), яғни гармоникалық тербеліс жиілігінен екі есе көп болады (7 сурет).  Өйткені , онда (19) және (21) теңдеулерінен

7-сурет

 

Гармоникалық тербелістерді  қосу.

1. Бағыттары мен жиіліктері  бірдей гармоникалық тербелістерді  қосу.

Тербелетін денеде бірнеше тербелмелі процестер жүруі мүмкін. Сондықтан  осындай тербелістердің қорытқы  амплитудасын анықтау керек болады.

Жиіліктері мен бағыттары бірдей гармоникалық тербелістерді қосу үшін векторлық диаграмма әдісін қолданады (9 сурет).

 

 

 

9-сурет

 

Қорытқы ығысу амплитудасы мен  бастапқы фазасы

 

   (31)

мұндағы

 

    (32)

 

Бастапқы фаза

 

     (33)

Қорытқы гармоникалық тербелістің  амплитудасы фаза айырымына  тәуелді болады.

Енді (32), (33) теңдеулерді талдайтын  болсақ, онда

1)

Қорытқы тербелістің амплитудасы  жеке тербелістердің амплитудаларының алгебралық қосындысына тең болады:

2)

Қорытқы тербелістің амплитудасы  жеке тербелістер амплитудасның  айырымына тең 

.

Бір бағытта тербелетін қосылатын  екі тербелістің жиіліктері бір-бірінен  сәл өзгешелеу  . Қорытқы тербелістің амплитудасы периодты түрде өзгереді, мұндай тербелісті соғу  деп атайды.

 

Сонда

()

Мұндағы соғу амплитудасы деп, ал соғу периоды деп атайды.

 

Өшетін тербелістер.

Реал (нақты) тербеліс жүйесінде кедергі  күші әсерінен нүктенің  энергиясы imкi энергияга айналады, соның салдарынан уақыт өтуімен бipre оның тербеліс амплитудасы азаяды. Мұндай козғалыс мына дифференциалдық теңдеумен сипатталады:

 

 

мұндағы - өшу коэффициенті, - ортаның кедергісі болмағанда ( ) жүйенің жасайтын еркін тербелістерінің жиілігі.

Тербеліс теңдеуі:

 

 

мұндағы  -  өшетін тербелістің амплитудасы, А_о— бастапкы амплитуда.

Бip-бipiнен периодқа сәйкес уакытқа  ажыратылатын амплитудалар катынасының  логарифмі логарифмдік декремент  деп аталады:

 

 

Амплитуда  е ~2,7 есе кемитін    (релаксация уақыты) уақыт ішінде жүйе тербеліс жасап үлгереді. Тербелмелі жүйені сипаттау үшін сапалық (Q) деп аталатын шама енгізеді:

 

 

Өшетін тербелістің периоды  мен жиілігі мынаған тең:

 

 

Орта кедергісі аз болған жағдайда, яғни .

Еріксіз тербелістер деп тербелмелі жүйеде периодты түрде өзгеретін күштің әсерінен пайда болатын өшпейтін тербелістерді айтады.

Серіппелік маятниктің қозғалысының дифференциалдық теңдеуі былай  жазылады:

мұндағы -сыртқы әсер ететін күш жиілігі. дифференциалдық теңдеулер теориясынан біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес келетін біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімінің қосындысына тең.

( ) қосылғышы тербелістің орнығуы деп атайды, ол бастапқы кезеңде ғана роль атқарып, уақыт өткен сайын кемиді, оны ескермеуге де болады.

Сонымен (y) функциясы орныққан еріксіз  тербелістерді сипаттайды:

 

 

Еріксіз тербелістің амплитудасы  мәжбүр теуші күштің амплитудасына пропорционал және оның жиілігіне тәуелді:

 

.

 

Еріксіз тербелістер фазасы бойынша  мәжбүр теуші күштен қалып қояды  да, әрі қалу шамасы мәжбүр етуші  күш жиілігі  -ға тәуелді.

 

Сыртқы күштің жиілігі жүйенің меншікті жиілігіне жақындағанда еріксіз тербеліс амплитудасының ең үлкен мәніне жету құбылысы резонанс деп, ал оған сәйкес келетін жиілік резонанстық жиілік деп аталады.

Механикалық толқындар. Серпімді ортада тербелістің таралуын механикалық толқын деп атайды. Орта бөлшектерінің тербеліс бағыты толқынның таралу бағытымен бағыттас болса, онда толқындарды қума, ал толқынның таралу бағытына перпендикуляр бағытталған болса, көлденең толқындар деп атайды.

Толқын фронты (немесе толқындық  бет ) деп, бірдей фазаларда тербелетін нүктелердің геометриялық орнын  айтамыз. ТОлқын фронтының түріне байланысты толқындар жазық және сфералық болып  бөлінеді.

Бірдей фазада тербеліп тұрған екі  жақын жатқан нүктенің ара-қашықтығын толқын ұзындығы деп атайды:

 

мұндағы Т – тербеліс периоды, -жиілік.

Толқын теңдеуін және оның шешімін  мына түрде жазуға болады:

 

,   ,

 

мұндағы х – О толқындық көзінен  ортанң қарастырып жатқан А нүктесіне  дейінгі ара-қашықтық, - толқындық сан, ол ұзындық бірлігіне қанша толқын жайғасатынын көрсететін сан.

Толқын фазасы тұрақты десек, яғни , онда фазалық жылдамдық , яғни фазаның орын ауыстыру жылдамдығы:

 

, бұдан  .

 

(1) өрнегі х шамасының арту  бағытында таралатын жазықтық, ал (2) сфералық толқынның теңдеуінде r – толқын көзінен ортаның  қарастырып отырған нүктесіне  дейінгі ара-қашықтық, ал А –  толқын көзінен 1-ге тең қашығы  сан жағынан амплитудаға тең  тұрақты шама. Қума және көлденең  толқындардың фазалық жылдамдықтары  мынаған тең:

 

,

 

 

мұндағы E, G – Юнг, ығысу модульдері, -ортаның тығыздығы.