Электричество и электромагнетизм

4).  При упругом столкновении электронов с ионами электроны полностью передают им  накопленную в эл. поле энергию.

Средн. тепловая скорость хаотического движения электронов при Т≈300К составляет 

 

При включении электрического поля на хаотическое движение электронов накладывается упорядоченное движение, происходящее с некоторой средней скоростью ;  возникает направленное движение электронов – электрический ток. Плотность тока определяется по формуле.

Оценки показывают, что  при  максимально допустимой плотности  тока в металлах    j = 10⁷ А/м² и концентрации носителей 10²⁸ – 10²⁹м^-3 ,  . Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов .

Выделим основные затруднения теории Друде-Лоренца:

 1. Согласно классической теории, зависимость удельного сопротивления металлов от температуры в то время, как на опыте в широком интервале температур вблизи  Т≈300К для большинства металлов наблюдается зависимость ρ ~ Т.

  2. Хорошее количеств. совпадение с законом Видемана-Франца оказалось в известной степени случайным. В первонач. варианте теории Друде не учитывал распределение электронов по скоростям. Позже, когда Лоренц учел это распределение, оказалось, что отношение ,

что значительно хуже согласуется  с экспериментом. Согласно же квантовой  теории,

3.  Теория дает неправильное значение теплоемкости металлов.  С учетом теплоемкости электронного газа С=9/2R, а на практике С=3R, что примерно соответствует теплоемкости диэлектриков.

4. Наконец, теория оказалась полностью неспособной объяснить открытое в 1911г. Камерлинг-Оннесом явления сверхпроводимости (полного исчезновения сопротивления) металлов при низких температурах, а также существования остаточного сопротивления, в сильной степени зависящего от чистоты металла.

 

Магнитостатика.

1. Магнитное взаимодействие постоянных токов. Вектор магнитной индукции. Принцип суперпозиции магнитных полей. Вектор напряженности магнитного поля.

М/п возникает в пространстве, окруж. проводники с током. М/п постоянных магнитов создается электрическими микротоками.М/п оказывает силовое действие только на движущиеся заряды. Характеристикой м/п является вектор магнитной индукции В. Вектор магнитной индукции В определяет силы, действующие на токи или движущиеся заряды в магнитном поле. За + направление вектора В принимается направление от южного полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле. Линии магнитной индукции-линии,касат. К которым в кажд.точке  совпадают с направл-ем вектора. Правило буравчика(правило правой руки): если большой палец правой руки направить по току,то напр-ие обхвата тока остал.пальцами совпадет с направл.магн.индукции.

Магнитная индукция  В зависит от I и r, где r — расстояние от проводника с током  до исследуемой точки.Если бесконечно длинный проводник , то B=kI/r,где k — коэффициент пропорциональности. Подставим эту формулу в ур-ие для силы взаим-ия двух проводников с током, получим F=B Iℓ. Отсюда  B=F/LI. Принцип суперпозиции: магнитная индукция результир. поля , создав. несколькими токами или движ. зарядами, равна векторной сумме магн. индукций складываемых полей, создав. каждым током.М/п макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однород. изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности след. соотношением:;где m0 — магнитная постоянная, m — безразмерная величина — магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

 

 

2. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. 

Ампер установил, что сила dF, с которой м/п действует на элемент проводника dl с током, наход. в м/п, равна ,где dl — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции.Направление вектора dF находится по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль  силы Ампера вычисляется по формуле: ;где a — угол между векторами dl и В.

Закон Ампера применяется для определения  силы взаимодействия двух токов. Р-мм 2 бесконечных прямолинейных парал-х тока I1 и I2 расстояние м/у которыми равно R. Кажд. из проводников создает м/п, которое действует по закону Ампера на др.проводник с током.Направление вектора B1 определяется правилом правого винта, его модуль равен

  Направление силы dF1, с которой  поле B1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки. Модуль силы, согласно (1*), с учетом того, что угол а между элементами тока I2 и вектором B1 прямой, равен ; подставляя значение для B1 получим . два парал-х тока одинак.направления притягиваются друг к другу с одинаковой силой. dF1=dF2

 

3. Сила Лоренца (электрическая и магнитная составляющие).

Сила Лоренца-сила,действ.на эл.заряд  Q,движ.в м/п со скоростью v.

Модуль  силы Лоренца равен где a — угол между v и В.Направление силы Лоренца опр.с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q > 0 направления I и v совпадают, для Q < 0 — противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действ. на + заряд.М/п не действует на поящийся эл.заряд. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. След-но, сила Лоренца работы не совершает.

где q - заряженная частица;

Е - напряженность электрического поля;

B - вектор магнитной индукции, не зависящий от величины заряда и скорости его движения;

V - вектор скорости заряженной частицы относительно системы координат, в которой вычисляются величины F  и B.

F= qE + q[VB]- формула лоренца.

Fe= qE

Fм = qVBsina, 

где a - угол между векторами скорости и магнитной индукции.

 

4.  Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитных полей прямого и кругового тока, отрезка провода с током.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке индукцию поля dB, записывается в виде ;где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, г — радиус-вектор, проведенный из элемента d/ проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора г.

1.М/п прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произв. точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпенд. плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и г), выразив через него все остальные величины.  Из рис.  следует, что ; Подставbв эти выражения , получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна .Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, . След-но, магнитная индукция поля прямого тока2. М/п в центре кругового проводника с током.Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре м/п одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение век торов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina = l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно ; тогда

 

 

5. Теорема о циркуляции (закон полного тока). Магнитное поле соленоида и тороида.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В  по произвольному замкнутому контуру  равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: . где Положительным считается ток, если его напр-ие связано с напр-ем обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Например,. циркуляция вектора В равна в вакууме:

Соленоид-цилиндр обтекаем током.

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно равна

          Интеграл  по ABCDA можно представить в виде  четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и В,= 0. На участке вне соленоида В=0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

 Из приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): Получили, что поле внутри соленоида однородно

Тороид-провод,навитый на каркас,имеющ.форму тора.

 

6. Поток вектора магнитной  индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. Работа по  перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным  потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная ;где Вn = Всоsa. — проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a — угол между векторами n и В), dS = dSn— вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора магнитной индукции FB через произвольную поверхность S равен ; Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В, Bn = B = const и ;

        Теорема Гаусса для магнитного поля.Теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью m, согласно , равна Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен Ф1=BS.

Если  проводник не закреплен,то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I, помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила Ампера равна F=IBl. Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себена отрезок dx из положения 1 в 2. Работа,совершаемая м/п так как ldx = dS — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, BdS = dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом, 'работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

7.Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях.

Однородное  электрическое поле

Пусть частица, двигавшаяся со скоростью v₀ вдоль оси х, попадает в электрическое поле. Предполагается, что зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной l. Ось у параллельна полю, т.е. Е_у = Е. Магнитного поля нет. На заряженную частицу действует только сила электрического поля и направлена она вдоль оси у.

 

Траектория  движения частицы лежит в плоскости ху и уравнения движения принимают вид:

 

Движение  происходит под действием постоянной силы и подобно движению горизонтально  брошенного тела в поле сил тяжести. Поэтому ясно, что частица будет  двигаться по параболе.

Вычислим  угол , на который отклонится пучок частиц после прохождения через конденсатор. Интегрируя первое уравнение, находим

 

Интегрирование второго уравнения дает

     

где t = l/v₀ – время нахождения частицы в поле. При t = 0  v₀ =0, следовательно С=0, и окончательно

 

Угол отклонения найдем из выражения

 

Отклонение  пучка существенно зависит от удельного заряда частицы.

 

2. Однородное  магнитное поле

 

Рассмотрим  теперь случай, когда нет электрического поля, но имеется магнитное поле. Пусть частица обладающая начальной скоростью v₀, попадает в магнитное поле с индукцией В. Это поле однородно и перпендикулярно к скорости v₀. Из формулы следует, что действующая на частицу сила всегда перпендикулярна к скорости движения частицы. Это значит, что работа этой силы всегда равна нулю. Следовательно, модуль скорости и энергия частицы остаются постоянными при движении. Модуль силы F=qvB также остается постоянным. Эта сила, будучи перпендикулярной к направлению движения, является центростремительной силой. Но движение под действием постоянной по модулю центростремительной силы есть движение по окружности. Радиус этой окружности определяется из условия:, откуда

 Кругообразное  движение заряженных частиц в  магнитном поле обладает важной  особенностью: период обращения  не зависит от энергии частицы.  Действительно, период обращения равен ,

подставляя  сюда r, имеем

Частота называется циклотронной частотой. Если начальная скорость частица составляет некоторый угол a с направлением поля, то в этом случае  удобно разложить скорость v₀ на две составляющие, одна из которых параллельна полю, а другая перпендикулярна полю. На частицу действует сила Лоренца, обусловленная составляющей v_n , и и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной полю. Составляющая v_t не вызывает появления добавочной силы, поэтому в направлении поля частица движется по инерции, равномерно, со скоростью . В результате сложения обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали. Шаг винта этой спирали равен . Подставляя вместо Т его выражение имеем