Электричество и электромагнетизм

                                    Электричество и электромагнетизм

                                                      Электростатика.

1.Виды зарядов, дискретность, инвариантность, закон сохранения  электрического заряда. Закон Кулона.

Существуют положительные и  отрицательные заряды. Одноименные  заряды отталкиваются,разноименные притягиваются.Американский физик Милликен показал,что электрический заряд дискретен,т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрич. заряда (℮=1.6*10^-19 Кл).Электро и протон являются носителями элекмен.отриц. и полож. зарядов. Дискретность q=|e|*N(заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда). Инвариантность: при переносе из одной системы отсчёта в другую не меняется.(электрический заряд инвариантен(не меняет его величины)). Закон сохранения: заряд любой замкнутой или изолированной системы равен сумме зарядов тел или частиц входящих в систему( )

Закон Кулона: Сила  электр.взаимодействия между двумя точечными зарядами прямопропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратнопропорциональна квадрату расстояния между ними(F=1/4πε₀ * |q₁||q₂|/r²)

2.Напряженность электростатического  поля. Силовые линии. Поле нескольких  зарядов. Принцип суперпозиции.

Напряжённость- физическая величина, численно равная силе действующей на помещённый в данную точку заряд, причём положительный и направленный в сторону действия силы.(Е=

F/Q₀),[E]=[H/Кл]=[В/м]. Линии напряженности-линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е.Линии напряж.начинаются на + и заканчив. на -. Электродиполь -система двух зарядов, равных по модулю, противоположных по знаку, расстояние между которыми мало,по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля. Жесткий диполь-расстояние можду зарядами(const).Линии напряж.никогда не пересекаются.Для однородного поля линии напряженности параллельны вектору напряженности.Если поле создается точечным зарядом,то линии напряж-радиальные прямые. .Векор совпадающий по направлениюс плечом диполя и равные произведению заряда |Q| на плечо l,называется электрическим моментом диполя(дипольным моментом( p).Принцип суперпозиции(наложения): напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённости полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности( )

3.Работа сил эл. ст. поля по перемещению точечного заряда.  Потенциальность эл. ст. поля. Работа  по  замкнутому контуру.  Циркуляция вектора напряженности. Теорема о циркуляции вектора напряженности эл. ст.  поля

Если в качестве переносимого заряда взять полож.заряд,то элементарная работа сил поля на пути

dl равна Edl=E1dl,где E1=Ecosα(проекция вектора Е на направление элементарного перемещения.Тогда формулу можно записать  (этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности). Работа поля по переносу пробного q заряда из некоторой точки 1 в некоторую точку 2  не зависит от траектории его движения и определяется для данного поля и данного заряда только координатами этих точек. (A 12=U1-U2=Q0(ɸ1-ɸ2).    Работа,совершаемая при перемещении электр.стат.заряда по замкнутому контуру=0.

Работа определяется только расстояниями от источника до начальной и конечной точки траектории. Такое силовое  поле в механике мы называли потенциальным.Из принципа суперпозиции следует потенциальность электростатического поля, созданного любой системой зарядов. для любого контура в электростатическом поле циркуляция напряженности – тождественный нуль.Из обращения в 0 циркуляции вектора Е следует,что линии напряженности электростатич.поля не могут быть замкнутыми.Потенциальность електростат.поля:тело ,находящееся в потенциальном поле сил ,обладает потенциальной энергией,за счет которой совершается работа сил.Работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий . .Теорема  о цир.вектора напряж. Электрост.поля:

 

4.Потенциал электростатического поля. Принцип суперпозиции для потенциала.  Связь работы сил эл. ст. поля и потенциала. Связь потенциала с напряженностью эл. ст. поля (интегральная и дифференциальная). Эквипотенциальные поверхности.     

        Потенциал электростатического  поля в данной точке- это физическая величина, равная отношению потенциальной энергии. которую приобретает заряд q пробный, если его перенести из бесконечности в данную точку.( ) [Дж/Кл]=[В] Потенциал поля,создаваемый точечным зарядом Q: .Принцип суперпозиции:Если поле создается несколькими зарядами,то потенциал поля системы зарядов численно равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов: .Связь работы сил эл.ст. поля и пот-ла: Работа,совершаемая силами электрост.поля при перемещении заряда Q₀ из т.1 в т.2 : или .

Если перемещать заряд  Qиз произвольной точки за пределы поля,где потенциал=0,то работа сил электростат.поля A∞=Q₀*ɸ,откуда ɸ= A∞/ Q0.Таким образом потенциал-определяемая работой по перемещ.единичного + при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Связь потенциала с напряженностью эл. ст. поля: Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x2—x1=dx, равна Exdx. Та же работа равна φ1—φ2=dφ. Приравняв обе формулы, запишем дифференцирование осуществляется только по х . где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z

Из определения  градиента следует, что : или .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что  напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Интегральная: Е₁*4πr²=ρ/ε₀*4/3πR³    E₁= ρ R³/3 ε₀ r² , dɸ=-E*dx, .

ɸ₁(R₁)= ɸ₂(R₁), ɸ₂(R₂)= ɸ₃(R₁), ɸ₁=- ρ R³/3 ε₀ ∫ dr/r² + const,

Эквипотенциальные поверхности(поверхности равного потенциала)-геометрическое место точек,имеющих равный потенциал. Силовые линии начинаются на зарядах. Они либо уходят на бесконечность, либо заканчиваются на других зарядах.В потенциальном поле силовые линии не могут быть замкнуты. В противном случае можно было бы указать такой замкнутый контур, что работа электрического поля при перемещении заряда по этому контуру не равна нулю.

5)Теорема  Гаусса (интегральная и дифференциальная) для расчета электрических полей (поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей, поле равномерно заряженной сферической поверхности, поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра)

Теорема: Поток вектора напряжённости электрического поля в вакууме через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри пов-ти зарядов,деленной на ε₀( ). Поле равномерно заряженной беск-ой пл-ти:Бесконечная пл-ть заряжена с посотоянной поверхностной плотностью +σ(σ=dQ/dS).Согласно теореме Гаусса 2ES=σS/ε₀, откуда  E=σ/(2 ε₀) (напряженность поля налюбыхрасстояниях одинакова по модулю). поле двух бесконечных парал-ых разноименно зар-ных пл-ей:                          Слева и справа от пл-ей поля вычитаются(линии напряж.напрвлены друг к другу),поэтому Е₀=0.

Е=σ/ε₀.Таким образом результирующая напряженность поля в области между пл-ми описывается

Е=σ/ε0, а вне объема,огр.пл-ми равно 0. поле равномерно заряженной сферической поверхности:по т.Гауса 4πr²E=Q/ ε₀,откуда E=1/4π ε₀ * Q/ r² . поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра: цилиндр радиуса r заряжен равномерно с линейной плотностью τ(τ=dQ/dl) по т.Гауса 2πrlE=τl/ ε_0.

Откуда E=1/2π ε₀ * τ/r

6) Уравнения Пуассона и Лапласа для потенциала. Теорема Ирншоу

Используя выведенные нами дифференциальные соотношения, описывающие  свойства электростатического поля и . сформулируем уравнение, которое находит применение во многих разделах физики. Поскольку градиент функции   представляет собой векторную функцию, то к нему можно применить операцию дивергенции: div E = - div grad  в декартовых координатах . где Ñ²- оператор Лапласа, являющийся суммой вторых производных по координатам. Так что с учетом теоремы Гаусса Это и есть уравнение Пуассона. Уравнение Пуассона является дифференциальным эквивалентом интегрального соотношения, по которому вычисляется потенциал. В тех областях пространства, где заряды отсутствуют (или r = 0), оно превращается в уравнение

называемое уравнением Лапласа. В большинстве случаев классическая теория поля занимается исследованием решений этого уравнения. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, относятся к классу гармонических функций. !Теорема Ирншоу: Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов неустойчива, если на них кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания ничто не действует.

           Проводники в электрическом поле.

1)Равновесие  зарядов в проводнике. Основная  задача электростатики проводников.  Эквипотенциальные поверхности  и силовые линии электростатического  поля между проводниками. Электростатическая  защита.

Носители  зарядов в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой  силы. Поэтому равновесие зарядов  на проводнике может наблюдаться  лишь при выполнении следующих условий: 1)Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю Е=0. В соответствии с уравнением  это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным, т.е. 2) при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они расположены на поверхности проводника с некоторой плотностью  . т.к. в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Основная задача электростатики проводников:!!

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии  электростатического поля между  проводниками:Эквипотен.пов-ти-совокупность точек,имеющих равный потенциал(силовые линии,провод. из любой точки и эквипот.пов-ть перпендикулярны (ɸ₁- ɸ₂=0) т.к. все точки на  эквипот.пов-ти имеют одинаковый потенциал,то при перемещении зарядов вдоль эквипот.пов-ти А=0.В любой точки внутри проводника напряженность равна 0. Весь объем проводника эквипотенциален.Поверхность проводника эквипотенциальна. -силовые линии поля в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной линии (поверхности). Электростатическая защита — помещение приборов, чувствительных к электрическому полю, внутрь замкнутой проводящей оболочки для экранирования от внешнего электрического поля.

Это явление  связано с тем, что на поверхности  проводника (заряженного или незаряженного), помещённого во внешнее электрическое  поле, заряды перераспределяются так (явление  электростатической индукции), что  создаваемое ими внутри проводника поле полностью компенсирует внешнее.

2) Емкость проводников и конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора

Величину  С=Q/ɸ [Ф] называют электроемкостью проводника.Емкость проводника зависит от его размеров и формы.Емкость не зависит от заряда проводника,ни от его потенциала.Под емкостью конденсатора понимается физ.величиеа,равная отношению заряда Q,накопленного в конденсаторе,к разности потенциалов между его обкладками:C=Q/(ɸ₁- ɸ₂).

Как всякий заряженный проводник,конденсатор обладает энергией: W=C(Δφ)²/2=QΔφ/2=Q²/2C,Q-заряд конденсатора,С-его емкость,Δɸ-разность потенциалов между обкладками.

3) Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия системы заряженных проводников

Электростатические  силы взаимодействия консервативны,следовательно,система зарядов обладает потенциальной энергией.Найдем потен.энергию 2 неподвижных точечных зарядов Q₁ и Q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга.Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потен.энергией: W₁=Q₁ɸ₁₂, W₂= Q₂ɸ₂₁. W1=W2=W и W=Q₁ɸ₁₂= Q₂ɸ₂₁=1/2 * (Q₁ɸ₁₂+ Q₂ɸ₂₁).Добавляя к системе из двух зарядов последов.заряды Q3,Q4 … можно убедиться в том,что в случае n неподвиж.зарядов энергия взаимод. Системы точечных зарядов равна W=

4.Объемная плотность  энергии электростатического поля.

Физическая величина,численно равная отношению потенциальной энергии поля, закл. В элементе объема,к этому объему.

D=епс*епс0*E 

Выражение справедливо только для  изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение Р = æe0Е.

[ω]=[Дж/м^3]

диэлектрики

1.Электрическое поле  диполя. Диполь во внешнем электрическом  поле.

Диполем называется система двух одинаковых по величине разноимённых точечных зарядов, расстояние между которыми значительно  меньше расстояния до тех точек в которых определяется поле системы. Плечо идёт от отрицательного к положительному.

Напряжённость электрического поля и  электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы  зарядов, имеющей ненулевой дипольный  момент) с электрическим дипольным  моментом   на больших расстояниях в главном приближении выражается как:

 

Диполь во внешнем электрическом  поле.

1)  Однородное внешнее поле:

Полная сила, действующая на диполь равна нулю, из-за того, что силы, действующие на каждый из зарядов, различны по знаку, но одинаковы по модулю. Но момент силы, стремящийся повернуть 

дипольный момент вдоль направления  поля, отличен от нуля: