Экспериментальная проверка закона Кулона

С использованием единичного вектора n→ = r→ r , направленного вдоль радиуса-вектора точки наблюдения (рис. 29), полученную формулу часто представляют в виде

E→(r→) = 3(n→ ⋅d→)n→ −d→ r3 .(30′)

4.Сила и момент сил, действующие на диполь со стороны  внешнего электрического поля. Пусть рассматриваемая система зарядов Q = 0 и d→≠0 находится в некотором внешнем электрическом поле E→(r→). Чтобы система могла рассматриваться как диполь, необходимо, естественно, чтобы размер системы a был существенно меньше характерного радиуса ℓ, на котором внешнее поле заметно меняется. В этом случае напряженность поля в точке r→, входящая в выражения

F→ = ∫ V ρ(r→)E→(r→)dV,N→ = ∫ V [ρ(r→)r→  ×E→(r→)]dV

для суммарной силы и суммарного момента сил, может быть вычислена через поле и производные поля в фиксированной точке O (в «центре» диполя)

E→(r→) = E(0) + (r→ ⋅∇)E→;

т.е. слагаемое (r→ ⋅∇)E→ (в векторном анализе называется градиентом вектора E→ по направлению вектора r→) в данном случае вычисляется в фиксированной точке O. Вследствие этого при интегрировании по объему V эти производные выносятся из под знака интеграла и результат для E→ приобретает вид F→ = (d→ ⋅∇)E→ = dx∂E→ ∂x + dy∂E→ ∂y + dz∂E→ ∂z (17.31)

(поле E→(0) при интегрировании  пропадает из-за Q = 0 ). Для суммарного момента сил при интегрировании достаточно ограничиться значением E→(0) и в результате получаем N→ = [d→ ×E→]. (17.32)

Таким образом, сила (31), действующая на диполь со стороны внешнего электрического поля, зависит от быстроты изменения этого поля в направлении вектора d→. Естественно, в однородном поле эта сила равна нулю. Момент сил (32), действующий на диполь, стремится повернуть диполь так, чтобы его дипольный момент стал параллелен полю E→ в месте расположения диполя (рис. 30).

Заметим для дальнейшего, что при выводе формул (31), (32) никаких предположений относительно внешнего поля не делалось. Если же рассматривается электростатическое поле E→ = gradϕ, которое удовлетворяет уравнению rotE→ = 0, (17.33)

формулу для силы, действующей на диполь, можно привести к виду

F→ = gradU,

связав силу с потенциальной энергией U диполя во внешнем электрическом поле. Рассмотрим два разных варианта диполей.

Случай так называемого твердого диполя, когда его дипольный момент d→ не зависит от положения диполя в пространстве, занятом полем. Тогда из формулы векторного анализа

grad(a→ ⋅b→) = (a→ ⋅∇)b→ + (b→ ⋅∇)a→ + [a→ × rotb→] + [b→ × rota→]

с учетом уравнения (33) и условия d→ = const получается

grad(d→ ⋅E→) = (d ⋅∇)E→

и, следовательно, формула (31) приобретает искомый вид E→grad(d→ ⋅E→),

(17.34)

т.е.

U = −(d→ ⋅E→), если d→ = const.

Случай упругого диполя. Существуют системы зарядов, дипольный момент которых пропорционален полю E→, в котором находится система (например, система зарядов нейтральной молекулы). Для них

d→ = αE→,α = const.

При этом с помощью приведенной формулы векторного анализа получаем

grad(d→ ⋅E→) = αgrad(E→ ⋅E→) = α ⋅ 2(E→ ⋅∇)E→ = 2(d→ ⋅∇)E→,

т.е.

(d→ ⋅∇)E→ = 1 2grad(d→ ⋅E→).

Отсюда формула (31) приобретает вид F→ = 1 2grad(d→ ⋅E→); (17.35)

следовательно,

U = −1 2(d→ ⋅E→),еслиd→ = αE→.

5. Перейдем к следующему, квадрупольному, члену разложения  ϕ(2), получающемуся как результат  постановки последнего слагаемого (26) в выражение (15):

ϕ(2) = 1 2 ∫ xi′x j′ρ(r→′)dV ′⋅ ∂2 ∂xixj 1 r.

С введениеv обозначения

Qij = ∫ xi′x j′ρ(r→)dV ′ 

результат можно представить в виде

 

ϕ(2) = 1 2Qij ∂2 ∂xixj 1 r.

Симметричный тензор Qij = Qji иногда принимается за тензор квадрупольных моментов. Часто, однако, несколько отличный тензор, а именно Dij = ∫ (3xi′x j′− r′2δ ij)ρ(r′→)dV ′, (17.36)

тоже симметричный, принимают в качестве тензора квадрупольных моментов. Удобство нового тензора связано с тем, что его след равен нулю, т.е. δijDij = Dii = 0. (17.37)

С учетом того, что функция 1∕r(x,y,z) удовлетворяет уравнению Лапласа

Δ 1 r = ∂2 ∂xi 1 r = δij ∂2 ∂xi2∂xj 1 r = 0,

легко заметить, что

1 2Qij ∂2 ∂xi∂xj 1 r = 1 6Dij ∂2 ∂xi2∂xj 1 r.

Последовательно вычисляя приоизводные функции 1∕r, нетрудно убедиться, что

∂2 ∂xi∂xj 1 r = 3xixj − r2δij r5

и, следовательно,

ϕ(2) = 1 6Dij3xixj − r2δij r5 .

Учитывая свойство (37), квадрупольный потенциал можно привести к окончательному виду ϕ(2) = 1 2Dijxixj r5. (17.38)

Отсюда видно, что с увеличением расстояния r ϕ(2) спадает как 1∕r3, в то время как дипольный потенциал ∼ 1∕r2, а кулоновский, как 1∕r.

Заметим, что существуют системы зарядов, у которых как суммарный заряд, так и дипольный момент равны нулю. Для таких систем именно квадрупольный потенциал является главным.

Пример. Поле линейного квадруполя, т.е. системы трех зарядов, показанных на рисунке. Соответствующие заряды расположены на оси z в точках с координатами ±a и z = 0. Видно, что у этой системы Q = 0 и d→ = 0. Оси x,y,z являются главными осями для тензора Dij рассматриваемой системы зарядов, так как ось z – ось симметрии, отсюда с учетом (37) следует, что

D11 = D22 = −1 2D,D33 = D,

т.е. тензор Dij полностью определяется значением одного диагонального элемента D33. Замечаем, что заряд −2q с нулевыми координатами вклада в D33 не вносит и от оставшихся двух зарядов q имеем

D33 = 2q(3a2 − a2) = 4qa2.

Таким образом, квадрупольный потенциал равен

ϕ(2) = 1 2r5(D11x2 + D 22y2 + D 33z2) = D 2r5 −1 2(x2 + y2) + z2

 

и после перехода с сферическим координатам (r,θ,α) принимает вид

ϕ(2) = D 2r3 cos2θ −1 2sin2θ = D 2r3 3cos2θ − 1 2 = D 2r3P2(cosθ),

т.е. совпадает с одним из решений (25) уравнения Лапласа, соответствующим номеру ℓ = 2.

18. Емкость системы  проводников. Емкостные и потенциальные  коэффициенты.

Начнем с простейшего случая уединенного проводника, т.е. проводника, удаленного от других проводников на расстояние, много большее его максимального размера. Понятием емкость характеризуют свойство провдника накапливать на себе заряды. Если при сообщении проводнику заряда Δq потенциал повышается на Δϕ, то емкость такого проводника равна

C = Δq Δϕ.

19. Экспериментальная  проверка закона Кулона.

Закон установлен Кулоном в 1785 г. посредством прямых измерений сил взаимодействия между заряженными телами, размеры которых много меньше расстояния между ними. При этом точность опытов была небольшая. Лишь из общих соображений, основанных на аналогии с силами тяготения, существовала уверенность в абсолютной правильности этого закона. Но закон Кулона входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Проверка его справедливости и установление границ применимости являются важнейшими задачами, на решение которых значительные усилия экспериментаторов направлялись вплоть до сегодняшних дней.

Метод Кавендиша. Интересно, что Кавендиш открыл «закон Кулона» за 15 лет до Кулона значительно более оригинальным методом, но свои результаты не опубликовал. Идея Кавендиша состояла в том, чтобы проверить, остается ли электрическое поле внутри заряженной проводящей сферы. Со времен Ньютона было известно, что если силы взаимодействия обратно пропорциональны квадрату расстояния, то внутри сферического слоя поле должно равняться нулю. Поэтому отсутствие поля внутри заряженной сферы означало бы, что электростатические силы, как и гравитационные, обратно пропорциональны квадрату расстояния.

Опыт ставился следующим образом. На заряженный проводящий шар накладывались две проводящие полусферы, плотно пригнанные друг к другу. Затем полусферы убирались и с помощью обычного электроскопа измерялся остаточный потенциал шара, который оказался равным нулю в пределах точки эксперимента.

Для лучшего понимания метода Кавендиша решим такую вспомогательную задачу. Считая, что электрическое поле точечного заряда q, находящегося в начале координат, задается выражением

E→(r→) = qf(r)r→ r ,

где r→ – радиус-вектор точки наблюдения, выяснить, при какой функции f(r) электрическое поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю.

Пусть R0 – радиус сферы, σ – поверхностная плотность зарядов. Через точку наблюдения P внутри сферы и центр сферы проведем ось z (рис. 26). Выделим на сфере кольцо, определяемое сферическим углом ν с шириной R0dν. Заряд этого кольца

dq = 2πR02 sinνdν ⋅ σ.

Нетрудно увидеть, что в точке P кольцо создает электрическое поле, имеющее только z — компоненту.

dEz = −dq ⋅ f(r)cosθ,

где r = r(ν) – расстояние от точек кольца до точки наблюдения P, θ – угол, показанный на рисунке.

Поле от всей сферы находится интегрированием по всем кольцам

Ez = −2πR02σ ∫ 0πf(r)sinνcosθdν.

 

 

В интеграле перейдем к новой переменной интегрирования r, воспользовавшись геометрическими соотношениями

r2 = R 02 + r 02 − 2R 0r0 cosν,(а)

r0 + rcosθ = R0 cosν.(б)

Из (а) имеем

sinνdν = rdr R0r0,(в)

и

R0 cosν = R02 + r02 − r2 2r0 ,

и из (б) получаем

cosθ = R0 cosν − r0 r ,

что с учетом предыдущего выражения дает

cosθ = R02 − r02 − r2 2r0r .(г)

С использованием соотношений (в), (г) выражение для Ez приобретает вид

Ez = −πR0 r02 σ ∫ R0−r0R0+r0 (R02 − r 02 − r2)f(r)dr.

Теперь вспомним – задача заключается в определении функции f(r), обеспечивающей выполнение условия Ez = 0. Следовательно, имеем интегральное уравнение

∫ R0−r0R0+r0 (R02 − r 02 − r2)f(r)dr = 0.

Пусть f(r) = Φ′(r). Тогда

∫ R0−r0R0+r0 = ∫ R0−r0R0+r0 (R02 − r 02 − r2)f(r)Φ′(r)dr

и интегрируя по частям, получим

∫ R0−r0R0+r0 = (R02−r 02−r2)Φ(r)∣ R0−r0R0+r0 +2∫ R0−r0R0+r0 Φ(r)rdr =

= [R02−r 02−(R 0+r0)2]Φ(R 0+r0)−[R02−r 02−(R 0−r0)2]Φ(R 0−r0)+2∫ R0−r0R0+r0 Φ(r)rdr =

 

 

= −2r0(R0+r0)Φ(R0+r0)−2r0(R0−r0)Φ(R0−r0)+2∫ R0−r0R0+r0 Φ(r)rdr = 0.

Интегральное уравнение перепишем, вводя обозначения R1 = R0 − r0, R2 = R0 + r0, откуда r0 = R2−R1 2 ; получим

∫ R1R2 Φ(r) ⋅ rdr = (R2 − R1) ⋅R1Φ(R1) + R2Φ(R2) 2 .(д)

Интеграл в левой части (д) можно заменить выражением [Φ(r) ⋅ r]ср ⋅ (R2 − R1), где нижний индекс означает взятие среднего значения функции на интервале [R1,R2]. В результате имеем

[Φ(r) ⋅ r]ср ⋅ (R2 − R1) = (R2 − R1) ⋅R1Φ(R1) + R2Φ(R2) 2 ,т.е.

[Φ(r) ⋅ r]ср = R1Φ(R1) + R2Φ(R2) 2 .

При любых R1,R2 среднее значение функции на интервале [R1,R2] равно полусумме крайних значений на интервале только в том случае, если эта функция линейная, т.е.

Φ(r) ⋅ r = κ0 + κ1r,Φ(r) = κ0 r + κ1.

Отсюда искомая функция

f(r) = Φ′(r) = −κ0 r2 ,κ0 = const.

Только при f(r) ∼ 1 r2 поле внутри равномерно заряженной сферы тождественно равно нулю.

Итак, если в опыте Кавендиша после снятия двух полусфер заряд шара точно равняется нулю, то из этого следует, что закон Кулона абсолютно точен. К сожалению, экспериментатор никогда не сможет сказать, что заряд точно равен нулю. Он может указать только, что заряд меньше некоторой малой величины и отсюда делают вывод о величине малой добавки ɛ в показателе, если закон Кулона представить в виде

E = q r2+ɛ.