Экспериментальная проверка закона Кулона

Формулу (15.1) можно представить в эквивалентной форме W = 1 2 ∑ j=1Nq jϕj, (15.2)

где ϕj = ∑ k≠jϕjk — потенциал всех зарядов, кроме заряда qj, в том месте, где тот расположен. Отсюда уже нетрудно перейти к непрерывному распределению зарядов: W = 1 2 ∫ V ρ(r→)ϕ(r→)dV. (15.3)

Формула (15.3) имеет смысл, совершенно отличный от формул (15.1) и (15.2), так как помимо энергии взаимодействия зарядов включает ещё и собственную энергию каждого заряда. В этом можно убедится, если подставить в (15.3) плотность заряда

ρ(r→) = ∑ jqjδ(r→ −r→j)

и потенциал

ϕ(r→) = ∑ k qk ∣r→ −r→k∣

системы дискретных зарядов. Образовавшаяся двойная сумма

∑ j∑ k qjqk ∣r→ −r→k∣

содержит слагаемые с j = k, которые для точечных зарядов обращаются в бесконечность.

16. Плотность энергии  электрического поля.

Теперь предположим, что имеется непрерывное распределение зарядов, задаваемое объемной плотностью ρ(r→). Тогда в элементарном объеме dV содержится заряд

dq = ρ(r→)dV,

а формула (39′) приобретает такой вид W = 1 2 ∫ ρ(r→)ϕ(r→)dV. (16.1)

Некоторое замечание надо сделать для обоснования перехода ( 39′)→(42). При переходе к объемному распределению под интегралом, вообще говоря, следовало писать

ρ(r→)ϕ′(r→),

понимая под ϕ′(r→) потенциал всех зарядов, за исключением элементарного заряда ρdV . Мысленно представим заряд ρdV в виде равномерно заряженного шарика малого радиуса δ с центром в точке r→ и с плотностью заряда ρ(r→). Легко вычислить, что потенциал этого заряда в центре шарика = 3 2 q δ = 3 2 1 δ ⋅4 3πδ3ρ = 2πδ2 ⋅ ρ(r→), и следовательно,

ϕ′(r→) = ϕ(r→) − 2πρ(r→)δ2.

Отсюда видно, что при δ → 0 ϕ′→ ϕ(r→) и замена ϕ′(r→) на ϕ(r→), таким образом, действительно допустима.

Теперь осуществим некоторое тождественное преобразование выражения (42), заменив в последнем ρ, согласно уравнению Пуассона (13), на −1 4πΔϕ и используя формулу векторного анализа

div(ϕgradϕ) = ϕΔϕ + gradϕ)2;

в результате получим

W = − 1 8π ∫ div(ϕgradϕ)−gradϕ)2]dV = 1 8π ∮ SϕEndS+ 1 8π ∫ V E2dV,

где S — поверхность, ограничивающая объем V . Если заряды занимают ограниченный объем в пространстве, а в качестве поверхности S принять поверхность сколь угодно большого радиуса R, то при R →∞ интеграл по поверхности

∮ SR → 0,

так как на больших расстояниях ϕ и En совпадают по крайней мере не медленнее, чем 1 R и 1 R2 (если, повторим, заряды занимают конечный объем пространства), а поверхность растет как R2.

Итак, в результате тождественного преобразования выражения (42) получим формулу W = ∫ E2 8πdV (16.2)

в виде интеграла по всему пространству, занятому полем, которая по сравнению с исходной формулой (39) имеет не только новый вид, но, по существу, и новый смысл, определяя плотность энергии электрического поля в пространстве W = E2 8π. (16.3)

В то время как (39) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов (i≠j), формула (42) и следующая из нее формула (43) включают также и собственную энергию каждого из этих зарядов. В терминах поля можно сказать, что формулы (42), (43) описывают полную энергию электрического поля, тогда как (39) - только часть этой энергии.

Представление об энергии электрического поля, распределенном в пространстве с объемной плотностью (44) здесь получено на основе строгих рассуждений. А теперь получим выражение (44) из рассмотрения конкретного примера. Понятно, что никакие примеры доказательства справедливости (44) для общего случая дать не могут. Зато конкретные примеры могут дать наглядное представление о том, как соотношение (44) «работает».

Начнем с обсуждения вспомогательного вопроса о силах, действующих на поверхностные заряды со стороны электрического поля. Более конкретно – силы, действующие на заряды поверхности проводника.

Мы знаем, что на точечный заряд q со стороны электрического поля E→ действует сила

F→ = qE→,

где E→ – напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого заряда q. Когда же мы обращаемся к силам, действующим на поверхностные заряды, возникает трудность, связанная с тем, что поле E→ по разные стороны поверхности имеет разные значения, а на самой поверхности неопределено. Как мы уже обсуждали, внутри проводника поле тождественно равно нулю, а с внешней стороны поверхности имеет только нормальную компоненту, связанную с локальной поверхностной плотностью σ (см. рис. 34). Понятно, что представление о разрыве поля обусловлено неявным отказом от рассмотрения структуры тонкого слоя, где расположены заряды, и предположим, что этот слой представляет собой бесструктурную математическую поверхность. Такая идеализация весьма продуктивна, позволяя нам определить поля вне и внутри проводника, пользуясь простыми средствами. Определение структуры поверхностного слоя для металлических проводников проводится с учетом функции распределения Ферми-Дирака для электронов проводимости и пока для нас недоступно. Но тот факт, что поверхность проводника, где сосредоточены заряды, на самом деле обладает некоторой конечной толщиной δ, хотя и весьма малой, где заряды распределены по объему, позволяет легко получить выражение, связывающее силы, действующие на поверхность проводника, с напряженностью поля вблизи этой поверхности.

Итак, рассмотрим выделенный на рис. 34 участок поверхности dS проводника. Имея ввиду, что толщина слоя очень мала, кривизной поверхности можно пренебречь и считать поверхность проводника и рассматриваемый слой плоскими.

По внешней нормали к поверхности проводника проведем ось x и пусть слой, где распределены заряды, занимает область [0,δ] (рис. 35). Можно считать, что поле E→ внутри и вблизи слоя не зависит от координат y,z и имеет только x-компоненту Ex(x), а объемная плотность заряда характеризуется функцией ρ(x). Левее этого слоя электрическое поле равно нулю (поле внутри проводника). Следовательно, Ex(x) внутри слоя удовлетворяет уравнению

dEx dx = 4πρ(x),(∗)

граничному условию E(0) = 0 и имеет решение

Ex(x) = 4π ∫ 0xρ(ξ)dξ.

Теперь нетрудно найти силу, действующую на слой,

f→ = fxe→x,fx = ∫ 0δρ(x)E x(x)dx,

приходящуюся на единицу поверхности проводника. Подставив сюда вместо ρ(x) выражение из (*), получаем

fx = 1 4π ∫ 0δE x(x)dEx dx dx = 1 8π ∫ 0δ d dx[Ex(x)]2dx,

т.е.

fx = 1 8πE02,

где E0 = Ex(δ) = 4π ∫ 0δρ(x)dx = 4πσ – напряженность поля на внешней поверхности проводника.

Таким образом,сила, действующая на поверхность проводника, определяется суммарным зарядом σ = ∫ 0δρ(x)dx, приходящимся на единицу площади поверхности, и не зависит от распределения ρ(x). Обратим внимание, что при любом знаке заряда σ, т.е. при любом направлении поля E→0, сила f→ направлена вдоль внешней нормали, т.е. f→ = E02 8π n→. (16.4)

Заметим, что результат (45) справедлив для любой заряженной поверхности, если только по одну сторону от поверхности напряженность поля равна нулю.

Теперь обратимся к примеру, призванному служить иллюстрацией к выражению

W = 1 8π ∫ E2dV.

Пример 1. Пусть сферическая поверхность радиуса R равномерно заряжена с суммарным зарядом q. Рассмотрев процесс расширения сферы до радиуса R + dR найти выражение для плотности энергии электрического поля.

Имеем

в начальном состоянииEr = q r2 приr > R 0приr < R

в конечном состоянииEr = q r2 приr > R + dR 0приr < R + dR

Поля изображены на рисунке 36.

Со стороны электрического поля на сферу действуют силы с плотностью

fr = 1 8πE02,E 0 = q R2.

Эти силы совершают работу

δA = fr ⋅ 4πR2dR = 1 8πE02 ⋅ 4πR2dR.(а)

В процессе расширения сферы электрическое поле в пространстве r > R + dR осталось без изменения, а в сферическом слое ( R,R + dR) исчезло полностью, т.е. энергия электрического поля изменилась на величину

dW = −W ⋅ 4πR2dR,(б)

где W – искомая объемная плотность энергии.

Согласно закону сохранения энергии

δA = −dW,

т.е. работа δA электрических сил совершена за счет убыли энергии электрического поля. Подставляя сюда выражения (а) и (б), после сокращения на объем слоя 4πR2dR получаем W = 1 8πE02 – то, что мы хотели увидеть.

Замечание. Этой сферой можно воспользоваться для решения обратной задачи: считая, что плотность энергии W нам известна, найти поверхностную силу fr, отнесенную к единице поверхности заряженной сферы со стороны электрического поля. Решение очевидно.

В качестве второго примера вычислим энергию поля равномерно заряженного шара радиуса a

Er = q r2 при r ≥ R q a3 r при r < a

W = 1 8π ∫ 0aq2 a6r2 ⋅ 4πr2dr + 1 8π ∫ a∞q2 r44πr2dr = 3 5 q2 a .

Воспользуемся полученным результатом для введения понятия «классический радиус частицы».

По теории относительности поле с энергией W обладает массой m = W∕c2. Следовательно, любая частица с массой m и зарядом q не может иметь размер, меньший

rq = q2 mc2,

т.к. масса частицы не может быть меньше массы ее поля (при выписывании этой формулы константа 3/5 не принимается во внимание).

Например, для электрона

re = e2 mc2 ≃ 2,8 ⋅ 10−13см.

17. Мультипольное  разложение.

1. Мы знаем, что если  распределение зарядов в пространстве  известно, то распределение потенциала  в принципе, также известно и  задается в виде интеграла (15) (или суммы, в случае точечных зарядов) ϕ(r→) = ∫ ρ(r→′ dV ′) ∣r→ −r→′∣ , ϕ(r→) = ∑ α qα r→ −r→α′. (17.15)

Для практических расчетов эти выражения обычно малополезны. Однако, имеется важный случай – исследование поля на больших расстояниях от системы зарядов, занимающих ограниченную область пространства – когда из решения (15) получаются простые формулы мультипольного разложения потенциала, справедливые при произвольном распределении зарядов.

Итак, пусть некоторая система зарядов занимает ограниченную

область пространства с характерным размером a и начало координат находится где-то внутри этой области, как показано на рис. 27. Тогда для радиусов-векторов r→′ зарядов системы и радиуса-вектора r→ далекой точки наблюдения, входящих в (15), справедливы оценки r′≤ a,r ≫ a, которые как раз и позволяют получить искомое разложение. Для этого рассмотрим дробь 1∕∣r→ −r→′∣ из (15). Знаменатель дроби представим как расстояние от начала координат до точки с координатами x − x′,y − y′,z − z′, немного отличающимся от координат точки наблюдения x,y,z. (На рис. 27 это расстояние показано пунктирной прямой). По известному правилу разложения функции трех переменных в ряд Тейлора отсюда имеем

1 ∣r→ −r→′∣ = 1 r(x − x′,y − y′,z − z′) =

= 1 r(x,y,z) + ∂ ∂xi 1 r ⋅ (−xi′) + 1 2 ∂2 ∂xi∂xj 1 r ⋅ xi′x j′ + ... (17.26)

Здесь использовано тензорное правило суммирования по повторяющемуся индексу с использованием вместо x′,y′,z′ и x,y,z обозначений xi′, xi(i = 1,2,3).

Для начала ограничимся первыми двумя членами разложения (26)

1 ∣r→ −r→′∣ = 1 r + (−r→′) ⋅ grad 1 r = 1 r + r→′⋅r→ r3

и из (15) получим

ϕ(r→) ≈ Q r + d→ ⋅r→ r3 ,

где

Q = ∫ ρ(r→′)dV ′Q = ∑ αqα ,

d→ = ∫ ∫ ∫ r→′ρ(r→′)dV ′d→ = ∑ αqα .

(17.27)

Здесь Q – суммарный заряд и d→ – дипольный момент системы; в скобках соотвествующие выражения даны для случая точечных зарядов.

Таким образом, на большом расстоянии от системы зарядов главный член разложения

ϕ(0) = Q r

определяется суммарным зарядом. Следовательно, на таких расстояниях поле E→ совпадает с полем точечного заряда Q, находящегося в начале координат.

Следующий, дипольный член разложения ϕ(1) = d→ ⋅r→ r3, (17.28)

определяемый дипольным моментом системы, является малой поправкой к кулоновскому. Дипольный потенциал становится главным, если суммарный заряд системы равен нулю. Обратим внимание, что дипольный потенциал осесимметричен относительно направления вектора d→ и может быть представлен в виде ϕ(1) = d ⋅ cosθ r2, (17.29)

где θ – угол между направлениями векторов d→ и R→. Напомним, что выражение (29) уже фигурировало раньше как одно из решений (25) уравнения Лапласа в сферических координатах.

2. О влиянии выбора  начала координат на вектор d→. Из самого определения (27) видно, что дипольный момент в общем  случае зависит от выбора начала  координат. При переносе его из точки O в точку O′ с вектором переноса OO′→ = b→ радиусы-векторы зарядов r→α′ заменяются на b→ + r→α′ и, следовательно, дипольные моменты d→,d→′ связаны соотношением d→ = ∑ αqαr→α = Qb→ + d→′. Отсюда видно, что при Q = 0 дипольный момент не зависит от выбора начала координат и однозначно описывает пространственное распределение разноименных зарядов. При Q≠0всегда можно выбрать такое b→ = d→∕Q, чтобы получить d→′ = 0.Следовательно, дипольный момент системы характеризует смещение «центра» этой системы зарядов.

Пример. Дипольный момент системы двух зарядов −e,e. По определению d→ = e(r→+′−r→−′) = ea→, т.е.дипольный момент рассматриваемой системы определяется пространственным вектором, соединяющим два заряда (см. рис. 28).

3. Поле диполя. Здесь имеется в виду найти поле системы зарядов с суммарным зарядом Q = 0, характеризующейся дипольным моментом d→, на больших расстояних от зарядов. Из (28) имеем E→(r→) = grad d→ ⋅r→ r3 = (d→⋅r→)grad 1 r3 + 1 r3 grad(d→ ⋅r→) = 3(d→ ⋅r→)r→ − r2d→ r5. (17.30)