Экспериментальная проверка закона Кулона

Выражения типа ∫ Sv→⋅dS→ встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v→ через поверхность S независимо от природы вектора v→. В электродинамике интеграл N = ∫ SE→⋅dS→ (5.1)

называют потоком напряженности электрического поля E→ через произвольную поверхность S, хотя с этим понятием не связано никакое реальное течение.

Допустим, что вектор E→ представляется геометрической суммой

E→ = ∑ jE→j .

Умножив это равенство скалярно на dS→ и проинтегрировав, получим

N = ∑ jNj .

где Nj — поток вектора E→j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.

Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E→ через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4π суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности: ∮ SE→⋅dS→ = 4πQ. (5.2)

Вектор элемента поверхности dS→ здесь направлен по нормали, внешней по отношению к тому объему, где сосредоточен заряд Q (рис. 1.5).

 

Рис. 1.5

Теорема Гаусса для одного точечного заряда

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Начнем с вычисления  потока электрического поля одного  точечного заряда q (рис. 1.5). В простейшем  случае, когда поверхность интегрирования S является сферой, а заряд находится  в её центре, справедливость теоремы  Гаусса практически очевидна. На поверхности сферы напряженность электрического поля

E→ = qr→∕r3

постоянна по величине и всюду направлена по нормали к поверхности, так что поток электрического поля просто равен произведению E = q∕r2 на площадь сферы S = 4πr2. Следовательно, N = 4πq. Этот результат не зависит от формы поверхности, окружающей заряд. Чтобы доказать это, выделим произвольную площадку поверхности достаточно малого размера с установленным на ней направлением внешней нормали n→. На рис. 1.6 показан один такой сегмент преувеличенно большого (для наглядности) размера.

Рис. 1.6: Поток электрического в элемент телесного угла

Поток вектора E→ через эту площадку равен

dN = E→⋅dS→ = EcosθdS ,

где θ — угол между направлением E→ и внешней нормалью n→ к площадке dS. Так как E = q∕r2, а dScosθ∕r2 по абсолютной величине есть элемент телесного угла dΩ = dS∣cosθ∣∕r2, под которым видна площадка dS из точки расположения заряда,

dN = ±q dΩ.

где знаки плюс и минус отвечают знаку cosθ, а именно: следует взять знак плюс, если вектор E→ составляет острый угол с направлением внешней нормали n→, и знак минус в противном случае.

2. Теперь рассмотрим конечную  поверхность S, охватывающую некоторый  выделенный объём V . По отношению  к этому объёму всегда можно  определить, какое из двух противоположных направлений нормали к любому элементу поверхности S следует считать внешним. Внешняя нормаль направлена из объёма V наружу. Суммируя по сегментам, с точностью до знака имеем N = q Ω, где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность S из точки, где находится заряд q. Если поверхность S замкнута, то Ω = 4π при условии, что заряд q находится внутри S. В противном случае Ω = 0. Чтобы пояснить последнее утверждение, можно вновь обратиться к рис. 1.7.

Рис. 1.7: Потоки через площадки, опирающиеся на один телесный угол, но обращенные в разные стороны, взаимно сокращаются.

Очевидно, что потоки через сегменты замкнутой поверхности, опирающиеся на равные телесные углы, но обращенные в противоположные стороны, взаимно сокращаются. Очевидно также, что если заряд находится вне замкнутой поверхности, то любому сегменту, обращенному наружу, найдется соответствующий сегмент, обращенный внутрь.

3. Наконец, воспользовавшись  принципом суперпозиции, приходим  к итоговой формулировке теоремы  Гаусса (5.2). Действительно, поле системы зарядов равно сумме полей каждого заряда в отдельности, но в правую часть теоремы (5.2) дают ненулевой вклад только заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности. Этим завершается доказательство.

В макроскопических телах число носителей заряда столь велико, что дискретный ансамбль частиц удобно представить в виде непрерывного распределения, введя понятие плотности заряда. По определению, плотностью заряда ρ называется отношение ΔQ∕ΔV в пределе, когда объём ΔV стремится к физически бесконечно малой величине: ρ = limΔV →0ΔQ ΔV = dQ dV. (5.3)

Физически бесконечно малым является объём, который мал по сравнению с любыми другими макроскопическими размерами рассматриваемой задачи, но достаточно велик по сравнению с расстоянием между частицами, в данном случае заряженными частицами. С помощью плотности заряда теорему Гаусса можно переписать в виде ∮ SE→⋅dS→ = 4π ∫ V ρdV, (5.4)

где интегрирование в правой части производится по объему V , замкнутому поверхностью S.

Теорема Гаусса даёт одно скалярное уравнение на три компоненты вектора E→, поэтому для расчета электрического поля одной этой теоремы недостаточно. Необходима известная симметрия распределения плотности зарядов, чтобы задача могла быть сведена к одному скалярному уравнению. Теорема Гаусса позволяет найти поле в тех случаях, когда поверхность интегрирования в (5.4) удается выбрать так, что напряженность электрического поля E постоянна на всей поверхности.

6. Дивергенция  электрического поля.

С помощью теоремы Остроградского поверхностный интеграл в левой части теоремы Гаусса (5.4) можно преобразовать в интеграл по объему V , ограниченному поверхностью S: ∮ SE→⋅dS→ = ∫ V divE→dV. (6.1)

Результат преобразования называют теоремой Остроградского-Гаусса: ∫ V divE→dV = 4π ∫ V ρdV .

Поскольку она верна для любой области интегрирования V , в том числе и бесконечно малой, из неё следует равенство подынтегральных выражений слева и справа в каждой точке пространства: divE→ = 4πρ. (6.2)

Это дифференциальное уравнение является одним из основных уравнений электростатики; оно верно также для динамических явлений.

Теорему Остроградского (6.1) можно пытаться доказывать, отталкиваясь от какого-либо из определений оператора дивергенции div. Однако саму эту теорему можно рассматривать в качестве инвариантного определения div, не зависящего от выбора системы координат. Переходя в (6.1) к пределу V → 0, получаем: divE→ = limV →0 ∮ SE→⋅dS→ V. (6.3)

Вместо E→ здесь, как и в (6.1), может стоять любой другой вектор.

Покажем, как из (6.3) получается выражение для дивергенции в декартовых координатах. Рассмотрим небольшой параллепипед, образованный координатными плоскостями, как показано на рис. 1.12.

Рис. 1.12:

В пределах каждой грани параллелипипеда вектор E→ можно считать постоянным, поскольку затем размеры параллелипипеда будут устремлены к нулю. Тогда поверхностный интеграл по каждой грани равен произведению площади грани на нормальную (к этой грани) компоненту вектора E→. Например, для пары противоположных граней в координатных плоскостях x и x + dx имеем (Ex∣x+dx − Ex∣x)∣Sx∣, где ∣Sx∣ = dy dz — площадь каждой из граней. Знак минус перед вторым слагаемым в скобках здесь связан с тем, что нормаль к соответствующей грани направлена в отрицательном направлении оси x. Разлагая первое слагаемое в скобках в ряд Тейлора вокруг точки x с точностью до члена, линейного по dx, находим, что вклад этой пары граней в поверхностный интеграл равен (∂Ex∕∂x)V , где V = dxdy dz. Аналогичным образом вычисляется вклад двух других пар граней. После сокращения на V из (6.3) получаем: divE→ = ∂Ex ∂x + ∂Ey ∂y + ∂Ez ∂z . (6.4)

7. Электрический  потенциал.

Электростатическое поле, т.е. электрическое поле неподвижных зарядов, потенциально. Это означает, что работа электрического поля по перемещению пробного заряда по любому замкнутому контуру равна нулю: A = −q ∮ E→dr→ = 0. (7.1)

Потенциальность электростатического поля есть следствие закона сохранения энергии, ибо в противном случае можно было бы построить вечный двигатель 1-го рода.

Рис. 1.13:

Доказательство равенства (7.1) очень просто. Вследствие принципа суперпозиции достаточно проверить, что равна нулю работа по замкнутому контуру в поле точечного заряда (рис. 1.13). Вычислим интеграл

A = −∫ r→ir→qQ r→dr→ r3 .

соответствующий работе по перемещению пробного заряда q в электрическом поле E→ = Qr→∕r3 заряда Q из начальной точки с радиус вектором r→i в наблюдения точку с радиус-вектором r→ по произвольному контуру. Дифференцируя тождество r→2 = r2, легко убедиться, что r→dr→ = rdr. Поэтому криволинейный интеграл сводится к определённому между радиусами ri и r начальной точки и точки наблюдения:

A = −∫ rirqQ dr r2 = qQ r −qQ ri .

Отсюда следует, что при любом выборе этих точек работа определяется только их положением и не зависит от формы пути. На замкнутом пути конечная точка совпадает с начальной, т.е. r = ri, поэтому A = 0.

Приведенное доказательство можно пояснить следующими рассуждениями. Любой контур можно представить в виде сегментов достаточно малого размера, поочередно идущих то по радиальному направлению от заряда Q, то по сферической поверхности, как показано на рис. 1.14.

Рис. 1.14: Траектория перемещения пробного заряда и её приближение отрезками радиальных линий и дугами окружностей

Перемещение пробного заряда q по сфере перпендикулярно кулоновской силе, поэтому электрическое поле там не совершает работу. Все такие перемещения можно просто исключить. Тогда произвольный контур сжимается в отрезок прямой линии, идущей по радиусу от источника поля Q. Пробный заряд проходит этот отрезок дважды: сначала в одну сторону, потом обратно. На каждом участке обратного пути на него действует та же сила, что и при движении вперед, но так как заряд движется в противоположном направлении, работа имеет противоположный знак. Таким образом, при возвращении в точку старта работа электрического поля обращается в нуль.

Рис. 1.15: Работа A132 по перемещению заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 по пути 132 равна работе A142 по перемещению того же заряда по пути 142. При перемещении заряда по замкнутому пути 13241 работа на участке 241 изменит знак: A241 = −A142. Поэтому A13241 = A132 + A241 = 0.

В потенциальном электрическом поле работа не зависит от формы пути. Это утверждение можно рассматривать в качестве альтернативного определения свойства потенциальности электрического поля. Два определения полностью эквиваленты, как должно быть ясно из приведенных выше рассуждений. Формальное же доказательство состоит в том, что если замкнутый контур разбить на две траектории, имеющие общие точки старта и финиша, то из равенства работы при перемещении пробного заряда по этим траекториям следует равенство нулю полной работы по замкнутому контуру (рис.1.15). И наоборот, из равенства нулю работы по замкнутому контуру следует равенство работы при перемещении пробного заряда по любым траекториям с общими точками старта и финиша.

Зафиксируем точку старта r→i, считая, что траектория перемещения заряда может финишировать в точке наблюдения с произвольными координатами r→ = (x,y,z) (рис. 1.14). Тогда интеграл ϕ(r→) = −∫ r→ir→E→⋅dr→ (7.2)

является однозначной функцией координат точки наблюдения, поскольку форма траектории не влияет на её значение. Функцию ϕ называют скалярным потенциалом электрического поля; используют также термины электростатический или электрический потенциал. Скалярный потенциал равен работе, совершаемой электрическим полем при перемещении единичного пробного заряда из точки наблюдения в ту точку, где потенциал условно принят равным нулю. Если нуль потенциала не задан, то говорят, что потенциал определен с точностью до аддитивной константы.

Пробный заряд q в электростатическом поле обладает потенциальной энергией U(r→) = q ϕ(r→). (7.3)

Потенциальная энергия также определена с точностью до константы. Имеет смысл только разность потенциальной энергии U(r→) − U(r→i) между двумя точками. Эта разность равна работе по перемещению заряда из точки r→i в точку r→: A = U(r→) − U(r→i). (7.4)

Потенциал точечного заряда Q нетрудно найти, повторив вычисления начала параграфа:

ϕ(r→) = −∫ rirQ dr r2 = Q r −Q ri .

Приняв за точку нуля бесконечно удаленную точку ri = ∞, получим ϕ = Q r. (7.5)

Если заряд qj находится в произвольной точке с радиус-вектором r→j, то

ϕ(r→) = qj ∣r→ −r→j∣.

Потенциал системы зарядов есть сумма потенциалов отдельных зарядов: ϕ(r→) = ∑ j q ∣r→ −r→j∣. (7.6)

Это следует из принципа суперпозиции.

В системе СИ потенциал измеряется в вольтах (В). В абсолютной гауссовой системе единицей измерения является статвольт (стВ): [ϕ] = 1стВ ≈ 300В. (7.7)

            При перемещении заряда 1Кл между точками с разностью потенциала 1В совершается работа 1Дж, т.е. 1В = 1Дж∕Кл. Электрическое поле измеряется соответственно в вольтах на метр (В/м) и в статвольтах на сантиметр (стВ/см): [E] = 1стВ/см ≈ 3⋅104 В/м. (7.8)

8. Градиент потенциала.

Выразим теперь напряженность электрического поля через потенциал. Пусть 1 и 2 — две бесконечно близкие точки, расположенные на оси X, так что x2 − x1 = dx (рис. 1.16).

Работа при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна

Ex dx. Та же работа равна  ϕ1 − ϕ2 = −dϕ. Приравнивая оба выражения, получим dϕ = −ex dx. Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z. В результате находим все три компоненты вектора E→: E→ = −(∂ϕ ∂x, ∂ϕ ∂y, ∂ϕ ∂z). (8.1)

Так как E→ есть вектор, то и выражение, стоящее в правой части, есть вектор. Его называют градиентом скаляра ϕ и обозначают gradϕ, или ∇ϕ. Его можно рассматривать, как произведение дифференциального оператора