Экспериментальная проверка закона Кулона

Содержание:

1. Введение. (1)
2. Закон Кулона. (1)
3. Электрический заряд. (2)
4. Электрическое поле. (3)
5. Принцип суперпозиции. (4)
6. Теорема Гаусса. (5)
7. Дивергенция электрического поля. (7)
8. Электрический потенциал. (8)
9. Градиент потенциала. (10)
10. Силовые линии и эквипотенциали. (11)
11. Уравнение Пуассона. (13)
12. Общее решение уравнения Пуассона. (13)
13. Проводник в электрическом токе. (15)
14. Уравнение Лапласа. (16)
15. Стандартные задачи электростатики. (17)
16. Энергия взаимодействия электрических зарядов. (19)
17. Плотность энергии электрического поля. (20)
18. Мультипольное разложение. (23)
19. Емкость системы проводников. Емкостные и потенциальные коэффициенты. (26)
20. Экспериментальная проверка закона Кулона. (26)

 

 

Введение:

Наша жизнь сегодня такова, что далеко не всегда мы задумываемся о том, что происходит вокруг нас, и уж тем более почему. И вот так вот не замечая, а точнее не обращая внимание ни на происходящее, ни на его суть, мы продолжаем стремительно двигаться куда-то вдаль, куда и сами не знаем, как, впрочем, не знаем и зачем. Мы очень часто говорим, что мир чересчур сложен, и мы не можем, да и не имеем времени на то, чтобы остановиться и попытаться сделать хоть небольшой шаг к его пониманию. И лишь бессмысленно и тупо злимся, торопясь куда-то, от того, что когда мы причесываемся волосы не причесываются, и не лежат так, как нам надо, а наоборот липнут к пластмассовым зубьям противной расчески, мы ни на секунду не задумываемся, от чего это собственно происходит, да и зачем ведь это всё равно ничего не изменит, думаем мы, ведь это всё равно ничего не изменит... И в ярости, кинув её, снова летим куда-то, впрочем, как и обычно. А на самом деле человек вынужден подчас бороться с отрицательными воздействиями статического электричества и изобретать различные антистатики, браслеты для специалистов, обслуживающих современную электронику, спецодежду и т.д.

Впрочем, всё не так уж и сложно, что касается хоть той же расчески. В основе этого явления как вы знаете лежит поляризация диэлектриков, а это явление из электростатики, которая в свою очередь одна из электромагнитных сил, которые в своей совокупности составляют 97% от всех существующих в природе сил, с которыми и благодаря которым мы живем как днем, так и ночью. Что же касается непосредственно электростатики, то это раздел физики, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов. И рамки её (электростатики) влияния охватывают и каждый атом, как на земле, так и за её пределами, включая, как и простую расческу, так и земной шар. Однако в общеобразовательных учебных заведениях, зачастую рассматриваются лишь теоретеческие аспекты электростатики, и опускается реальное применение, да никто об этом особо и не задумывается, а ведь она на использовании её законов видно чуть ли не на каждом шагу: к примеру на свойстве металлических проводников экранировать пространство от внешних полей основано его применение для электростатической защиты хоть в той же медицине (аппаратура, пациенты, обслуживающий персонал, окруженные проводящей металлической сеткой, не испытывают воздействия внешних электрических полей, что необходимо как для безопасности больного да врача, так и для предотвращения искажений при снятии, например электрокардиограммы). Или другой вопрос, касающийся заряда Земли, у которой он есть. Как известно, существует напряженность электрического поля у поверхности нашей планеты оно равно приблизительно 130в/м На первый взгляд довольно странно, ведь из-за атмосферных ионов воздух проводит электрический ток и расчёты показывают, что планета разрядилась бы полностью за полчаса, если бы ни что её не "подпитывало", так может быть и было бы, но каждый день на Земле происходит около 40000 гроз, и ежесекундно планету "бьет" 18000 молний (установленный факт), несущих отрицательный заряд и благодаря такой "подпитке", а также тому, что во время грозы возникают токи с многочисленных остроконечных предметов(огни святого Эльма, о которых, как и о Земле мы поговорим несколько попозже), которые отводят от земной поверхности положительный заряд, заряд самой Земли не исчезает. Также на основе использования статических электрических полей как естественных так и специально сгенерированных, разработаны методы электроразведки недр Земли.

1. Закон Кулона.

Основой электростатики является закон Кулона (1785 г.). В современной формулировке он устанавливает силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов.

Рис. 1.1: Закон Кулона формулируется для двух точечных зарядов

Согласно закону Кулона, электрический заряд q1, находящийся в точке с радиус вектором r→1, действует на заряд q2 в точке с радиус вектором r→2 с силой F→12 = q1q2 r→2 −r→1 ∣r→2 −r→1∣3. (1.1)

По третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый заряд со стороны второго, имеет противоположный знак, т.е.

F→21 = −F→12 = q1q2 r→1 −r→2 ∣r→1 −r→2∣3 .

Закон Кулона (1.1) записан в абсолютной гауссовой системе единиц, которую также называют системой СГС. В электродинамике от выбора системы единиц зависит даже сам вид формул. Например, в системе СИ в законе Кулона появляется дополнительный коэффициент, имеющий не только числовое значение, но и размерность. В нашей книге мы повсеместно используем систему СГС. Правила пересчета систем единиц изложены в приложении A. Там же имеется сводка ключевых формул электродинамики в системе СИ. Система СГС удобна для теоретических расчетов, но на практике чаще применяют систему СИ. Многие физики делают промежуточные вычисления в системе СГС и лишь окончательный результат переводят в систему СИ. Для этого достаточно знать несколько приближенных соотношений между единицами СГС и СИ.

В системе СГС сила измеряется в динах (дн), расстояние в сантиметрах, а заряд — в статкулонах (стКл): [q] = 1стКл = 1г1∕2 см3∕2∕сек. (1.2)

Заряд величиной 1стКл, находящийся на расстоянии 1см от равного себе, действует на него с силой 1дн. В системе СИ единицей измерения заряда является Кулон (Кл). Это очень большая величина: 1Кл ≈ 3⋅109 стКл. (1.3)

На расстоянии 1 метр он действует на равный себе с силой 9⋅1013 н.

2. Электрический  заряд.

Что такое заряд? Философ бы ответил, что это некая характеристика реального мира, данного нам в ощущение. Нам известно, что некоторые материальные объекты притягиваются или отталкиваются с силой, пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это свойство таких объектов характеризуется тем, что таким объектам приписывается электрический заряд.

Известно, что существуют заряды двух сортов (Бенджамин Франклин, 1706–1790; 1747г.), так как заряды могут отталкиваться, а могут притягиваться. Известно также, что заряды одного сорта отталкиваются. Если бы это было не так, к закону Кулона (1.1) пришлось бы приписать знак минус. Замена притяжения отталкиванием есть просто смена знака силы. Из закона Кулона явствует, что сила изменяет направление при изменении знака заряда. Следовательно, два сорта зарядов — это заряды положительные и заряды отрицательные. Сейчас этому учат в школе и трудно представить, что ещё не так давно люди этого не знали.

Какой сорт зарядов считать положительным, а какой отрицательным — дело соглашения. История распорядилась так, что заряд электрона считают отрицательным, а заряд протона — положительным.

Величину заряда определяют при помощи закона Кулона. Выбрав какой-то заряд в качестве эталона, можно определить знак другого заряда и во сколько раз по абсолютной величине он больше или меньше эталонного. Природный эталон заряда называют элементарным зарядом; по абсолютной величине он равен заряду электрона, поэтому его обозначают буквой e. Однако элементарный заряд слишком мал, чтобы его удобно было считать единицей измерения. В системе СГС e = (4,803242 ± 0,000014)⋅10−10стКл; в системе СИ e = (1,6021892 ± 0,0000046)⋅10−19Кл.

Современная наука считает элементарный заряд величиной, не зависящей от времени, т.е. мировой константой. Существуют теории, согласно которым некоторые мировые константы изменяются в ходе эволюции Вселенной. Однако относительно элементарного заряда достоверных сведений такого рода нет. Отсюда следует закон сохранения заряда в замкнутой системе: Q = ∑ iqi = const. (2.1)

Он остается в силе, даже если число заряженных частиц изменяется за счёт реакций между ними, как, например, при аннигиляции электрона и позитрона:

e−e+ → 2γ .

Важно только, чтобы заряды не пересекали границы объема; в противном случае объем не является замкнутым.

3. Электрическое  поле.

Закон Кулона предстанет в совершенно ином свете, если ввести понятие электрического поля. Зафиксируем в пространстве заряд q1. Для простоты можно считать, что он расположен в начале координат, а радиус-вектор точки, где расположен второй, так называемый пробный заряд q2, обозначить через r→ (без индекса).

Рис. 1.2: К определению понятия электрического поля

Если теперь в законе Кулона (1.1) вынести величину пробного заряда в буквальном смысле за скобки, F→12 = q2 q1 r2 r→ r ≡ q2 E→1(r→), (3.1)

то выяснится, что нечто, оставшееся в скобках, можно измерить в простом опыте, если заранее знать величину пробного заряда q2. Для этого достаточно измерить направление и величину силы, действующей на пробный заряд. Перемещая пробный заряд, измерения можно выполнить, по крайней мере мысленно, во всех точках пространства. Таким образом, нечто, обозначенное выше через E1(r→), является тем, что в математике принято называть векторным полем. В данном случае это электрическое поле. Существенно, что оно не зависит от пробного заряда. Можно сказать, что заряд q1 создает в окружающем пространстве электрическое поле независимо от того, имеется ли ещё какой-либо заряд, в том числе пробный, или его нет. Электрическое поле может быть создано зарядом другой величины, расположенным в другом месте, или даже несколькими зарядами одновременно. Если оно известно, то известна и сила, действующая на пробный заряд. По сути дела, определением электрического поля является равенство F→ = q E→, (3.2)

где q — величина пробного заряда, а F→ — сила, действующая на него в точке r→. Из закона Кулона следует, что электрическое поле точечного заряда q на расстоянии r→ от него равно E→(r→) = q r2 r→ r. (3.3)

В зависимости от постановки задачи один и тот же заряд q можно рассматривать в качестве источника поля (3.3) или в качестве инструмента измерения поля других зарядов, как следует из (3.2). Вектор E→ называют вектором напряженности электрического поля, или просто электрическим полем. Абсолютное значение E = ∣E→∣ вектора E→ называют напряженностью электрического поля.

Формулировка закона Кулона в виде (1.1) соответствует так называемой концепции дальнодействия. Согласно ей, взаимодействие зарядов, находящихся на расстоянии друг от друга, осуществляется без промежуточной субстанции, которую в прошлом отождествляли с мировым эфиром. Представление закона Кулона в виде (3.3) соответствует концепции близкодействия, когда силовое воздействие на заряд способны оказывать только упругие напряжения мирового эфира. Концепция близкодействия более адекватна современной трактовке взаимодействия частиц посредством переноса квантов поля, но в целом представления о мировом эфире безнадежно устарели.

В рамках электростатики электрическое поле остается не более чем формальным, математическим понятием. Исследуя только статические явления, невозможно сделать однозначный выбор между концепциями дально- и близкодействия. Только электродинамика, доказывающая существование электромагнитных волн, делает электрическое поле физической реальностью. Понять это утверждение можно хотя бы на примере упоминавшейся уже реакции аннигиляции электрон-позитронной пары:

e−e+ → 2γ .

В результате аннигиляции исчезают заряженные частицы — источники электрического поля, но зато возникает свободное электромагнитное поле в виде двух гамма-квантов.

4. Принцип суперпозиции.

Если E→1(r→) — поле системы зарядов №1, а E→2(r→) — поле системы зарядов №2, то при наличии зарядов обоих систем E→(r→) = E→1(r→) + E→2(r→). (4.1)

Рис. 1.3 поясняет сказанное.

Рис. 1.3

Принцип суперпозиции. В отсутствие заряда q2 на пробный заряд q3 действует сила F→13 = q3E→1, а в отсутствие заряда q1 — сила F→23 = q3E→2. При наличии обоих зарядов действующая сила равна их сумме, F→3 = F→13 + F→23 = q3E→. Отсюда следует, что в месте нахождения пробного заряда E→ = E→1 + E→2.

Простейшая система состоит из одного заряда. Следовательно, электрическое поле системы зарядов равно сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, в отсутствие других зарядов: E→(r→) = ∑ j qj ∣r→ −r→j∣2 r→ −r→j ∣r→ −r→j∣. (4.2)

Здесь qj,r→j — заряд и радиус-вектор j-го заряда. Правило сложения (4.1) называют принципом суперпозиции, а формула (4.2) является следствием принципа суперпозиции и закона Кулона.

Принцип суперпозиции является экспериментальным фактом. В электродинамике он рассматривается как абсолютно точный в том смысле, что никакие отклонения от него не обнаружены. Принцип суперпозиции для электрического поля не столь очевиден, как могло бы показаться на первый взгляд. Например, можно предположить, что он нарушается в очень сильном поле аналогично тому, как в твердом теле упругие напряжения можно складывать только при условии, что они достаточно малы (при больших деформациях тело разрушается). Однако эксперименты свидетельствуют, что даже на поверхности тяжёлых ядер, где электрическое поле достигает громадных значений, принцип суперпозиции выполняется. Другое дело, что при полях, примерно в 100 раз меньших, проявляются эффекты поляризации вакуума в результате рождения электрон-позитронных пар. Это приводит к квантово-механической нелинейности взаимодействия зарядов.

5. Теорема Гаусса.

Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса.

Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N, проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v⋅S, где v — скорость жидкости, а S — площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N = ∫ Sv→⋅dS→. Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку dS, перпендикулярную к вектору скорости (рис. 1.4).

Рис. 1.4: Поток жидкости

Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время dt, равен v dS dt. Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v dScosθdt, где θ — угол между вектором скорости v→ и нормалью n→ к площадке dS. Объём жидкости, протекающий через площадку dS в единицу времени получается делением этой величины на dt. Он равен v dS cosθdt, т.е. скалярному произведению v→⋅dS→ вектора скорости v→ на вектор элемента площади dS→ = n→dS. Единичный вектор n→ нормали к площадке dS можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n→. Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n→, называется внешней, а та, в которую нормаль n→ входит, — внутренней. Вектор элемента площади dS→ направлен по внешней нормали n→ к поверхности, а по величине равен площади элемента dS = ∣dS→∣. При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки dS, а затем вычислить интеграл ∫ Sv→⋅dS→ по всей поверхности S.