Методологические подходы к формированию портфеля инвестиций

 

Из описания теории Г. Марковица, можно  сделать вывод, что она дает принципы построения эффективных портфелей и способы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Решая задачу значений Ер, получим множество точек. В плоскости портфельных характеристик Ер, найденным эффективным точкам будет соответствовать соединяющая их кривая, называемая траекторией эффективных портфелей («эффективная граница Марковица»). На эффективной траектории допустимые портфели являются одновременно и эффективными в том смысле, что они дают минимальный риск при фиксированной ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при данном риске. Теория Марковица дает принципы построения эффективных портфелей и способы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Эта теория отличается от других тем, что в ней сформулированы принципы измерения основных параметров теории. К ним относятся риск и ожидаемая доходность как отдельных активов, так и всего портфеля в целом. Более того, при помощи этих величин, а также ковариации и корреляции между доходностями активов можно осуществить диверсификацию портфеля, цель которой состоит в уменьшении его риска без ущерба для доходности.

К минусам этого метода относится  огромная трудоемкость расчетов, хотя этот минус довольно сомнительный в  условиях существования вычислительной техники.

Вторым минусом, является то что  метод опирается на прошлые данные высчитывая доходность и стандартное отклонение. Однако прошлые данные могут сильно варьироваться в зависимости от взятого периода, а так же совершенно не гарантируют того, что рынок в будущем будет вести себя именно так.

Так же этот метод разработан только для акций, которые сами по себе являются рисковым активом.

Так же метод Марковица предлагает целый набор эффективных портфелей  и не указывается, какой из портфелей  может быть эффективным. Однако при большом количестве бумаг, множество эффективных портфелей может сильно вырасти и выбрать из них оптимальный будет достаточно сложно.

Модель Блека аналогична модели Марковица, но в отличие от последней в ней отсутствует условие неотрицательности на доли активов портфеля. Это означает, что инвестор может совершать короткие продажи, т.е. продавать активы, предоставленные ему в виде займа. В этом случае инвестор рассчитывает на снижение курса ценной бумаги и планирует вернуть заем теми же ценными бумагами, но приобретенными по более низкому курсу.

Вследствие отсутствия ограничений  на доли активов в портфеле потенциальная прибыль инвестора не ограничена максимальной доходностью одного из активов, входящих в портфель

В отличии от моделей Марковица  и Блека, которые связаны с  выбором класса допустимых портфелей, модель Тобина в большей степени относится к структуре рынка, нежели к структуре допустимых портфелей. В этой модели предполагается существование безрискового актива, доходность которого не зависит от состояния рынка и всегда имеет одно и то же значение. Кроме того, в модели Дж.Тобина допустимыми являются любые портфели, это значит, что допустимы не только покупки акций, но и продажи. Поэтому доли акций могут принимать и отрицательные значения. Единственное ограничение по портфелю - сумма всех долей должна равняться 1, включая и долю безрискового актива. Это выражается в формуле (8).

 

(8)

 

Доходность с учетом безрискового актива задается формулой (9).

 

(9)

 

Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для этого актива равно нулю. Это означает, что корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.  В итоге мы получаем систему (10).

 

(10)

 

Дж. Тобин показал, лежат на прямой, проходящей через точки Rf и D где Rf и D – безрисковая и рисковая доходности соответственно. Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске), т.е. ту, которая проходит через точку Rf и точку касания T к эффективной границе изображенной на Рис. 2.

 

Рис. 2. График эффективной границы по модели Тобина

Множество достижимости существенно  изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. Две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и портфелю с набольшим риском и доходностью. Поэтому она представляет портфели, являющееся комбинациями этого портфеля и безрискового актива. Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискованного портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначенной T). Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель T заслуживает особого внимания. Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т. Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки T представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.   

 Анализ может быть расширен  за счет введения возможности  заимствования, т.е. инвестор может увеличить свой капитал для вложения в данные бумаги за счет безрисковых займов. Портфели состоящие из безрисковых займов и рисковых активов, будут лежать на продолжении прямой RfT, при этом чем больше сумма привлеченных средств, тем выше и правее располагается точка портфеля.

В 1960-х годах Уильям Шарп первым провел регрессионный анализ рынка  акций США. Для избежания высокой  трудоемкости Шарп предложил индексную модель. Он упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел b-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля. b-фактор определяется по формуле (11).

 

(11)

 

где – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка;

 – дисперсия доходности  рынка.

Показатель «бета» характеризует  степень риска бумаги и показывает, во сколько раз изменение цены бумаги превышает изменение рынка  в целом.

В индексной модели Шарпа используется тесная корреляция между изменением курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при  помощи всего лишь одного базисного  фактора и отношений, связывающих  его с изменением курсов отдельных акций. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается формулой (12).

 

,

(12)

 

где – доходность ценной бумаги i за данный период;

 – доходность на  рыночный индекс I за этот же период;

 – константа и представляет собой ожидаемую доходность актива при отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

 – коэффициент бета, показывающий в какой степени изменение значения доходности рыночного индекса I отражается на доходности актива;

 – независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил.

Если это уравнение применить к широко диверсифицированному портфелю,  то значения случайных переменных ()  в силу того,  что они изменяются как в положительном,  так и отрицательном направлении,  гасят друг друга,  и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю.  Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь.  Тогда модель Шарпа принимает вид показанный в формуле (13).

 

,

(13)

 

где — ожидаемая доходность портфеля;

 — бета портфеля;

 —  доходность портфеля в отсутствии воздействия на него ры-

ночных факторов

Риск портфеля определяется по формуле (14).

 

(14)

 

Доходности каждой бумаги без воздействия рыночных факторов определяется по формуле (15).

 

(15)

 

где - средняя доходность актива,

- средняя доходность  рынка.

Можно отметить основные этапы, которые  необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей  в модели У. Шарпа:

1) Выбрать n ценных бумаг, из  которых формируется портфель, и  определить период времени, за  который будут наблюдаться значения  доходности ri каждой ценной бумаги.

2) По рыночному индексу (например, MICEX) вычислить рыночные доходности rm для того же промежутка времени.

3) Определить величину дисперсии  рыночного показателя, а также  значения ковариаций доходностей каждой ценной бумаги с рыночной доходностью и найти величины β_i.

4) Найти ожидаемые доходности  каждой ценной бумаги и рыночной  доходности  и вычислить параметр .

5) Вычислить дисперсии  ошибок регрессионной модели.

6) Подставить эти значения в  систему уравнений (16).

(16)

 

ГЛАВА 2.	РАСЧЕТ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ПО МЕТОДАМ  МАРКОВИЦА,  БЛЭКА, ТОБИНА, ШАРПА
2.1.	Расчет модели Марковица

 

За основу выбора котировок были взят индекс ММБВ и 8 топовых компаний на 03.10.2012. Посчитаны средние доходности по месяцам за период с января 2010 года до сентября 2012 года и представлены в Табл. 1.

Таблица 1

Расчет доходности ценных бумаг  и индекса

	Система	Аэрофлот	Акрон	Башнефть	Банк СПб	Северсталь	Дикси	Э.ОНРоссия	MICEX
01.01.2010	0,0667	0,0331	0,1272	-0,0813	0,2015	0,3229	0,1705	0,1180	0,0057
01.02.2010	0,0012	-0,0107	0,1409	-0,0872	-0,0025	-0,0171	0,1192	-0,0836	-0,0607
01.03.2010	0,1053	0,2210	-0,0259	0,1482	0,0117	0,1507	0,1082	0,3132	0,0836
01.04.2010	0,0117	-0,0911	-0,1039	0,2068	0,0742	-0,0188	-0,0095	0,0182	-0,0129
01.05.2010	-0,0529	-0,0887	-0,1931	-0,0660	-0,1858	-0,1207	-0,1502	0,1685	-0,0732
01.06.2010	-0,0881	0,0061	-0,0192	-0,0409	-0,0366	-0,0978	0,1034	-0,0883	-0,0121
01.07.2010	0,0092	0,0623	0,0587	-0,0365	0,1183	0,1854	-0,0046	-0,0054	0,0785
01.08.2010	-0,0117	0,0066	0,1103	-0,0171	0,0381	0,0255	-0,0127	0,0171	-0,0278
01.09.2010	0,0666	0,0957	0,0222	0,0418	0,2760	0,2030	0,0663	0,0973	0,0513
01.10.2010	-0,0189	0,1621	-0,0289	0,0161	0,1214	-0,0633	0,2553	-0,0458	0,0581
01.11.2010	-0,0362	0,0418	0,0581	0,1394	0,0265	0,0502	0,0045	0,2252	0,0238
01.12.2010	0,0363	-0,0012	0,1895	0,0236	0,1172	0,1606	-0,0221	-0,0676	0,0750
01.01.2011	0,0198	-0,0226	0,2075		0,0058	0,0386	0,0814	-0,0081	0,0211
01.02.2011	0,0669	-0,0574	-0,0230		-0,0202	0,0069	-0,0015	-0,1073	0,0266
01.03.2011	0,1296	-0,0019	-0,0898		-0,1179	0,0101	-0,0735	0,0375	0,0176
01.04.2011	-0,0662	-0,0678	0,0437		-0,0337	-0,1009	-0,1098	-0,1286	-0,0396
01.05.2011	-0,0047	0,0619	-0,0698		-0,0648	0,0112	0,0475	-0,0960	-0,0426
01.06.2011	-0,0054	-0,0559	0,1199		0,0598	0,0067	0,0136	0,1300	0,0012
01.07.2011	0,0528	0,0136	0,1414		-0,0151	0,0393	-0,0193	0,0859	0,0232
01.08.2011	-0,2253	-0,1982	-0,1178		-0,1323	-0,1704	-0,2361	-0,1485	-0,1015
01.09.2011	-0,2025	-0,0817	-0,1692		-0,2912	-0,2439	-0,1096	-0,1379	-0,1156
01.10.2011	0,1683	0,1051	0,1957		0,2370	0,3347	0,2109	0,1774	0,0979
01.11.2011	0,1231	-0,0995	0,2652		-0,2013	-0,0329	0,0283	-0,0047	0,0063
01.12.2011	-0,1224	-0,0134	-0,1546		-0,1105	-0,1494	-0,0813	-0,1050	-0,0685
01.01.2012	0,1058	-0,0194	0,0448		0,3069	0,1983	0,1957	0,1909	0,0730
01.02.2012	0,1006	0,0126	-0,0217		-0,0616	0,0221	0,0891	0,0403	0,0556
01.03.2012	-0,0812	-0,0548	-0,0916		-0,0887	-0,1151	-0,0026	0,1086	-0,0454
01.04.2012	-0,0577	0,0213	0,0680		-0,1094	0,0101	-0,0173	-0,0781	-0,0320
01.05.2012	-0,0331	-0,1010	-0,2011		-0,2171	-0,0857	-0,1794	-0,1593	-0,1112

Окончание Таблицы 1

01.06.2012	0,0285	0,0095	0,0915		-0,0038	0,0293	0,0284	0,0498	0,0570
01.07.2012	0,0759	-0,0511	0,1932		0,0176	-0,0417	0,1045	0,1289	0,0140
01.08.2012	0,0102	0,0268	0,0090		0,1270	0,0224	0,0544	0,0094	0,0119
01.09.2012	-0,0636	0,0255	-0,0212		-0,0041	0,0705	-0,1038	0,0500	0,0254
01.10.2012	0,0148	0,0177	0,0259		0,0310	0,0224	0,0294	0,0332	0,0166
Среднее	0,0036	-0,0028	0,0230	0,0206	0,0022	0,0195	0,0170	0,0216	0,0024
Среднее%	0,3629	-0,2757	2,2993	2,0575	0,2159	1,9511	1,6989	2,1625	0,2362

 

Модель Марковица не использует короткие сделки, поэтому акции с  отрицательной доходностью не будут  участвовать в формировании портфеля. Так же выберем акции с наибольшим доходом. Это акции компаний: Акрон, Башнефть, Северсталь, Дикси и Э.ОНРоссия. С соотвествующими доходностями и рисками по акциям. Результаты представлены в Табл. 2.

Таблица 2

Срениедние доходности и риски  по ценным бумагам

	Доходность	Риск
Акрон	2,30	12,24
Башнефть	2,06	9,70
Северсталь	1,95	12,96
Дикси	1,70	11,02
Э.ОНРоссия	2,16	11,77