Отработка приемов решений задач финансовой математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1

АО для погашения задолженности по счетам поставщиков считает возможным взять краткосрочный кредит под 9% годовых. Год не високосный. Ссуда 150 млн. руб. с 20 февраля по 7 апреля. Определить возможные варианты погашения ссуды.

Решение:

Точное число дней: 9 + 31 + 7 – 1 = 46.

Приближенное число дней: 11 дн.в февр.+30 дн.в март.+7дн.в апр. – 1 = 47.

 

а) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

 

 

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

 

 

в) Точные проценты с точным числом дней ссуды:

 

 

 

Пример 2

                    Величина потребительского кредита – 21 тыс. долл.

                       Процентная ставка i – 14%

                       Срок погашения  - 6 месяцев.

_____________________________________

Составить план погашения кредита

 

Решение

1. Месячная выплата основного долга

 

     2) Процентный платеж 1-го месяца

 

     3) Процентный платеж 2-го месяца

 

 

      6)Процентный платеж 6-го месяца

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Месяц	Основной долг	Процентный платеж	Выплата основного долга	Месячный взнос
	21000	14%
1	17500	245	3500	3745
2	14000	203	3500	3706
3	10500	161	3500	3664
4	7000	119	3500	3622
5	3500	77	3500	3580
6	-	35	3500	3538
		840	21000	21855

10) При выплате кредита равными  долями ежемесячная выплата составила  бы:

 

 

 

Пример 3

Sо = 400 тыс.руб.

I=21% Проценты простые, точные операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение первого квартала.

Сопоставить результат реинвестирования с обычным вычислением простых  процентов

Решение

1)Реинвестирование 

 

Пример 4

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

Вывод

При декурсивном расчете получится больший доход, чем при антисипативном.  

 

Пример 6

 

Для погашения своего долга 600000 долл. Предприятие 20.04 выдало банку 4

одинаковых векселя со сроками погашения 20.05, 25.06, 06.07, и 10.08 под i=4%

годовых.Определить номинальную величину каждого векселя.

 

Решение

 

Средний срок погашения векселя       

 20.04 – 109 день года;

20.05 -  139 день;         139-109=30 день.

 25.06 -  175 день;         175-109=66 день.

 06.07 -  185 дней;       185-109=76 дней.

10.08 -  220 день;          220-109=111 дней.

 

 

 

 

 

 

Пример 7

 

Владелец  векселя, номинальная стоимость которого 200 тыс. руб, а    срок погашения   - 1 год, обратился в банк через 230 дней, то есть до  наступления срока погашения векселя

с просьбой об его учете.

 

 

Решение.

1.Владелец векселя получит сумму

 

 

 

2. Дисконт банка    I = 200-174 = 26 тыс. руб

 

  Пример 8

 

Фирма планирует взять кредит S0  =3000 тыс. руб.Сумма возврата долга  не должна превышать  S = 3600 тыс. руб.  i = 17% годовых.

 

                                      Nгод = 365 дней.

                                        д= ?

Решение

 

Пример 9

 

 Владелец  векселя номиналом 300 тыс. руб. и периодом обращения 201 дней за 20 дней до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке     iуч = 30%.    

Какова сумма S, полученная владельцем векселя, и   дисконт I, полученный банком.  

 

 

 

  I = 300-295=5 тыс. руб.

Пример 10

 

Предприниматель обратился в банк за ссудой в размере 200 тыс. долл. на срок 68 дней.

 Банк согласен выдать указанную сумму при условии начислении процентов по простой учетной ставке         iуч = 60%.Какова сумма долга S, проставленная в векселе.                                                                                                       

 

Решение

S =               =                          = 225,48тыс. долл.

 

 

 

 

Пример 11

Контракт на получение ссуды  в 800 тыс. руб. предусматривает возврат долга через 200 дней  в сумме 900 тыс. руб.Определить применяемую банком учетную ставку.

Решение

Пример №12 

Владелец векселя номиналом  в 200 тыс. руб. с периодом обращения 2 года предложил его банку для учета. Банк провел учет векселя по сложной учетной ставке, равной 10% годовых.Определить сумму, полученную владельцем векселя и дисконт,

полученный банком.

Решение

1)Sо = 200(1-0,1)^2 = 162 тыс. руб.

 

2) I  = 200- 162 = 38 тыс. руб.

 

Пример 13

 

Заемщику предоставлен кредит в  800 тыс. руб. со сроком погашения 2 года.  Наращивание производится по сложной годовой учетной ставке iсл = 22%.

Какую величину S необходимо проставить в векселе?

Решение

        1)   S =                   

 

 

 Пример 14

 

Определить, под какую ставку % выгоднее поместить капитал 3 млн руб. на 4 года:

1. прост. 240% год
2. сложн. 60% год при ежеквартальном начислении

 

Решение

1. S=So(1+in)= 3(1+2,4*4)=31,8 млн.руб
2. S=So(1+i/n)^m*n=3*(1+0,6/4)^16=26,072 млн. руб

Вывод: выгоднее простые проценты

 

Пример 15

Определить номинальную ставку %, которая обеспечивала бы годовую  доходность в 20 % , если начисление % происходит ежемесячно.

Решение

 

So(1+0,2)^n=So(1+i/12)^12*n

1+i=(1+i/12)^12

I=0,1837

18,37 %

 

 

 

 

 

Пример 16

 

Имеется 1000000 руб. Уровень инфляции h составляет 40% в год. Под какой банковский процент нужно положить деньги,

чтобы получить через 1 год прирост исходной суммы в 10%

 

Решение.

 

1. Приблизительный расчет.

            Нужно положить деньги в банк по крайней мере под

                40+10 = 50%

S = 1 млн. руб.

 

 

 

                                1,1+1,1*0,4 = 1+i

 

i= 0,54 т.е. i=54 %

 

Пример 17

 

Существующая ситуация:Банковская процентная ставка – iсущ = 10%

Годовой уровень инфляции – h = 8%(индекс инфляции Iи = 1+h = 1,08)

Есть 200 тыс. руб. Стоимость товара – 220 тыс. руб.

Хотят купить товар

Определить реальную ставку процента.Под какой процент нужно было бы положить деньги в банк, чтобы через 1 год товар можно было бы купить?

Решение

При уровне инфляции в 8% и  банковской ставке в 10% реальная ставка составит

 

i_r =                                или 1,85 %

 

С учетом инфляции стоимость товара через 1 год будет

220 тыс. руб.(1+0,08) = 237,6 тыс. руб.

Ставка, под которую необходимо положить деньги в банк, равна

i_н =                               или 18,8 %

 

То же по формуле Фишера

 

I_н = 0,10+0,08+0,10*0,08 = 0,188  или 18,8%.

 

 

Пример 18

 

Найти текущую величину суммы 36 вкладов постнумерандо по 30000ден.ед. при 6% годовых. Капитализация ежегодная.

 

 

 

Решение

 

 

Пример 19

 

Найти текущую стоимость суммы 31-о вклада по 30000ден.ед., вносимого в начале каждого года под 6% годовых, если капитализация осуществляется ежегодно.

 

Решение

 

 

 

 

 

Пример 20

 

Найти IRR, если начальные капиталовложения составили 300 тыс.долл., а во второй, третий и четвертый годы были по 250 тыс.долл./год.

Соответственно доходы составили: 250, 260, 280 и 310 тыс.долл./год.

 

Решение.

 

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

Ответ: i=34,04%

 

 

 

Пример 21

 

Определить IRR проекта, в котором  начальные капиталовложения составили  200 тыс.долл., а затраты по его обслуживанию равны 110 тыс.долл./год в течение 5 лет. При этом ежегодные доходы равны 160 тыс.долл./год в течение 5 лет.

 

Решение.

 

1. Используем формулу.

 

или

Отсюда:

 

2. Пользуясь таблицей множителей FM4, применим линейную интерполяцию:

Табличная величина FM4	Ставка i, %	Табличная величина FM4	Ставка i, %
4,100	7	4,100	7
3,993	8	4	i
0,107	-1	0,1	7-i

 

 

 

 

 

 

0,107 : 0,1 = -1 : (5 - i)

i = 7,93% = IRR.

 

 

Пример 22

 

Пусть i=10%. Решим задачу о выборе эффективности проекта двумя способами – с использованием NPV и ЕА.

 

Решение.

Способ 1. Повторим проект «Уголь» через 2 года.

 

Тип проекта	Годовые суммы денежных поступлений, млн.руб. годы
	0-й	1-й	2-й	3-й	4-й
«Уголь»	-200	150	120	0	0
«Газ»	-200	80	80	80	80
«Мазут»	-100	30	30	30	30

 

NPV «Уголь» = 64,907 млн.руб.

NPV «Газ»     = 53,589 млн.руб.

 

Способ 2. Рассчитаем эквивалентные аннуитеты.

 

1. ЕА «Уголь» =

Здесь

 

2. ЕА «Газ» =

 

3. Вывод: Следует отдать предпочтение проекту «Уголь»

 

Пример 23

Имеются два варианта принятия решений  – замена или ремознт автомобиля:

Вариант 1.  Продать старый автомобиль за 7 тыс.долл. и купить новый за 15 тыс.долл. При этом срок службы автомобиля составит 8 лет.

Вариант 2.  Сделать капитальный ремонт старой машины за 5 тыс. долл. и эксплуатировать ее еще 6 лет. При этом автомобиль можно только сдать в металлолом.

 

Выбрать лучший вариант , приняв i=10%.

 

Решение:

 

1.  

3. Вывод: предпочтительным вариантом является покупка нового автомобиля.

 

 

 

Пример 24

 

Величина займа равна 300000 долл. Погашение (амортизация) производится одинаковыми аннуитетами в течение 6 лет при ставке 12% годовых.

Капитализация процентов производится ежегодно.

Составить план погашения займа.

 

Решение

 

1.  Д₀=300000 долл.,    i=12%,    n=6лет,  число раз начисления процентов в течение года m=1.

2. Аннуитет 

 

3. Первый процентный платеж

 

4. Первая выплата задолженности

 

5. Первый остаток долга 

 

6. Процентный  платеж на первый остаток

            7.

            8.

             9.

            10.

            11.

17. Д₅ = 64957.26

18.

19.

 

17. План погашения кредита.

 

Год	Долг	Процентный платеж	Выплата основного долга	Аннуитет
1	36000	3600	36997.65	72998
2	263002.05	31560.2	41437.8	72998
3	221564.2	26587.68	46410.32	72998
4	175153.88	21018.46	51979.54	72998
5	123174.34	14780.92	58217.08	72998
6	64957.26	7794.87	65203.13	72998

 

Пример 25

Два предприятия  имеют одинаковую экономическую  рентабельность, но различную структуру  финансовых источников.

Определить  эффект финансового рычага.

 

 

 

 

Решение.