Отработка приемов решений задач финансовой математики

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

 

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МИСиС»

 кафедра промышленного менеджмента

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по курсу: «Финансовая математика»

 

На тему:

 «Отработка приемов решений  задач финансовой математики»

     

 

 

 

 

   

 

 

 

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2012.

 

 

 

 

Содержание 

 

1. Теоретическая часть.............................................................…………………..………….3 

    1.1 Финансовые вычисления  на основе простых процентов……..…………………….3

    1.2. Финансовые вычисления на основе сложных и смешанных процентов…….……5 

    1.3. Дисконтирование .................................………………………………………..……..7 

    1.4. Принцип эквивалентности процентных ставок ………………....…………….….10

    1.5. Наращивание процентов в условиях инфляции …………………...……….….....12

    1.6. Денежные потоки и их использование в инвестиционном анализе ……..……...13

    1.7. Модели управления финансами предприятия ……………………………....…....20

2. Решение задач финансовой математики………………………….…………….……...24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть.

1.1 Финансовые вычисления на основе простых процентов.

 

Прежде всего необходимо понять, какова роль фактора времени в коммерческих сделках. Известен принцип неравноценности денег с учетом фактора времени в финансовых вычислениях, в соответствии с которым неправомерно без внесения некоторых поправок суммировать деньги, относящиеся к разным моментам времени по двум причинам: наличие инфляции; необходимость учета упущенной выгоды (денежная сумма могла бы быть инвестирована - вложена в дело и приносила бы доход). Денежные суммы должны быть приведены к одному и тому же моменту времени, а уже потом их можно складывать или вычитать.

Далее следуем  разобраться в понятии «процентные  деньги», под которыми понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег  в ссуду, вложения их в виде вклада, депозита.

При заключении кредитной сделки договариваются по крайней мере о трех условиях:

- сумма кредита S₀;

- период времени n;

- процентной ставке (норма процента) i.

 

Последняя является результатом взаимодействия хозяйственных субъектов на рынке ссудного капитала и находится из условия пересечения кривых предложения ссудного капитала и спроса на него.

Затем необходимо перейти к рассмотрению простых  процентов, которые используются в  банковской практике, если срок ссуды  меньше года - дни, месяцы. Начисление простых  процентов осуществляется дискретно - за месяц, квартал, полугодие, год.

Наращенная  денежная сумма S при использовании простых процентов имеет вид

 

S=S₀(1+ni),

 

где i - процентная ставка за период наращения;

n - время (в годах)

 

Доход кредитора (он же - процентный платеж) определяется соотношением

 

I=S-S₀=S₀*n*i

 

С учетом различий в измерении временной базы используют три простых процентов:

- обыкновенные  проценты с приближенным числом  дней пользования ссудой

(год принимается  за 360 дней, а любой месяц - за 30 дней);

- обычные  проценты с точным числом дней  ссуды (год принимается за 360 дней, а срок, на который выбрана  ссуда определяется по календарю);

- точные  проценты с точным числом дней  ссуды.

Формулы для  расчета наращенной денежной суммы  в каждом из указанных случаев  имеют вид:

где ¶_прибл и ¶_точн - соответственно приближенное и точное число дней ссуды.

 

Далее осваивают  простейшие коммерческие расчеты: определение  величины задолженности с использованием переменной ставки процентов; при использовании  ломбардным кредитом; составление плана  погашения краткосрочного кредита  при начислении процентов на остаток  долга; установление курса девиз  и выбор из вида с целью наиболее выгодного погашения долга.

При использовании  переменной ставки процентов формула  для определения наращенной суммы  имеет вид:

 

S=S₀(1+n₁i₁+ n₂i₂+...+ n_ki_k),

где n₁, n₂, ..., n_k - рассматриваемые периоды времени;

i₁, i₂,..., i_k - процентные ставки.

 

Ломбардным  называется кредит, который заемщик  должен обеспечивать ценными бумагами или материальными ценностями. Сумма  кредита обычно рассчитывается, исходя их 75-80% текущей курсовой стоимости  ценных бумаг, предоставляемых в  залог. При выдаче ломбардного кредита  на короткий отрезок времени процентный платеж часто изымается сразу  при выдаче кредита. Изымаются также  затраты банка по обслуживанию кредита.

Потребительский кредит - один из наиболее распространенных форм кредитования населения, стимулирования спроса на товары, которые население  не могло бы приобрести только за заработную плату. Процентный платеж за пользование  краткосрочным потребительским  кредитом рассчитывается следующим  образом. Для первого месяца он рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий - на остаток. Общая величина выплат процентов за пользование  таким кредитом в течение m месяцев будет

 

 

где S₀ - сумма кредита

i - годовая процентная ставка

 

Необходимо  уметь составлять план погашения  кредита (амортизационный план).

 

«Девизы» - платежные  и кредитные документы (векселя, чеки, переводы), выраженные в иностранной  валюте. В более широком смысле девизы  - не только платежные документы, но и сама иностранная валюта. С  вопросами установления курса девиз  и выбора их вида с целью наиболее выгодного погашения долга следует  ознакомиться по книге [2]. В качестве математического аппарата здесь применяются обычные пропорции ценные подстановки.

 

 

1.2 Финансовые вычисления на  основе сложных и смешанных  процентов.

 

До изучения сложных процентов следует освоить  операцию реинвестирования, когда после  начисления процентов полученную сумму  присоединяют к исходной величине и  далее вновь начисляют проценты. При использовании реинвестирования наращенная сумма вычисляется по формуле:

 

S=S₀(1+n₁i₁)(1+n₂i₂)...(1+ n_ki_k),

где n₁, n₂, ..., n_k - продолжительность периодов наращивания денег

i₁, i₂,..., i_k - ставки, при которых происходит реинвестирование.

 

При равных периодах начисления и ставках:

 

S=S₀(1+ni)^k,

где k - число операций реинвестирования. Реинвестирование позволяет лучше понять суть вычислений при начислении сложных процентов.

Рекомендуется убедиться в том, что операция реинвестирования всегда выгодна вкладчику, сопоставив результаты расчета наращенной денежной суммы по формуле простых  процентов и с использованием реинвестирования за один и тот же период времени.

Затем переходят  к изучению двух способов начисления сложных процентов - декурсивного (последующего) и антисипативного (предварительного).

Декурсивное начисление сложных процентов - начисление и добавление процентного платежа к капиталу в конце каждого периода является традиционным для отечественной практики. При этом наращенная денежная сумма определяется по формуле:

 

S=S₀(1+i)ⁿ

 

Изменение ставки сложных процентов для различных  периодов времени n₁, n₂, ..., n_k приводит к следующей формуле для определения наращенной суммы:

 

 

 

При антисипативном расчете процентный платеж начисляется в начале каждого периода. Сумму капитала S₀ в начале расчетного периода можно представить как разницу между суммой S₁ в конце расчетного периода и процентным платежом на сумму S₁, вычисленным антисипативно: S₀= S₁- S₁i.

Отсюда S₁= S₀(1-i),  аналогично S₂= S₁/(1-i)= S₀/(1-i)ⁿ и т.д. В итоге после n-го шага получим S= S₀/(1-i)ⁿ.

 

С помощью  соответствующих расчетов желательно убедиться, что при антисипативном способе начисления сложных процентов получается больший доход, чем при декурсивном.

Заметим, что  в мировой практике антисипативный способ расчета используется в условиях высокой инфляции.

Далее в основном уделяется внимание декурсивному способу начисления сложных процентов. Нужно уметь рассчитывать наращенную денежную сумму при периодах начисления процентов месяц, квартал, год, а также при непрерывной капитализации; оценивать период удвоения исходной суммы при использовании простых и сложных процентов.

Начисление  процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная  ставка процентов i_ном - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.

Формула для  расчета наращенной суммы при  начислении сложных процентов  m в году имеет вид:

 

S=S₀(1+i_ном/m)^mn

 

Таким образом данная формула при ежемесячном начислении процентов имеет вид:

 

S=S₀(1+i_ном/12)¹²ⁿ, а ежеквартальном - S=S₀(1+i_ном/4)⁴ⁿ.

Для перехода к непрерывному наращиванию процентов  нужно вычислить:

 

Желательно  сопоставить результаты расчета  наращенной суммы по простым процентам, а также сложным процентам  при их непрерывности и дискретном исчислении.

Необходимо  также рассмотреть сопоставление  результатов начисления простых  и сложных процентов для периодов менее и более года и убедиться, что при периоде менее года использование простых процентов  более выгодно вкладчику, чем  сложных. Если же кредит выдает банк, то для периода менее года ему  также более выгодно использование  простых процентов.

В то же время  существует практика, в соответствии с которой крупные коммерческие структуры для дополнительного  смягчения условия сделок выдают предприятиям своей системы кредиты на срок более года выдают под простые проценты.

При расчете  периода удвоения денежных сумм поступают  следующим образом. В случае простых  процентов рассматривают равенство (1+ni)=N_pas. Отсюда n_прост=(N-1)/i и при N=2 n_прост=1/i. В случае сложных процентов пользуются соотношением (1+i)ⁿ=Nраз. Тогда n_слож=lg N/lg (1+i) и для периода удвоения (N=2) получим n_слож=lg 2/lg (1+i). Для i=1 периоды удвоения, рассчитанные для случаев простых и сложных процентов, совпадают и равны одному году:

 

n_прост=1/1=1;       n_слож=lg 2/lg 2=1

 

Далее необходимо рассмотреть смешанные проценты, которые используются для расчета  наращенной денежной суммы за дробное  число лет. По формуле смешанных  процентов наращенная денежная сумма  оценивается следующим образом

 

S_смеш=S₀(1+i)^a(1+bi), где a - целое число лет, b - дробная часть года.

Понятно, что S_смеш больше наращенной суммы, вычисленной по формуле сложных процентов S_слож=S₀(1+i)^a+b, поскольку (1+bi)>(1+i)^b при b<1.

В расчетах с дробным числом лет может  применяться номинальная годовая  ставка процентов i_ном. В этом случае наращенная сумма может определяться либо по формуле сложных процентов:

 

1.3 Дисконтирование

 

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы:  по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время, определить сумму полученной ссуды S₀^B. Такая ситуация может возникать, например, при разработке условий контракта. Кроме того, задача расчета S₀^B и S возникает и тогда, когда проценты с суммы удерживают непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что суммы S дисконтируется. Сам процесс начисления и удержания процентов называется учетом, а разность S- S₀^B - дисконтом.

Исходя из целей дисконтирования и вида ставки применяют 4 способа расчетов:

- математическое  дисконтирование (простая ставка  процентов);

- банковский  учет (простая учетная ставка);

- дисконтирование  по сложной ставке (сложная ставка  процентов);

- банковский  учет (сложная учетная ставка).

 

С этими способами  связаны соответственно следующие  методы определения наращенной денежной суммы: