Отработка приемов решений задач финансовой математики

 

 

Здесь i - ставки дисконтирования, равная внутреннему уровню доходности проекта.

Отсюда:

 

Переходя  к пределу, имеем

 

Но 

 

Тогда

 

Таким образом, величина, обратная среднему сроку  окупаемости (коэффициент эффективности  капитальных вложений) при длительных сроках эксплуатации проекта приближается к внутреннему уровню доходности.

Необходимо  уяснить также зависимость чистой современной стоимости от ставки дисконтирования. Действительно:

 

Отсюда при  и при .

 

Далее переходят  к более подробному рассмотрению внутреннего уровня доходности. Нужно  уметь рассчитывать внутренний уровень  доходности как при непостоянных, так и постоянных потоках доходов и расходов. В первом случае в этих расчетах используется средний срок потока платежей.

Действительно, пусть Р₁, Р₂, . . . , Р_n - доходы в моменты t₁, t₂, . . . , t_n, a C₁, C₂, . . . , C_k - расходы в моменты t₁, t₂, . . . , t_k. По определению ВУД:

 

Используя определение  среднего срока потока платежей, можно  записать:

(Р₁+ Р₂+. . . + Р_n) =( С₁+ С₂+ . . +С_к)

или

(Р₁+ Р₂+. . . + Р_n)/ ( С₁+ С₂+ . . +С_к)=

 

Отсюда получаем формулу для расчета ВУД (IIR):

IRR=i=

 

Во втором случае для расчета ВУД используют соотношение I₀=R×PVA1_n,IRR.

Отсюда PVA1_n,IRR=I₀/R

Далее по таблицам современной стоимости аннуитета  находят ближайшие к I₀/R величины современной стоимости такие, что

 

 

Затем, зная i₁ и i₂ , а также соответствующие величины современных стоимостей, прибегая к линейной интерполяции можно вычислить IIR.

Далее переходят  к обсуждению вопросов, связанных  с выбором лучшего из двух альтернативных проектов. Основное внимание здесь  уделяется использованию критерия NPV.

При  анализе  двух проектов А и В с одинаковыми сроками жизни рассчитывают NPV_А и NPV_B. Тогда отдают предпочтение проекту А.

Если же зависимость  NPV_А=f₁(i) и NPV_В=f₂(i) в некоторой точке F и до этой точки NPV_А>NPV_В , а после нее NPV_А< NPV_В, причем абсцисса т. F равна i_F, то нежно величину i_F сравнить со значением выбранной барьерной ставки HR (англ. hardle rate) - стандартного уровня желаемой рентабельности вложений. Далее, если i_F<HR, то предпочтение отдается проекту А, в противном случае - проекту В. Заметим, что точку F называют точкой Фишера.

Следует усвоить, что критерий NPV для сравнения проектов можно использовать только при равной продолжительности их жизни. Если сроки жизни проектов различны, то нужно либо приводить их к одинаковой продолжительности, повторив каждый проект соответствующее число раз, либо воспользоваться эквивалентными аннуитетами ЕА (equivalent annuity).

Эквивалентный аннуитет - это уровневый (стандартный) аннуитет, который имеет ту же продолжительность, что и оцениваемый инвестиционный проект PV, что и NPV этого проекта.

В формуле  для расчета PV величина PV заменяется на NPV, а PMT заменяется на ЕА и записывается соотношение:

ЕА=NPV/PVA1_n,i

проект, у  которого ЕА окажется наибольшим, будет обеспечивать и наибольшую  величину NPV всех денежных поступлений.

Тему заканчивают  рассмотрением метода затратной  эффективности. Здесь изучается  случай взаимоисключающих инвестиций, которые не сопровождаются (во всяком случае, непосредственно) денежными  поступлениями.

При решении  задач данного типа пользуются эквивалентными годовыми расходами ЕАС (equivalent annual charge), рассчитываемые по формуле для определения эквивалентного аннуитета. Варианту, обеспечивающему минимальные расходы и отдается предпочтение.

 

 

1.7 Модели  управления финансами предприятия 

 

 

Из вопросов, связанных с управлением финансами  предприятия в данном курсе рассматриваются  следующие:

- расчет  ежегодного взноса на погашение  кредита при выплате его аннуитетом;

- выбор выгодных  условий облигационного займа;

- эффект  финансового рычага и выбор  рационального соотношения между  собственными и заемными средствами;

- эффект  производственного рычага; порог  рентабельности и запас финансовой  прочности предприятия.

 

Перед началом  изучения первого вопроса полезно  уяснить, что наличие большего количества средств за счет привлечения займов позволяет получать большую из внешних  источников позволяют увеличить  рентабельность собственного капитала.

Далее переходят  к изучению первого вопроса темы. Ранее бал подробно изучен наиболее распространенный денежный поток - аннуитет, например, по схеме постнумерандо. Была получена формула для вычисления текущей стоимости ряда вкладов. Те же самые рассуждения можно распространить на выплату кредита равными порциями, которые, как отмечалось ранее, можно называть либо  платежами, либо аннуитетами.

 

Преобразуя  полученные ранее соотношения, имеем  для аннуитета (разовой выплаты):

 

 

 

или в другой символике:

 

 

Величина, обратная коэффициенту приведения вкладов или обратная - современной стоимости аннуитета в 1 руб. в конце каждого из  n периодов под i процентов называется коэффициентом погашения (амортизации) займа.

Затем переходят  к изучению второго вопроса темы - выбор выгодных условий облигационного займа. Вначале необходимо усвоить  понятию «эффективная сумма» и «курс  займа», [2].

Если потенциальный  заемщик нуждается в К денежных единицах долгосрочного кредита, то эта величина представляет собой номинальную величину займа. Однако, если заемщик вместо требуемых К денежных единиц получает К_э единиц, то эта величина К_э называется эффективной (реальной, действительной) суммой займа.

Возможны  следующие соотношения между  эффективной и номинальными суммами:

К_э=К; К_э<К; К_э>К.

Величинам К и К_э соответствуют номинальная i и эффективная i_э процентные ставки. Соответственно соотношения между ними могут быть:

i=i_э; i > i_э; i< i_э.

Если выразить эффективную сумму займа К_э через его номинальную величину равную в 100 денежных единиц, то получим его характеристику С, называемую «курс займа».

 

.

Таким образом, курс займа представляет собой число, которое показывает какой процент  эффективного займа получают на 100 номинальных единиц займа.

Из вышесказанного можно сделать вывод:

С=100 для К_э=К;

С<100 для К_э<К;

С>100 для К_э>К;

 

Выбор же выгодных условий займа осуществляется на основе сравнения либо эффективных  процентных ставок, предлагаемых различными кредиторами; либо на основе сравнения  различных условий выплаты аннуитетов.

В первом случае выбирают займ с наименьшей эффективной процентной ставкой, а во втором - наиболее выгодным считают предложение займа, у которого величина аннуитета будет меньше. При вычислении аннуитета К_э принимают равным, например, 100 руб.

вычисляют номинальную  сумму займа. А уже по этой величине вычисляют соответствующий аннуитет (ежегодный разовый платеж)

 

В дальнейшем переходят  к изучению третьего вопроса  темы - эффекту финансового рычага и выбору рационального соотношения  между собственными и заемными средствами, [6].

Под эффектом финансового рычага понимают получаемое благодаря использованию кредита, несмотря на платность последнего. Полезно сопоставить показатели двух предприятий, имеющих одинаковую экономическую рентабельность, но различную структуру финансовых источников. При этом легко установить, что предприятие, имеющее в структуре финансовых источников заемные средства, обеспечивает большую рентабельность собственных средств - отношение прибыли за вычетом банковского процента к величине собственных средств, вложенных в инвестиционный проект. Далее необходимо проделать те же самые вычисления, приняв, что налогообложение прибыли составляет, например 1/3 и убедиться, что предприятие, использующие только собственные средства, ограничивает из рентабельность примерно двумя третями экономической рентабельности. Таким образом, устанавливается, что рентабельность собственных средств РСС равна двум третям экономической рентабельности ЭР плюс эффект финансового рычага:

 

РСС=2/3 ЭР + эффект финансового рычага.

 

По определению

 

эффект                                                                         плечо

финансового         =          2/3 дифференциала  ´     рычага,

рычага

 

где дифференциал рычага равен разности между экономической  рентабельностью и ставкой процента, а плечо рычага представляет собой  отношение заемных средств к собственным.

Далее необходимо усвоить, что регулировать плечо  рычага следует с учетом величины дифференциала, поскольку при превышении ставки процента экономической рентабельности эффект финансового рычага будет  отрицательным.

Выбор же рационального  соотношения между заемными и  собственными средствами (плеча финансового  рычага) осуществляется по следующей  схеме. Находят отношение ЭГ\СП  - экономической рентабельности вложений к ставке процента. Для отношений ЭР/СП, равных 1,5; 2 и 3 в работе [6] имеется номограмма

 

(эффект  рычага)/РСС= ,

где ЗС - заемные средства,

СС - собственные средства.

 

С помощью  найденного отношения ЭР/СП на данной номограмме выбирают искомую кривую f . Далее задавшись отношением (эффект рычага) - РСС на высоте, равной этому отношению проводят горизонтальную линию от оси ординат до кривой f и находят соответствующую точку пересечения. Затем, проводят из этой точки вертикальную прямую и спускаясь по ней до оси абсцисс, устанавливают искомое плечо рычага. В частности, при 33% - м отношении эффект рычага - РСС желательно иметь плечо рычага равным 0,5 при ЭР=3СП; 1 при ЭР=2СП; 1,5 при ЭР=1,5СП.

 

Затем переходим   к изучению четвертого вопроса темы - эффект производственного рычага, порог рентабельности, запас финансовой прочности предприятия [6]. Здесь вначале изучают влияние изменения выручки на изменение прибыли предприятия и убеждаются, что любое   изменение выручки порождает еще более сильное изменение прибыли. Этот феномен и называют эффектом производственного рычага.

Далее вводят понятие силы воздействия производственного  рычага как отношения результата от реализации после возмещения переменных затрат (другим словами,  маржинальный доход - МД) к прибыли - нетто, П. Тогда справедливо соотношение

 

 

 

Далее изучают  понятие порога рентабельности - такой  выручки, при которой предприятие  уже не имеет убытков, но еще не имеет прибыли, так называемой точки  безубыточности.

Формулу для  расчета выручки в точке безубыточности (так называемого порога рентабельности) можно получить из соотношения для  определения прибыли - нетто, в соответствии с которым:

 

П_нетто=МД-З_пост.,

где З_пост - величина постоянных затрат. Маржинальный доход удобно вычислять в относительном к выручке В выражении. Тогда:

 

П_нетто=

Но известно, что мажинальный доход в относительном выражении МД_относ в моменты 2 и 1 сохраняет постоянное значение, т.е.

 

МД₂/В₂= МД₁/В₁=МДотнос.

 

Таким образом, в точке безубыточности, где П_нетто-0 имеет место соотношение

 

В_{безубыт}×МД_относ - З_пост=0.

 

Отсюда порог  рентабельности будет

 

В_{безубыт}=З_пост/МД_относ.

Запас же финансовой прочности предприятия определяется как разность между выручкой и  порогом рентабельности.

 

Заключение

 

      В данной курсовой работе проанализированы  методы и модели финансовой  математики, а также планирование  и оптимизация экономических  результатов хозяйствующего субъекта.

     В практической части выполнены  финансовые расчеты (25 задач) по  темам: финансовые вычисления  на основе простых процентов,  финансовые вычисления на основе  сложных и смешанных процентов,  дисконтирование, принцип эквивалентности  процентных ставок, наращивание  процентов в условиях инфляции, денежные потоки и их использование  в инвестиционном анализе, модели  управления финансами предприятия.