Отработка приемов решений задач финансовой математики

 

Решая последнее  соотношение относительно номинальной  ставки, получаем так называемую формулу  И. Фишера:

 

 

В то же время  можно рассмотреть и обратную задачу.

Известно  номинальная банковская ставка i_H (ставки, по которой заключено кредитное соглашение, = i_H ). Известен годовой уровень инфляции h. Требуется определить реальную банковскую ставку.

В этом случае балансовое соотношение для товарных эквивалентов примет вид

 

 

 

отсюда

 

 

Возвращаясь к формуле И. Фишера, заметим, что  величину , которую нужно прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь, называют инфляционной премией.

 

 

1.6 Денежные  потоки и их использование  в инвестиционном анализе 

 

При изучении денежных потоков используют понятия  будущей и настоящей стоимости, являющиеся аналогами операций наращивания  сложных процентов и дисконтирования:

 

FV=PV(1+i)ⁿ,     PV=FV/(1+(1+i)ⁿ

где i - величина доходности инвестиций;

n - рассматриваемый отрезок времени;

FV - будущая стоимость (future value)

PV - настоящая, текущая, современная стоимость (present value).

 

Изучение  темы начинается с наиболее распространенного  денежного потока - аннуитете (annuity). Поток платежей, все члены которого - положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой, а иногда аннуитетом. Строго говоря, последнее наименование предполагаем только ежегодные платежи, однако на практике оно применяется более широко - для обозначения любого вида регулярной последовательности платежей.

Сам же ежегодный  платеж также называют аннуитетом или  рентным платежом.

Заметим, что  в 17-19вв. Аннуитетом называли ежегодный  платеж - вид государственного займа, по которому кредитор ежегодно получает доход (ренту), включая проценты, в  погашение полученного от него  государством займа.

В начале рассматривается приток (отток) денежных средств по схеме постнумерандо, имеющий вид:

 

 

 

 

Здесь I₀ - инвестиция;

a₁, a₂, ..., a_n - потоки платежей (приход или расход) в конце каждого года при i% годовых;

n - рассматриваемый период времени.

Текущая стоимость  ряда вкладов постнумерандо будет

 

 

Здесь - современная стоимость аннуитета постнумерандо  за n лет;

- разовый платеж  (payment) в году t.

 

Рассмотрим  случай, когда

а₁= а₂=... а_n=РМТ=а

 

Тогда ,

 

где - коэффициент приведения или коэффициент дисконтирования вкладов.

 

То же самое  в новой символике можно записать

 

- текущая  (современная) стоимость аннуитета  стоимостью в 1 руб. В конце  каждого из n  периодов при ставке доходности по уровне i.

Для рассматриваемого потока будущая стоимость аннуитета  рассчитывается по формуле

 

или при равенстве  ежегодных  платежей

где =[(1+i)-1]/i - будущая стоимость аннуитета в 1 руб в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне i.

Далее переходят  к рассмотрению потока пренумерандо. Схема пренумерандо имеет вид:

 

 

где а₁, а₂, ..., а_n - потоки платежей (приход или расход) в начале каждого года при i% годовых.

 

Текущая стоимость  ряда вкладов пренумирандо будет

Рассмотрим  случай, когда

 

а₁=а₂= ...= а_n=а=РМТ

Тогда

 

)   или

)

 

Затем полезно  сравнить текущие стоимости аннуитетов, рассчитанные по схеме пост- и пренумерандо.

Далее переходим  к рассмотрению других видов денежных потоков. Примером альтернативного  аннуитету вложения является перпетуитет (англ. perpetuity - вечность) - банковский текущий (сберегающий) счет, процентный доход начисления. В этом случае   возникает ситуация, когда основная сумма как бы «зарабатывает» деньги на предстоящий год, а срок жизни инвестиции неограничен.

В этом случае годовой доход определяется по формуле: РМТ=PV×i,

где PV - основная сумма сбережений на банковском счете,

i - процентная ставка дохода, выплачиваемая банком по счетам данного типа.

 

Последнее соотношение  приводит к пониманию логики инвестиционного  анализа: если простое помещение  денежной суммы PV на сберегательный счет обеспечивает ежегодный доход в сумме РМТ, то нет смысла выделять денежную сумму более величины PV на реализацию инвестиционного проекта, который может обеспечить получение в начале каждого очередного года дохода на уровне РМТ.

Особый случай перпетуитета - инвестиция с неограниченным сроком жизни, но с постоянно возрастающими величинами годового дохода.

Если  такой  рост происходит с темпом, равным g, а РМТ₁ означает ожидаемую величину денежных поступлений в конце первого года, тогда текущая (современная) стоимость такой «вечной» инвестиции будет

 

PV=PMT₁/(i-g)

 

Эту модель называют формулой Гордона.

В дальнейшем переходят к рассмотрению некоторых  характеристик денежных потоков, в  частности, среднего срока потока платежей. Под средним сроком потоков платежей (например, получения доходов на вложенные капиталы a₁, a₂, ..., a_n в момент t₁, t₂, . . . ,t_n) понимают момент, в который дисконтированная сумма всех платежей равняется сумме дисконтированных стоимостей всех платежей. По определению:

 

   (*)

 

Используя биномиальное разложение, получим:

 

 

Отбрасывая  член, содержащий i², и упрощая соотношение (*), получаем:

 

a₁(1-t₁i)+ a₂(1-t₂i)+. . .+ a_n(1-t_ni)=( a₁+ a₂+. . . + a_n)(1-t_ai)

 

или

 

a₁t₁i+ a₂t₂i+ . . .+ a_nt_ni = ( a₁+ a₂+. . . + a_n)t_ai

 

Отсюда t_a= (a₁t₁+ a₂t₂+ . . .+ a_nt_n)/( a₁+ a₂+. . . + a_n)

 

Далее при  изложении материала будет использоваться понятие годового чистого денежного  потока R, который по определению равен:

R=(РП-С-А)(1-Н_n)+A, где

РП - выручка от проекта;

С - затраты (кроме амортизационных отчислений);

А - амортизационные отчисления;

Н_n - ставка налогообложения прибыли.

 

Денежные  потоки используются при расчете  эффективности инвестиционных проектов. Прежде чем переходить к рассмотрению этого вопроса, необходимо напомнить  слушателям известное им из курса «Экономика фирмы» характеристики эффективности инвестиционных проектов. К ним относятся: абсолютная эффективность; срок окупаемости дополнительных капитальных вложений; коэффициент сравнительной эффективности дополнительных капитальных вложений; приведенные затраты.

Проект принимается, если его абсолютная или сравнительная  эффективность выше нормативной, а  срок окупаемости ниже нормативного. Из рассматриваемых вариантов выбирается  проект с наименьшими приведенными затратами. Здесь следует разъяснить рыночный смысл приведенных затрат как минимальной «цены производства». В рыночной экономике формула  расчета приведенных затрат П3 имеет вид:

 

П3=С+iК,

 

где С - себестоимость продукции после реализации проекта;

К - объем капитальных вложений;

i - ставка ссудного процента.

 

Добавленная к себестоимости величина iК представляет собой либо упущенную выгоду (если капитальные вложения осуществляются за счет собственных ресурсов), либо - проценты за кредит (если для реализации инвестиционного проекта взят кредит, равный объему капитальных вложений).

Затем переходят  к рассмотрению характеристик эффективности  инвестиционных проектов, используемых в рыночной экономике. Это - внутренний уровень доходности, чистая современная  стоимость проекта период окупаемости  инвестиций и их рентабельность.

Внутренний  уровень доходности (ВУД) определяется как ставка i, при которой вложенные инвестиции I₀ были бы равны сумме дисконтированных чистых потоков R_t от эксплуатации проекта в каждом году t:

 

 

В международной  символике ВУД обозначается аббревиатурой IIR - Internal Rate of Return.

Чистая современная (текущая) стоимость ЧСС проекта или международной символике NPV - Net Present Value представляет собой разность между суммой дисконтированных чистых денежных потоков от реализации проекта и вложенной инвестицией:

 

 

 

сопоставляя это выражение с приведенным выше, убеждаемся, что внутренний уровень доходности - такая процентная ставка, при которой разность между суммой дисконтированных доходов и начальной инвестицией равна нулю.

Если инвестиции рассредоточены во времени, то формула  для расчета NPV имеет вид

 

 

Период окупаемости  инвестиций рассчитывается по формуле:

 

,

где РР - период окупаемости, лет (payback period);

I₀ - первоначальная инвестиция (investment);

- среднегодовой, чистый денежный  поток.

 

И, наконец, рентабельность инвестиций оценивают  по формуле:

 

Здесь PI - рентабельность инвестиций, доли (profitability index).

Проект принимается, если NPV>0 или если IRR или PI больше заданных барьерных коэффициентов.

Затем переходят  к более подробному рассмотрению характеристик, используемых для оценки эффективности инвестиционных проектов, в частности, периода окупаемости  инвестиционного проекта. Одно из определений  этого периода было дано выше: период окупаемости инвестиций рассчитывается как частное от деления инвестиции на среднегодовой чистый денежный поток  от реализации проекта.

В соответствии со вторым определением за момент окупаемости  проекта принимается момент времени, в который накопленная сумма  денежных поступлений от реализации проекта начинает превосходить величину инвестиции.

 

Пусть, например, I₀=600 млн. руб., а R₁=100; R₂=150; R₃=200; R₄=300; R₅=350 млн. руб. - соответствующие чистые денежные потоки. Убеждаемся в том, что млн. руб. превышаем I₀. В то же время млн. руб.<I₀. Это означает, что срок окупаемости проекта не превышает четырех лет. Для нахождения точного значения периода окупаемости составляют балансовое соотношение:

100+150+300х=600, где х - отрезок времени (в долях), приходящийся за четвертый год эксплуатации проекта, в который завершается его окупаемость.

 

Находим, что Х=0,5 года, а если период окупаемости проекта равен РР=3,5 года.

Можно осуществлять расчет периода окупаемости с  учетом операции дисконтирования. Полезно  убедиться в том, что использование  этой процедуры приводит к удлинению  периода окупаемости.

Кроме того полезно убедиться, что период окупаемости  имеет прямую связь с используемым значением ставки дисконтирования.

Покажем, например, что проект с пятилетним сроком окупаемости  и десятилетним сроком жизни предполагает значение ставки дисконтирования на уровне15%. Действительно, пятилетний период окупаемости означает, что ежегодные денежные поступления должны составлять не менее 20% от суммы первоначальных инвестиций, т.е. на каждые 100 руб. инвестиций получаем в год не менее 20 руб. денежных поступлений. Имеем балансовое соотношение:

100=20×PVA1_{10 лет, i%}

или

PVA1_{10 лет,i%}=5

По таблицам текущей стоимости аннуитета  стоимостью в 1 руб. находим, что последнее  равенство выполняется при i=15%. При этом наиболее близкая к 5 величина PVA1_{10 лет, i%}

равна 5,019.

 

Напомним, что  величина, обратная сроку окупаемости, называется коэффициентом эффективности инвестиций Е. в то же время коэффициент эффективности равен отношению среднегодового чистого денежного потока к начальным капитальным вложениям. Таким образом:

 

 

Можно показать, что коэффициент эффективности  проекта при длительных сроках его  эксплуатации приближается к внутреннему  уровню доходности.

Рассмотрим  денежный поток постнумерандо для случая равных чистых денежных потоков, т.е. для случая когда R₁= R₂=. . . R_n= R_.

Ранее было получено соотношение: