Задачи по эконометрике

 

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

Для нахождения параметров уравнения требуется решить следующую систему нормальных уравнений:

 

Уравнение показывает, что  при увеличении на 1% ввода основных фондов  при неизменном втором параметре выработка на одного работника возрастает на 1180 руб. При неизменном первом параметре и при увеличении  квалифицированных рабочих на 1% выработка на 1 рабочего увеличивается  на 76 руб.

Найдем уравнение множественной  регрессии в стандартизованном  масштабе:

Тогда уравнение будет  выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные  коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод основных фондов оказывает большее влияние на результат, чем удельный вес работников высокой квалификации.

Найдем средние коэффициенты эластичности для каждого фактора по формуле:

 

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или  только удельного веса рабочих высокой  квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,753% или 0,174% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Найдем значения частной и множественной корреляции

Значения парных коэффициентов  корреляции указывают на тесную связь  фактора с результатом. При этом межфакторная связь также очень  сильная,  коэффициент  находится близко к 1. Следовательно, один из  факторов следует исключать из модели.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

 

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой  межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной  корреляции определим через матрицу  парных коэффициентов корреляции:

,

Где

– определитель матрицы  парных коэффициентов корреляции;

Коэффициент множественной  корреляции

Коэффициент множественной  корреляции показывает на весьма сильную  связь всего набора факторов с  результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент  множественной детерминации

определяет тесноту  связи с учетом степеней свободы  общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В данном случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Найдем табличное значение -критерия Фишера при составит

Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

4. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем  и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что  . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в  модель и рассмотреть вариант  включения  после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

5. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

где:

,

.

Задача 3

 

 Имеются условные  данные об объемах потребления  электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Вариант 1

1	5,8	9	7,9
2	4,5	10	5,5
3	5,1	11	6,3
4	9,1	12	10,8
5	7,0	13	9,0
6	5,0	14	6,5
7	6,0	15	7,0
8	10,1	16	11,1

 

Решение:

Построим поле корреляции:

 

Исходя из графика  видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

        (4.1)

где

Для этого составляем первую вспомогательную  таблицу:

 

 

 

 

 

t					( )( )
1	5,8
2	4,5	5,8	-3,28	-1,24	4,0672	10,7584	1,5376
3	5,1	4,5	-2,68	-2,54	6,8072	7,1824	6,4516
4	9,1	5,1	1,32	-1,94	-2,5608	1,7424	3,7636
5	7	9,1	-0,78	2,06	-1,6068	0,6084	4,2436
6	5	7	-2,78	-0,04	0,1112	7,7284	0,0016
7	6	5	-1,78	-2,04	3,6312	3,1684	4,1616
8	10,1	6	2,32	-1,04	-2,4128	5,3824	1,0816
9	7,9	10,1	0,12	3,06	0,3672	0,0144	9,3636
10	5,5	7,9	-2,28	0,86	-1,9608	5,1984	0,7396
11	6,3	5,5	-1,48	-1,54	2,2792	2,1904	2,3716
12	10,8	6,3	3,02	-0,74	-2,2348	9,1204	0,5476
13	9	10,8	1,22	3,76	4,5872	1,4884	14,1376
14	6,5	9	-1,28	1,96	-2,5088	1,6384	3,8416
15	7	6,5	-0,78	-0,54	0,4212	0,6084	0,2916
16	11,1	7	3,32	-0,04	-0,1328	11,0224	0,0016
	116,7	105,6	-5,800	0,000	8,854	67,852	52,536
	7,78	7,04

 

Теперь вычисляем коэффициент  автокорреляции первого порядка  по формуле:

Составляем вспомогательную  таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

t					( )( )
1	5,8
2	4,5
3	5,1	5,8	-3,236	-1,243	4,022	10,472	1,545
4	9,1	4,5	0,764	-2,543	-1,943	0,584	6,467
5	7	5,1	-1,336	-1,943	2,596	1,785	3,775
6	5	9,1	-3,336	2,057	-6,862	11,129	4,231
7	6	7	-2,336	-0,043	0,100	5,457	0,002
8	10,1	5	1,764	-2,043	-3,604	3,112	4,174
9	7,9	6	-0,436	-1,043	0,455	0,190	1,088
10	5,5	10,1	-2,836	3,057	-8,670	8,043	9,345
11	6,3	7,9	-2,036	0,857	-1,745	4,145	0,734
12	10,8	5,5	2,464	-1,543	-3,802	6,071	2,381
13	9	6,3	0,664	-0,743	-0,493	0,441	0,552
14	6,5	10,8	-1,836	3,757	-6,898	3,371	14,115
15	7	9	-1,336	1,957	-2,615	1,785	3,830
16	11,1	6,5	2,764	-0,543	-1,501	7,640	0,295
	116,7	98,6	-10,304	-0,002	-30,959	64,224	52,534	0
	8,336	7,043