Решения сложных финансово – экономических и математических задач

x₃, x₄, x₅,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,168,132,156)

Базисное  решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

 

 

Переходим к основному алгоритму  симплекс-метода.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Среди значений индексной  строки нет положительных. Поэтому эта таблица  определяет оптимальный  план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

 

 

Оптимальный план можно записать так:

x₃ = 168

x₄ = 132

x₅ = 156

F(X) =  = 0

Составим  двойственную задачу к прямой задаче.

4y₁ + y₂ + 3y₃≤8

2y₁ + 4y₂ + 4y₃≤6

168y₁ + 132y₂ + 156y₃ → max

y₁ ≤ 0

y₂ ≤ 0

y₃ ≤ 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную  систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из  теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1.

Составим  матрицу A из компонентов  векторов, входящих в оптимальный  базис.

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной  таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных .

Тогда Y = C*A^-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0

y₂ = 0

y₃ = 0

Z(Y) = 168*0+132*0+156*0 = 0

4.Выполнить  экономискую интерспритацию решения задачи

 

 а) Пояснение экономического смысла двойственных оценок

При подстановке оптимальных  двойственных оценок в систему ограничений  двойственной задачи получим:

4*0 + 1*0 + 3*0  = 0 < 8

2*0 + 4*0 + 4*0  = 0 < 6

1-ое  ограничение выполняется  как строгое неравенство,  т.е. ресурс 1-го  вида использовать  экономически не  выгодно. И действительно  в оптимальном  плане прямой задачи x₁ = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена меньше рыночной цены этого продукта, то производство данного  продукта выгодно.

При этом разница между  ценами (0 - 8 = -8) показывает величину изменения  целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы x_i.

2-ое  ограничение выполняется  как строгое неравенство,  т.е. ресурс 2-го  вида использовать  экономически не  выгодно. И действительно  в оптимальном  плане прямой задачи x₂ = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена меньше рыночной цены этого продукта, то производство данного  продукта выгодно.

При этом разница между  ценами (0 - 6 = -6) показывает величину изменения  целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы x_i.

б) Указатие вида наиболее дефицитного товара

в данной задаче дефицитного  сырья нет.

в)        
 
 
 
 
 

 

  Задание №2

     На  трех базах А_1, А_2,А₃ находится груз в количестве а₁, а₂, а₃. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В,В,В,В,В, потребности которых в данном грузе составляют b,b,b,b,b соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Известны стоимости перевозок единицы товара от i-той базы до j-го потребителя  с_i.

     Найти начальный план перевозки  закрытой ТЗ методами северо-западного  угла и наименьшей стоимости. План, полученный методом наименьшей стоимости, улучшить до оптимального. Определить минимальные затраты перевозки груза.

 

 

а) метод северо-западного  угла

Математическая  модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij,    (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑x_ij = b_j,  j = 1,2,…, n,   (3)

Стоимость доставки единицы  груза из каждого  пункта отправления  в соответствующие  пункты назначения задана матрицей тарифов  

 

 

Проверим  необходимое и  достаточное условие  разрешимости задачи.

∑a = 200 + 150 + 100 = 450

∑b = 90 + 70 + 110 + 80 + 100 = 450

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в  распределительную  таблицу.

 

 

Этап I. Поиск первого  опорного плана.

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

План  начинается заполняться  с верхнего левого угла.

Искомый элемент равен 9

Для этого элемента запасы равны 200, потребности 90. Поскольку минимальным  является 90, то вычитаем его.

x₁₁ = min(200,90) = 90.

 

 

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 110, потребности 70. Поскольку минимальным  является 70, то вычитаем его.

x₁₂ = min(110,70) = 70.

 

   

Искомый элемент равен 15

Для этого элемента запасы равны 40, потребности 110. Поскольку минимальным  является 40, то вычитаем его.