Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ 2 

2

1. Нахождение оптимального  плана выпуска  продукции 4

а) графический метод 4

б) симплекс метод 7

2. Определение неиспользованных  ресурсов.   8 

3. Двойственная задача  линейного программирования. 9

4.Выполнить  экономискую интерспритацию решения задачи 12 

а) Пояснение экономического смысла двойственных оценок 12

б) Указатие вида наиболее дефицитного товара 13  

Задание №2 14

а) метод северо-западного  угла 14

б) метод наименьшей стоимости 36

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47

Список  литературы 48

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Целью данной курсовой работы является научить  студентов пользоваться теоретическим материалом и грамотно применять  его на практике, в виде решения  сложных финансово  – экономических  и математических задач. Умение решать подобные задачи даст возможность студентам  в будущем эффективно заниматься финансово  – экономической  деятельность и быстро разрешать разного  рода затруднения, связанные  с математическими  расчётами в той  или иной сфере  деятельности.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание №1

Предприятие выпускает два  вида продукции А и В, для производства которых используется сырьё трех типов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого типа а₁,а₂, а3 соответственно, а де единицы изделия    B-b₁,b₂,b₃.    Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве  p₁,p₂,p₃  cсоответственно. Прибыль от реализации единицы изделия А составляет m (у.д.е)., а единицы изделия В-n (у.д.е).

1.    Найти оптимальный план выпуска продукции с целью максимализации прибыли:

а)  графическим методом; б) симплекс методом.

2.    Определить количество неиспользованного сырья при оптимальном плане производства.

3.    Сформулировать экономически двойственную задачу, записать математическую модель и используя  двойственный симплекс-метод найти ее решение.

4.    Выполнить экономическую интерпретацию результатов  решения задачи.

а) Пояснить экономический  смысл двойственных оценок ресурсов.

б) Указать вид наиболее дефицитного сырья.

в) Определить прирост  целевой  функции прямой задачи и изменение оптимального плана и производства при увеличении объема сырья каждого вида на 1 ед.

г) Будет ли рентабельным для предприятия  производить  новую продукцию С, для производства 1 ед. которой требуется 3,7,5 ед. сырья каждого из трех видов соответственно, если доход от реализации 1 ед. продукции С составит  47 (у.д.е)     
 

 

    Решение

1. Нахождение оптимального  плана выпуска  продукции

а) графический метод

Необходимо  найти минимальное  значение целевой  функции F = 8x₁+6x₂ → min, при системе ограничений:

Построим  область допустимых решений, т.е. решим  графически систему  неравенств. Для этого  построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости  обозначены штрихом). (рис.1)

рис.1

Необходимо  найти минимальное  значение целевой  функции F = 8x₁+6x₂ → min, при системе ограничений:

Построим  область допустимых решений, т.е. решим  графически систему  неравенств. Для этого  построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости  обозначены штрихом). (рис.2)

рис.2

Границы области допустимых решений

Пересечением  полуплоскостей будет  являться область, координаты точек которого удовлетворяют  условию неравенствам системы ограничений  задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. (рис.3)

рис.3

Рассмотрим  целевую функцию  задачи F = 8x₁+6x₂ → min.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 8x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией. (рис.4)

рис.4

Область допустимых решений  представляет собой  многоугольник.

Прямая  F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (4) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
x₂=0 
x₁=0 
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 0 
Откуда найдем минимальное значение целевой функции: 
F(X) = 8*0 + 6*0 = 0

б) симплекс метод

 

 

1 этап

СП=0; БП=b_i

x₁=0, x₂=0,x₃=0;

x₄=168, x₅=132,x₆=156.

X (0;0;0;168;132;156) – опорное решение

2 этап

Исследовать опорное решение  на оптимальность

Так как в F строке нет отрицательных элементов, то опорное решение можно считать оптимальным.

Ответ:      
 
 
 

2. Определение неиспользованных  ресурсов.  

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему  ограниченной математической модели:

4*0 + 2*0  = 0 < 168

1*0 + 4*0  = 0 < 132

3*0 + 4*0  = 0 < 156

1-ое  ограничение выполняется  как строгое неравенство,  т.е. ресурс 1-го  вида израсходован  не полностью.  Значит, этот ресурс  не является дефицитным  и его оценка  в оптимальном  плане y₁ = 0.

Неиспользованный  экономический резерв ресурса 1 составляет 168 (168-0).

Этот  резерв не может быть использован в  оптимальном плане, но указывает на возможность  изменений в объекте  моделирования (например, резерв ресурса можно  продать или сдать  в аренду).

2-ое  ограничение выполняется  как строгое неравенство,  т.е. ресурс 2-го  вида израсходован  не полностью.  Значит, этот ресурс  не является дефицитным  и его оценка  в оптимальном  плане y₂ = 0.

Неиспользованный  экономический резерв ресурса 2 составляет 132 (132-0).

Этот  резерв не может быть использован в  оптимальном плане, но указывает на возможность  изменений в объекте  моделирования (например, резерв ресурса можно  продать или сдать  в аренду).

3-ое  ограничение выполняется  как строгое неравенство,  т.е. ресурс 3-го  вида израсходован  не полностью.  Значит, этот ресурс  не является дефицитным  и его оценка  в оптимальном  плане y₃ = 0.

Неиспользованный  экономический резерв ресурса 3 составляет 156 (156-0).

Этот  резерв не может быть использован в  оптимальном плане, но указывает на возможность  изменений в объекте  моделирования (например, резерв ресурса можно  продать или сдать  в аренду).

 

 3. Двойственная задача  линейного программирования.

Решим прямую задачу линейного  программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 8x₁ + 6x₂ при следующих условиях-ограничений.

4x₁ + 2x₂≤168

x₁ + 4x₂≤132

3x₁ + 4x₂≤156

Для построения первого  опорного плана систему  неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м  неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.

4x₁ + 2x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 168

1x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 132

3x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 156

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные  переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных: