Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний

и 

                                                   

.                                        (1. )

Вычисляем в них соответствующий момент инерции диска по формулам теоретической механики.

Рассмотрим теперь случай колебаний вала с диском (рис. 1), с учетом массы вала. Помимо полярного момента инерции сечения вала, воспользуемся выражением для экваториального момента инерции (массы) вала, известным из теоретической механики.

 

где I₀ — экваториальный момент инерции,

W — собственный вес вала,

r —радиус вала.

Если вес единицы  объема  вала, т. е. его удельный вес, обозначить , то I₀ для круглого вала можно представить в виде:

 

                                                

                            (2.b)

 

и экваториальный момент единицы длины вала

 

                                                 

                                                  (2.c)

 

Для решения стоящей  перед нами задачи удобнее всего  воспользоваться уравнениями движения Лагранжа, поэтому, прежде всего, найдем кинетическую и потенциальную энергию нашей системы.

Кинетическая энергия  системы будет слагаться из кинетической энергии диска и кинетической энергии вала. Кинетическая энергия  диска

 

 

Для нахождения кинетической Энергии вала сначала найдем кинетическую энергию элемента его dc. Если угол  закручивания в сечении с обозначить , то кинетическая энергия элемента dc будет

 

так как если — момент инерции единицы длины, то I₀'dc момент инерции элемента dc.

Найдем зависимость  между углом закручивания в сечении с- и в сечении

  и  

 

откуда

 

или

и

 

Подставляя полученное значение в выражение кинетической энергии элемента dc, получим:

 

Полную кинетическую энергию вала найдем интегрированием:

 

 

 

Или заменяя на основе формул (b) и (с) на получим окончательно:

 

Полная кинетическая энергия системы

 

 

Потенциальная энергия  системы

 

 

где M — крутящий момент, приложенный к валу. Для крутящего момента имеем выражение:

 

                                                         

                                              (1.1а)

 

Подставляя это значение в выражение  для потенциальной энергии, получим:

                                                           

                                              (2.1)

 

Теперь можем составить дифференциальное уравнение колебательного движения нашего вала, что удобнее всего  сделать в форме Лагранжа. В  нашем случае за обобщенную координату необходимо принять угол закручивания , тогда уравнение Лагранжа примет вид:

 

в этом уравнении

Находим значения частных  производных, входящих в это уравнение:

 

     

 

 

Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа

 

 

Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и полагая

 

получим

 

т. е. известное нам  уравнение (1.3), решение которого

 

.

 

Частота этого колебательного движения

И период

                                              

                                    (2.2)

 

Следовательно, для учета собственной массы вала, имеющего колебания, необходимо к моменту инерции диска, сидящего на валу, прибавить одну треть момента  инерции вала.

Рассмотрим случай вала, лежащего в двух подшипниках (влияние  которых на колебания мы, в виду незначительности, не учитываем), несущего на концах два диска (маховика, шкива и т. д.) (рисунок 2).

 

Рис. 2  Вал с двумя дисками 

  

Вал будет испытывать крутильные колебания только при  условии вращения дисков в разные стороны, что может быть достигнуто приложением к дискам двух равных и прямо противоположных моментов. После удаления моментов в системе, состоящей из вала и двух; дисков, возникнут крутильные колебания. В каждый момент времени угловые скорости дисков будут направлены противоположно друг другу. Левый диск и некоторая часть вала, примыкающая к нему, будет вращаться, допустим, по часовой стрелке, а правый диск и его часть вала против часовой стрелки. В таком случае на валу обязательно должно быть сечение, в котором нет никакого вращения. Вал можно рассматривать как жестко заделанный в сечении, пт, причем, в нашем примере, левая часть вращается по часовой и правая против часовой стрелки.

Сечение, остающееся во время  колебания системы неподвижным, называется узлом колебания.

Периоды колебаний одинаковые для обеих частей одного и того же вала могут быть найдены из формулы (1.6),

 

                                     

                                      (2.3)

 

Задача, таким образом, сводится к определению расположения узла колебаний по длине вала, т. е. длин l₁ и l₂. Уравнение (2.3) показывает, что узел колебания делит вал обратно пропорционально моментам инерции дисков, т. е.

  или  

 

Второе уравнение для  определения положения узла колебаний будет

 

Из уравнений  получим

  и                                          

и период колебания примет вид

                                            

                                       (2.4)

 

частота колебаний будет:

 

                                          

                                      (2.5)

 

Для изучения случаев  колебания валов с большим  числом дисков, чем два, удобнее в отличие от вышеприведенных случаев вала с одной и двумя массами найти уравнения движения вала с произвольным количеством масс и затем применять его для любого частного случая.

1.2 Решение прямой задачи для вала с n-дисками

 

Рассмотрим вал, несущий п- дисков. Пусть углы закручивания вала в местах насадки диска будут соответственно Жесткости I, II,..., n-1 участков вала, т. е. на основе обозначения (1.1) моменты, которые могут вызвать угол закручивания данного участка равный одному радиану, обозначим: k₁, k_2,…, k_п-1. Моменты инерции дисков по-прежнему обозначим I₁,I₂,..,I_n. Для получения уравнения колебательного движения рассматриваемой нами системы применим уравнения Лагранжа, при пользовании которыми необходимо знать выражение для кинетической и потенциальной энергии системы. Кинетическая энергия диска, имеющего момент инерции I и угол закручивания , выражается формулой

Кинетическая энергия  нашей системы слагается из суммы  кинетической энергии всех дисков (кинетическую энергию вала мы тут не учитываем, считая момент инерции диска большим по сравнению с моментом инерции вала).

Кинетическая энергия  всей системы

                

              (2.6)

 

Для нахождения потенциальной энергии системы, являющейся в данном случае энергией кручения, необходимо пользоваться формулой

 

,

 

где М - крутящий момент, действующий на данном участке, а - угол закручивания того же участка. Найдем крутящий момент и угол закручивания для первого участка нашей системы.

Если в месте насадки  первого диска угол закручивания , а в месте насадки второго диска — ₂, то угол закручивания на участке вала между дисками будет:

 

                                                    

                                             (2.7)

 

Для того чтобы вызвать  угол закручивания первого участка  вала величиной в I радиан, необходимо приложить крутящий момент величины k₁, если же, как в нашем случае угол закручивания имеет ₁- ₂  радиан, то на валу действует крутящий момент величины

В нашем случае углы закручивания для участков вала будут:

                                                  

                                         (2.8)

и крутящие моменты:

 

                                                   

                              (2.9)

 

Теперь можем составить выражение  для потенциальной  энергии системы, суммируя потенциальную энергию  участков.

 

           

          (2.10)

 

(так как  то, подставляя значения ₁ из (2.8)  и M₁ из (2.9) и аналогично для других участков получим формулу (2.10)).

В данном случае система имеет п степеней свободы, чему соответствует п обобщенных координат. Обобщенными координатами являются углы закручивания вала в местах насадки дисков. Уравнение Лагранжа, очевидно, придется составить по числу степеней свободы, т. е. также п. Для пользования уравнением Лагранжа в виде

                                         

                                    (2.11)

 

необходимо найти частные производные от кинетической и потенциальной энергии системы, по обобщенным координатам и частные производные от кинетической энергии по дифференциалам обобщенных координат:

 

Дифференцируя уравнение (2.6) найдем:

 

;

 

и дифференцируя уравнение (2.10)

 

;  ;

 

;……;

 

Дифференцируя уравнение (2.6) по получим:

 

 

 

Полученные уравнения  необходимо продифференцировать по времени

 

 

 

Располагая найденными выше величинами, можем составить  систему дифференциальных уравнений  движения рассматриваемой системы.

                                  

                          (2.12)

 

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений полагаем, что каждое колебательное движение системы (их будет столько же, сколько и степеней свободы, т. е. п) будет простым гармоническим. Частные решения системы (2.12), можно представить в виде:

 

                                        .                                          (2.13)

В этих уравнениях по-прежнему М амплитуда колебания, и р частота. Находим вторую производную от по времени:

 

  .

Аналогично,

 

 

Подставляя значения   и в уравнения системы (2.12), получим систему обыкновенных уравнений со многими неизвестными для определения частоты колебания р.

 

 

Сокращая в данных уравнениях на получим окончательно

 

                                                       (2.14)

 

Последовательно исключая неизвестные , получим уравнение для определения частоты р. Уравнение для определения частоты собственных колебаний, полученное в результате исключения из уравнений (2.14), называется характеристическим. Уравнения (2.14) могут быть применены для определения числа собственных крутильных колебаний системы с произвольным числом дисков. В тех случаях, когда получившееся характеристическое уравнение имеет высокую степень относительно р² (что бывает при системе со многими дисками), оно может быть решено графически либо каким-нибудь приближенным методом.

1.3 Колебания  вала с тремя дисками

 

Рассмотрим колебания  вала с тремя дисками (рис. 3). Здесь I₁ , I₂ ,I₃ моменты инерции дисков, k₁  и k₂ жесткости участков вала на кручении, по аналогии с формулой (1.1) равные: