Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

 

Экономико-математический факультет

Кафедра математического моделирования

 

 

ДИПЛОМНАЯ работа

на тему:

«Диагностирование характеристик вала с дисками

по собственным  частотам его крутильных колебаний»

 

 

 

                              Выполнил студент 5 курса

                              дневного отделения

                              группы М-52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нефтекамск 2008

Содержание

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний является актуальной в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики составляющих технических конструкций и виброзащиты механических систем.

Задачи же акустической диагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. С увеличением размеров и скоростей современных машин в инженерных расчетах становится все более и более важным решение задач, связанных с колебаниями. Хорошо известно, что только на основе теории колебаний могут быть полностью выяснены такие практически важные проблемы, как уравновешивание машин, крутильные колебания валов и зубчатых передач, колебания турбинных лопаток и турбинных дисков, прецессия вращающихся валов, колебания рельсового пути и мостов под действием движущихся грузов, колебания фундаментов. Лишь при помощи этой теории можно установить наиболее удачные пропорции конструкций, отодвигающие эксплуатационные условия работы машин возможно дальше от условий возникновения больших колебаний.

Другое важное использование  задач определения характеристик  вала с дисками – виброзащита  механических систем, составляющими  которых являются валы с дисками. Колебания валов приводят порой  к дребезжанию, лишнему шуму. Связано это с тем, что спектры частот колебаний иногда находятся в опасном для здоровья человека диапазоне. Для изменения частот колебаний вала не всегда бывает целесообразно менять его длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому возникает задача определения таких жесткостей участков валов на кручении или моментов инерции масс дисков, которые обеспечивали бы нужный диапазон частот колебаний вала. Эта проблема связана с научными задачами шумоподавления, акустической диагностики и теории обратных задач математической физики. Решению подобной проблемы и посвящена представленная работа. Прямая задача по определению спектра частот колебаний вала с дисками рассмотрена в учебниках по теории колебаний. Но обратная задача по диагностированию характеристик вала с дисками не исследована.

Задачам технической  диагностики посвящено большое  количество работ. Процессы, протекающие  в механизмах и двигателях, являются источником шума. Наука, изучающая возможности распознавания характеристик элементов механической системы по его шуму, носит название виброакустической диагностики. Задачи виброакустической диагностики могут быть различными. В работе Кузьмина Р.В. [14], например, рассматривались задачи обнаружения дефектов в судовых механизмах по шуму, вызываемому упругими колебаниями от соударения сопряженных деталей. Аналогичные задачи обнаружения неисправностей решены в работах Бухтиярова И.Д., Аллилуева В.А.[9], но уже для поиска дефектов в автотракторных двигателях. В трудах Биргера И.А. [8], Артоболевского И.И., Бобровницкого Ю.И., Генкина М.Д.[1], Павлова Б.В.[16] также решались задачи акустической диагностики механизмов.

Большое количество работ  по виброакустической диагностике посвящено не только выявлению состояния двигателя по его шуму, но и также вопросам  шумоподавления, это работы, например, Зинченко В. И.[12], Лапина А.Д. [15]. Близкие проблемам виброакустической диагностики задачи возникали также и в других работах. Так в работе Kас М.[26] ставился вопрос: можно ли по звучанию барабана установить его форму? Статья W. U. Qunli  и F. Fricke [27] посвящена определению размера объекта и его положения в камере по сдвигам собственных частот его колебаний, а статья Васильева Н.А., Дворникова С.И. [10] – способу обнаружения шпал, потерявших плотный контакт с балластом насыпи, при помощи ударного возбуждения колебаний и анализа акустических сигналов. В работах Frikha S., Coffignal G., Trolle J.L.[24, 25] исследовались условия на входе и выходе выхлопных труб и трубопроводных систем, в трудах Аксенова А.Л., Тукмакова И.Б. [21,22] – задачи идентификации объектов по их акустическому отклику. Задачи акустической диагностики закреплений по одному спектру для струн, мембран, стержней, пластин рассматривались А.М. Ахтямовым [2–6, 23], а Г.Ф. Сафиной [18–20] – для полых труб и трубопроводов с жидкостью. В отличие от всех работ по диагностике, в представленной работе отыскиваются не форма области, размеры объекта, его местоположение или состояние, а коэффициенты упругих закреплений и моменты инерции масс дисков. Такая задача для вала с дисками ставится впервые.

Целью научной работы является нахождение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками и диагностирование по спектру частот моментов инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении. В соответствие с целью были поставлены и решены задачи:

• исследование задачи определения собственных частот крутильных колебаний вала с различным количеством дисков (с двумя, тремя, четырьмя, n- дисками) по известным моментам инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении;
• исследование задачи диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала;
• исследование задачи диагностирования жесткости участков вала на кручении по собственным частотам колебаний вала.
• разработка математических моделей  решения поставленных задач; аналитическое и численное исследование моделей.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что впервые исследованы и решены задачи диагностирования по спектру частот колебаний вала с дисками таких характеристик, как моменты инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении.

Практическая  значимость результатов состоит в том, что разработанные  методы решения задач относятся к акустической диагностике  недоступных для визуального осмотра элементов механических систем и технических конструкций, составляющими которых являются валы с дисками. Поскольку изменения величин коэффициентов жесткости участков вала или моментов инерции дисков могут характеризовать степень изношенности, неисправности и т.п., то полученные результаты по решению обратных задач применимы для  диагностирования указанных характеристик вала с дисками без дорогостоящей  разборки всей механической системы

Полученные результаты можно также использовать для  сохранения заданного диапазона  частот колебаний вала с дисками. В работе предложено сохранение диапазона частот с помощью изменений значений моментов инерции масс дисков или коэффициентов жесткости участков вала на кручении.

Результаты исследований по решению прямой спектральной задачи докладывались на секции «Дифференциальные уравнения и теория операторов» Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», которая проходила с 30 октября по 3 ноября 2007 года на базе Башкирского государственного университета. Есть две публикации по теме исследования.

Первая глава работы посвящена прямой задаче определения  собственных частот крутильных колебаний  вала с дисками по известным моментам инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение  сводится к системе n - обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственных частот крутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнения для вала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления, составлена программа в математическом пакете Maple.

Во второй главе приведена постановка обратной спектральной задачи диагностирования характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний.  Алгоритм диагностирования сведен к решению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задача решена для вала с тремя, четырьмя дисками. В этой же главе диагностируются коэффициенты жесткостей участков вала при кручении между дисками. Для решения обратных задач составлены программы в математическом пакете Maple.

В заключении работы сделаны  выводы по полученным результатам решений  прямой и обратной задач. Проанализирована практическая значимость полученных результатов задачи диагностирования. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1  Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками

1.1 Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском

 

Прямая задача: Определить собственные частоты крутильных колебаний вала, состоящего из п (п =1, 2, 3, 4,…) дисков с известными моментами инерции масс, укрепленных на стальном валу с известными жесткостями.

Рассмотрение крутильных колебаний начнем с простейшего  случая круглого вала постоянного сечения, несущего на свободном конце диск, верхний конец вала заделан (рис. 1).

Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенный на чертеже, получил в плоскости  вращения, которой является плоскость, перпендикулярная чертежу, перемещения на угол . На тот же угол повернется и жестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будет совершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся в повторных вращательных движениях.

Известно, что колебания, представляющие ряд повторных вращательных перемещений от положения равновесия, называются колебаниями кручения или, крутильными.

 

 

Рис. 1  Вал с одним диском

Установим величину нагрузки, вызывающей единицу статической  деформации вала. Статической деформацией вала в данном случае будет угол закручивания, определяемый по известной формуле сопротивления материалов

                                                         

                                                    (1.0)

 

где М — крутящий момент;

  —длина вала;

 I_p —полярный момент инерции вала;

— модуль касательной упругости.

Нагрузкой, вызывающей единицу  статической деформации, т. е. угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторый момент; будем обозначать этот момент буквой k и называть жесткостью вала на кручение.

 

                                                     

                                             (1.1)

 

Если вал повернется на угол , то в нем возникнет момент внутренних сил упругости, равный

                                                        

                                                 (1.1а)

 

Этот момент по принципу Даламбера должен быть равен моменту  сил инерции диска. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорение  обозначить

 

и момент инерции диска  относительно продольной вертикальной оси вала

 

,

 

где  Q —вес диска, D—его диаметр, g— ускорение силы тяжести.

В случае кольцевого диска (шкив, колесо)

 

 

то момент сил инерции  диска будет равен 

 

                                                  

                                               (1.1b)

 

Уравнение движения тогда будет иметь вид:

 

 

 

Освобождаясь от коэффициента при дифференциале 

 

 

и обозначая

                                                     

                                                          (1.2)

получим

                                                 

                                                 (1.3)

 

Решение этого уравнения может  быть представлено в виде:

 

                                                

                                         (1.4)

по аналогии получаем:

                                             

                                                   (1.5)

 

Очевидно, что мы в данном случае получили простое гармоническое  колебание.

Круговая частота этого колебания (равная угловой скорости) будет

 

                     

                   (1.2а)

 

и период колебания

 

                              

                                          (1.6)

 

Формулы (1.2а) и (1.6) справедливы в  окончательном виде только для сплошного диска постоянной толщины, в случае какого-либо другого диска частоту и период следует определять по формулам:

 

                                                   

                                            (1.2 )