Шпаргалка по "Экономике"

 

Данная задача является характерным  примером двоичной модели ЦЛП. Пусть  , если проект принимается, и в противном случае. При этих обозначениях модель примет следующий вид:

 

        

      при ограничениях

Здесь целевой функцией является суммарная  чистая прибыль, а неравенства ограничивают ежегодно используемые средства. Решение дает

(следует принять первые три  проекта). Отметим, что метод округления  дает при этом неправильный результат – он рекомендует отвергнуть третий проект.

С помощью двоичных переменных легко формировать ограничения на базе логических условий, принимающих значения “истинно” или “ложно”.

Например, ограничение

,

где - двоичные переменные, а k – целое число, означает, что можно выбрать не более k из возможных n вариантов. Если в нашем примере руководство компании считает целесообразным принять не более одного зарубежного проекта и исключить варианты, включающие одновременно расширение завода в стране А и строительство нового завода в стране Б, то нужно добавить ограничение          

                                      .

 

Формирование  зависимых решений

 

С помощью двоичных переменных можно  описать зависимость между двумя  или несколькими переменными решения. Например, если руководство компании из примера не хочет принимать вариант k, если не будет принят вариант m, то это условие можно представить с помощью ограничения

 

   

Если вариант m не принят, то и ограничение требует, чтобы значение также было равно нулю (т.е. вариант k принят не будет). Если же вариант m принят,  и ограничение принимает вид . В этом случае программа может выбрать .

Пусть компания считает, что  планирование расширения производства в своей стране требует расширить  производственные мощности по выпуску  комплектующих. Добавление к модели ЦЛП ограничения типа гарантирует, что нельзя выбрать вариант расширения производственных мощностей по выпуску ПК, если не выбирается вариант расширения производственных мощностей для выпуска комплектующих.

Если  же принимается решение об увеличении производственных мощностей по выпуску как ПК, так и комплектующих, то необходимо добавить к модели ЦЛП ограничение .

Общий алгоритм выбора некоторого подмножества ограничений  из имеющихся   формулируется следующим образом. Задано множество из m ограничений для n (недвоичных) переменных :

где - заданная функция от переменных . В модель вводится m дополнительных двоичных переменных и задается очень большое число M, такое, чтобы для всех заведомо выполнялись неравенства

Тогда следующие m + 1 ограничения выражают нужное условие:

 

Ограничение требует, чтобы ровно k новых переменных решения принимали значение 1. Это означает, что ровно k вышеприведенных ограничений-неравенств будут эквивалентны неравенствам

                

           Оставшиеся m – k ограничений принимают вид

 

и так как M – очень большое число, все эти ограничения оказываются избыточными и не влияют на оптимальное решение задачи.

Пример. Компания должна определить планы выпуска трех видов продукции ( ). Требуется выбрать одну из двух возможных технологий, каждая из которых задана соответствующим ограничением. Пусть характеризующие технологии ограничения имеют вид

Простое указание этих ограничений в модели ЛП означало бы, что в процессе производства должны выполняться оба ограничения одновременно, а не одно из них. В данном случае в модель ЛП необходимо ввести две новые двоичные переменные и ,  преобразовав ее в модель частично целочисленного ЛП. Пусть условие означает выбор технологии I; а - отказ от выбора технологии I и аналогично для переменной .

Ограничения модели принимают вид:

В этом случае первое ограничение заставит программу-оптимизатор выбрать только одну технологию, а большое число (в данном случае 999999) необходимо подобрать так, чтобы или первое или второе ограничение оказалось избыточным, если соответственно или или будут равны единице.

 

7. Сравнительная характеристика ситуаций определенности, риска и неопределенности в менеджменте. Основные виды неопределенности.

В реальных условиях обычно приходится действовать при ограниченности или неточности информации об объекте и среде его функционирования. В менеджменте, маркетинге, в области финансово-банковских операций возникает необходимость принятия решений в условиях неопределенности.

Неопределенность означает отсутствие, неполноту информации об объекте или процессе, либо неуверенность в ее достоверности.

 

Существуют различные виды неопределенности, например:

• количественная, связанная со значительным числом объектов или элементов системы;
• информационная, вызванная недостатком информации или ее неточностью по каким-либо причинам;
• стоимостная - из-за слишком высокой платы за определенность;
• профессиональная вследствие недостаточной компетентности ЛПР (например, неспособности учесть требуемое число влияющих факторов);
• ограничительная (например, из-за недостатка времени);
• внешней среды, связанная с непредсказуемой реакцией среды или конкурента на реализацию принятого решения.

 

С точки зрения полноты исходных данных определенность и неопределенность представляют два крайних случая, а риск - промежуточную ситуацию.

Для ситуации риска можно оценить вероятность того или иного варианта развития событий.

Пример  для иллюстрации различия между ситуациями риска и неопределенности. В условиях риска доход от реализации единицы продукции является случайной величиной, точное значение которой неизвестно, но описывается с помощью известной функции распределения.

В условиях неопределенности функция распределения неизвестна.

 

При решении задач в условиях неопределенности возникают две ситуации. При первой сама система препятствует принятию решений (задачи “природной неопределенности” – например, задача производства сельскохозяйственной продукции при неизвестных погодных условиях). Здесь природа может рассматриваться как “доброжелательный противник”, т.к. она не преследует целей, противоположных целям человека.

Для второй ситуации характерна конкуренция, когда каждый участник стремится выиграть у конкурента. Для таких конфликтных ситуаций характерно, что эффективность решений каждой стороны существенно зависит от действий другой. Например, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Понятие о теории игр. Классификация игр.

 

Изучением математических моделей конфликтных ситуаций занимается теория игр. Она разрабатывает рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников.

Игровые схемы широко применяются в экономике. При этом выигрышем могут выступать величина прибыли, себестоимость, эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, и т.д.

Игра характеризуется некоторым набором правил, которые устанавливают:

• выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;
• информацию, которой обладает каждый игрок;
• плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока на протяжении игры. Стратегии определяют результаты или платежи в игре; при этом каждый игрок имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных стратегий.

Классификация игр возможна по разным признакам.

А) По количеству игроков. Если игроков всего двое, или игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то имеет место парная игра.

Б) В зависимости от взаимоотношений участников различают бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения) и коалиционные игры (иногда используются термины некооперативные и кооперативные игры соответственно).

В) По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой. В играх с нулевой суммой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш рассматривается как отрицательный выигрыш). В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля.

Г) По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные и др. В матричных играх (при двух участниках) выигрыши первого игрока задаются матрицей, в биматричных – выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей.

Д) По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов).

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от поведения противника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Общая характеристика матричных игр с нулевой суммой. Понятие о стратегиях, платежной матрице и цене игры.

 

Мы ограничимся рассмотрением парных матричных игр с нулевой суммой, в которых результаты задаются матрицей, строки и столбцы которой соответствуют стратегиям 1-го и 2-го игроков соответственно, а элементы - выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.

Матричные игры с нулевой  суммой

 

Если игрок I имеет стратегий, а игрок II -   стратегий, то игра называется матричной игрой размерности  .

Пусть игрок I выбрал одну из своих возможных стратегий , а игрок II, не зная результата выбора игрока I, - стратегию . Выигрыши игрока I  и игрока II для данных стратегий удовлетворяют соотношению ; т.е. если ввести обозначение , то .

Элементы  записываются в платежную матрицу (табл. 1), строки и столбцы которой определяют стратегии первого и второго игроков соответственно. Они определяют величину выигрыша игрока I и, соответственно, проигрыша игрока II при данных  стратегиях. Естественно, целью игрока I является максимизация своего выигрыша, тогда как игрока  II - минимизация своего  проигрыша.

           Таблица 13.1 Платежная матрица парной игры с нулевой суммой.

 

 

II I	1	2	…	n
1			…
2			…
…	…	…	…	…
m			…

 

 

 

 

 

 

 

Решение парных матричных игр с нулевой суммой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Решение матричных игр методом минимакса.

 

Используя платежную матрицу, определим наилучшие стратегии игроков.

В теории игр предполагается, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны, и каждый из них делает все возможное для достижения своей цели.

Проанализируем  стратегии игрока I. Первый игрок, выбирая стратегию ,  должен рассчитывать, что второй ответит на нее той из своих стратегий , для которой выигрыш игрока I будет минимальным. Найдем минимальное число в каждой строке матрицы и, обозначив его , запишем в добавочный столбец платежной матрицы (см. табл. 2)